《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第二課時(shí) 數(shù)列求和（習(xí)題課）學(xué)案【含解析】新人教A版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第二課時(shí) 數(shù)列求和（習(xí)題課）學(xué)案【含解析】新人教A版必修5（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二課時(shí)　數(shù)列求和(習(xí)題課) 1．等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式是什么？其公式是如何推導(dǎo)的？ 略 2．等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些？ 略 分組轉(zhuǎn)化法求和 [例1]　已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)， ∴an－3n＝2(an－1－3n－1)， ∴bn＝2bn－1(n∈N*，n≥2)． ∵b1＝a1－3＝2≠0， ∴bn≠0(n≥2)，∴＝

2、2， ∴{bn}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． ∴bn＝22n－1＝2n. (2)由(1)知an＝bn＋3n＝2n＋3n， ∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n) ＝＋ ＝2n＋1＋－. [類題通法] 當(dāng)一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但如果它的通項(xiàng)公式可以拆分為幾項(xiàng)的和，而這些項(xiàng)又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí)，那么就可以用分組求和法，即原數(shù)列的前n項(xiàng)和等于拆分成的每個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的和． [活學(xué)活用] 求數(shù)列，2，4，…，，…的前n項(xiàng)和Sn. 解：∵an＝2n－2＋ ＝(2n－2)＋＝(2n－1)－， ∴Sn＝＋2＋4＋…＋ ＝＋＋＋…＋

3、＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－ ＝－ ＝n2＋－1. 錯(cuò)位相減法求和 [例2]　(山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. [解]　(1)由題意知當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d. 由即解得 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3[222＋3

4、23＋…＋(n＋1)2n＋1]， 2Tn＝3[223＋324＋…＋(n＋1)2n＋2]， 兩式作差，得－Tn＝3[222＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)2n＋2] ＝3 ＝－3n2n＋2，　 所以Tn＝3n2n＋2. [類題通法] 如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法． 在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． [活學(xué)活用] 已知an＝，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解：Sn＝＋＋＋…＋＋， Sn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得Sn＝＋

5、＋＋…＋－ ＝－＝－－， ∴Sn＝－－＝－. 裂項(xiàng)相消法求和 [例3]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． [解]　(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得 解得a1＝1，d＝－1. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝＝－， 從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ＝. [類題通法] 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．利用裂項(xiàng)法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項(xiàng)，觀察是否能分解成兩項(xiàng)的差，這兩項(xiàng)一定

6、要是同一數(shù)列相鄰(相間)的兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)論應(yīng)一致． [活學(xué)活用] 在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，且bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解：an＝(1＋2＋…＋n)＝， ∵bn＝， ∴bn＝＝8， ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為 Sn＝8＝8＝. [探規(guī)尋律] 數(shù)列求和的常用方法歸納 1．公式法(分組求和法) 如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)組合 而成，并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮拆項(xiàng)后利用公式求解． 2．裂項(xiàng)求和法 對(duì)于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”，分式的求和多利用此法．可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行

7、拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)．常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有： ①＝； ②若{an}為等差數(shù)列，公差為d， 則＝； ③＝－等． 3．錯(cuò)位相減法 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為{anbn}，當(dāng)求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí)，常常采用將{anbn}的各項(xiàng)乘公比q，然后錯(cuò)位一項(xiàng)與{anbn}的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯(cuò)位相減法． 4．倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和

8、方法稱為倒序相加求和法． 　　　　 [典例]　(12分)(江西高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，并求an； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. [解題流程] [規(guī)范解答] (1)當(dāng)n＝k∈N*時(shí)，Sn＝－n2＋kn取得最大值， 即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.(3分) 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－＋4＝，(4分) 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n. [名師批注] 利用an＝Sn－Sn－1時(shí)，易忽視條件n≥2. 當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，綜上，an＝－n.(6分)

9、 (2)因?yàn)椋剑?7分) 所以Tn＝1＋＋＋…＋＋，(8分)　① 所以2Tn＝2＋2＋＋…＋＋，(9分)?、? ②－①：2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－ [名師批注] 兩式相減時(shí)，注意不要漏項(xiàng)，由Sn－qSn得Sn時(shí)應(yīng)注意q是否等于1. ＝4－－＝4－.(11分) 故Tn＝4－.(12分) [活學(xué)活用] 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)an－1(a≠0)，求其前n項(xiàng)和． 解：當(dāng)a＝1時(shí)，an＝2n－1是等差數(shù)列， ∴Sn＝＝n2. 當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1，① aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋

