《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面學(xué)案【含解析】新人教A版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面學(xué)案【含解析】新人教A版必修2（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．1.1　平　面 平面 [提出問(wèn)題] 寧?kù)o的湖面、海面，生活中的課桌面、黑板面，一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺(jué)？ 問(wèn)題1：生活中的平面有大小之分嗎？ 提示：有． 問(wèn)題2：幾何中的“平面”是怎樣的？ 提示：從物體中抽象出來(lái)的，絕對(duì)平，無(wú)大小之分． [導(dǎo)入新知] 1．平面的概念 幾何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的．幾何里的平面是無(wú)限延展的． 2．平面的畫法 (1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．如圖①. (2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被

2、遮擋部分用虛線畫出來(lái)．如圖②. 3．平面的表示法 圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD. [化解疑難] 幾何中的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn) (1)平面是平的； (2)平面是沒(méi)有厚度的； (3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的． 平面的基本性質(zhì) [提出問(wèn)題] 問(wèn)題1：若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？ 提示：在桌面上． 問(wèn)題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？ 提示：撐腳和自行車的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上． 問(wèn)題3：兩張紙面相交有幾條直線？ 提示：一條． [導(dǎo)入新知] 平面的基本性

3、質(zhì) 公理 內(nèi)容 圖形 符號(hào) 公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α 公理2 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l [化解疑難] 從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系 (1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示； (2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是

4、元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“?”表示； (3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示. 文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化 [例1]　根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系． (1)點(diǎn)P與直線AB； (2)點(diǎn)C與直線AB； (3)點(diǎn)M與平面AC； (4)點(diǎn)A1與平面AC； (5)直線AB與直線BC； (6)直線AB與平面AC； (7)平面A1B與平面AC. [解]　(1)點(diǎn)P∈直線AB； (2)點(diǎn)C ?直線AB； (3)點(diǎn)M∈平面AC； (4)點(diǎn)A1?平面AC； (5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B

5、； (6)直線AB?平面AC； (7)平面A1B∩平面AC＝直線AB. [類題通法] 三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法 (1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示． (2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別． [活學(xué)活用] 　根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①； (2)直線l在平面α內(nèi)

6、，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②； (3)直線l經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)P和平面α內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖③. 點(diǎn)、線共面問(wèn)題 [例2]　證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)． [解]　已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 法一：(納入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α. ∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． 法二：(輔助平面法) ∵l1∩l2＝A

7、，∴l(xiāng)1，l2確定一個(gè)平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個(gè)平面β. ∵A∈l2，l2?α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2?β，∴A∈β. 同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)． ∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)． [類題通法] 證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有以下幾種 (1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”； (2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”； (3)

8、假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”． [活學(xué)活用] 　下列說(shuō)法正確的是(　　) ①任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；③任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面；④兩條平行線確定一個(gè)平面． A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．②④ D．③④ 答案：C 共線問(wèn)題 [例3]　已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點(diǎn)共線． [解]　證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同

9、理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上． ∴P，Q，R三點(diǎn)共線． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直線AP與直線AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α， ∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線． [類題通法] 點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證 明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上． [活學(xué)活用] 　如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1

10、中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q， 求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線． 證明：如圖所示，連接A1B，CD1.顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1. ∴BD1?平面A1BCD1. 同理BD1?平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C?平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線． 　　　　 [典例]　(12分)如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA

11、＝2∶3. 求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)． [解題流程] [活學(xué)活用] 如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上． 證明：∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF且P∈GH. 又∵EF?平面ABD，GH?平面CBD， ∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD. ∴點(diǎn)P在直線BD上． [隨堂即時(shí)演練] 1．若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作(　　) A．Q∈b∈β　　　

12、　　　　 B．Q∈b?β C．Q?b?β D．Q?b∈β 答案：B 2．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面(　　) A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不對(duì) 答案：C 3．下列對(duì)平面的描述語(yǔ)句： ①平靜的太平洋面就是一個(gè)平面； ②8個(gè)平面重疊起來(lái)比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚； ③四邊形確定一個(gè)平面； ④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是一個(gè)無(wú)限集． 其中正確的是________(填序號(hào))． 答案：④ 4．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________. 答案：C 5．將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言．

13、(1)a?α，b∩α＝A，A?a. (2)α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P. 解：(1) (2) [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 一、選擇題 1．用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”，正確的是(　　) A．A∈l，l?α　　　　　　 B．A∈l，l?α C．A?l，l?α D．A?l，l?α 答案：B 2．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 C．四邊形是平面圖形 D．兩條相交直線可以確定一個(gè)平面 答案：D 3．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．1或

14、3 答案：D 4．下列推斷中，錯(cuò)誤的是(　　) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l?α，A∈l?A?α D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合 答案：C 5．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么(　　) A．M一定在直線AC上 B．M一定在直線BD上 C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上 D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上 答案：A 二、填空題 6．線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)

15、系是________． 答案：直線AB?平面α 7．把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上． (1)A?α，a?α________. (2)α∩β＝a，P?α且P?β________. (3)a?α，a∩α＝A________. (4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________. 答案：(1)C　(2)D　(3)A　(4)B 8．平面α∩平面β＝l，點(diǎn)A，B∈α，點(diǎn)C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的平面為平面γ，則β∩γ＝________. 答案：CR 三、解答題 9．求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線

16、相交，那么這四條直線共面． 解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：直線a，b，c和l共面． 證明：如圖所示，因?yàn)閍∥b，由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為α. 因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.又因?yàn)锳∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α. 因?yàn)閎∥c，所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面β，同理可知l?β. 因?yàn)槠矫姒梁推矫姒露及本€b與l，且l∩b＝B，而由公理2的推論2知，經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，所以平面α與平面β重合，所以直線a，b，c和l共面． 10．已知正方體ABCD A1B1C1

17、D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面； (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線． 證明：如圖． (1)連接B1D1， ∵EF是△D1B1C1的中位線， ∴EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD. ∴EF，BD確定一個(gè)平面， 即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． (2)正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β. ∵Q∈A1C1， ∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β. 則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理P是α與β的公共點(diǎn)， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ. 故P，Q，R三點(diǎn)共線． - 10 -