10、(2n－1)an，② ①－②得(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2－(2n－1)an. ∵a≠1，∴Sn＝＋. 綜上所述，當(dāng)a＝1時(shí)，Sn＝n2； 當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝＋. [隨堂即時(shí)演練] 1．已知an＝(－1)n，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S9與S10的值分別是(　　) A．1,1　　　　　 B．－1，－1 C．1,0 D．－1,0 解析：選D　S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1， S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0. 2．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，則{bn}的前

11、10項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　依題意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10項(xiàng)和為S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故選B. 3．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)，…的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－. 答案：n2＋1－ 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，其前n項(xiàng)和Sn＝，則項(xiàng)數(shù)n等于________． 解析：∵an＝＝1－， ∴Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋， ∴n＝6. 答案：6 5．已知等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a5＝512. (1)

12、求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)＝＝64＝q3， ∴q＝4.∴an＝a24n－2＝84n－2＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n22n－1知 Sn＝12＋223＋325＋…＋n22n－1，① 從而22Sn＝123＋225＋327＋…＋n22n＋1，② ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]． [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．已知{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和．若a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于(　　)

13、 A．35　　　　　　　　 B．33 C．31 D．29 解析：選C　設(shè){an}的公比為q， 則有解得 ∴S5＝＝32＝31. 2．?dāng)?shù)列{(－1)nn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 016等于(　　) A．1 008 B．－1 008 C．2 016 D．－2 014 解析：選A　S2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008. 3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)為(　　) A．11 B．99 C．120 D．121 選C　∵an＝＝－， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(－1)＋(－)＋

14、…＋(－) ＝－1， 令－1＝10，得n＝120. 4．?dāng)?shù)列1，，，…，的前n項(xiàng)和為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　該數(shù)列的通項(xiàng)為an＝，分裂為兩項(xiàng)差的形式為an＝2，令n＝1,2,3，…， 則Sn＝21－＋－＋－＋…＋－， ∴Sn＝2＝. 5．已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么數(shù)列{bn}＝前n項(xiàng)的和為(　　) A．4 B．4 C．1－ D.－ 解析：選A　∵an＝＝＝， ∴bn＝＝＝4. ∴Sn＝4 ＝4. 二、填空題 6．?dāng)?shù)列{an}中，Sn＝3n＋m，當(dāng)m＝________時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 解析：因?yàn)閍

15、1＝S1＝3＋m，a2＝S2－S1＝32－3＝6，a3＝S3－S2＝33－32＝18， 又由a1a3＝a，得m＝－1. 答案：－1 7．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－7(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________. 解析：∵an＝2n－7， ∴a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，a4＝1，a5＝3，…，a15＝23， ∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＝153. 答案：153 8．?dāng)?shù)列11,103,1 005,10 007，…的前n項(xiàng)和Sn＝________. 解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝10n＋(2

16、n－1)． 所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2. 答案：(10n－1)＋n2 三、解答題 9．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比， 則由a1＝2，a3＝a2＋4， 得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2. 所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝

17、22n－1＝2n(n∈N*)． (2)易知bn＝2n－1， 則Sn＝＋n1＋2＝2n＋1＋n2－2. 10．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a－an＋1an－2a＝0，n∈N*，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列{bn}滿足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝an－bn，求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n. 解：(1)因?yàn)閍－an＋1an－2a＝0，所以(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，因?yàn)閍n>0，所以an＋1＝2an，則數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，又a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)，即2(4a1＋2)＝2

18、a1＋8a1，解得a1＝2，所以an＝2n. 因?yàn)閿?shù)列{bn}滿足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2.所以數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，易得bn＝2n－1. (2)由(1)知cn＝ T2n＝2＋23＋…＋22n－1－[3＋7＋…＋(4n－1)]＝－2n2－n. 11．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn＜1. 解：(1)∵Sn＝n2＋n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n， 又a1＝2滿足上式，∴an＝2n(n∈N*)． (2)證明：

19、∵Sn＝n2＋n＝n(n＋1)， ∴＝＝－， ∴Tn＝＋＋…＋＝1－. ∵n∈N*，∴＞0，∴Tn＜1. 12．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)， ∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列，∴a＝a2a14.即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0(舍去)，或d＝2. ∴an＝1＋(n－1)2＝2n－1. (2)由已知＋＋… ＋＝1－(n∈N*)， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝； 當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－＝. ∴＝(n∈N*)． 由(1)，知an＝2n－1(n∈N*)，∴bn＝(n∈N*)． 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減，得Tn＝＋－＝－－，∴Tn＝3－. 12