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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 基本不等式的證明（2）教案 蘇教版必修5 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1.進(jìn)一步掌握基本不等式； 2.學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理； 3.會運(yùn)用基本不等式求某些函數(shù)的最值，求最值時(shí)注意一正二定三相等。 4.使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來討論函數(shù)的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應(yīng)用。 二、過程與方法 通過幾個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。 三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀 引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。 難點(diǎn)：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法： 2. 教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時(shí)安排】：1課時(shí) 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1．重要不等式：如果 2．基本不等式：如果,是正數(shù)，那么我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，成立的條件是不同的：前者只要求,都是實(shí)數(shù)，而后者要求,都是正數(shù)。 二、研探新知 最值定理：已知都是正數(shù)， ①如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；②如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值． 證明：∵， ∴ ， ①當(dāng) (定值)時(shí)， ∴，∵上式當(dāng)時(shí)取“”， ∴當(dāng)時(shí)有； ②當(dāng) (定值)時(shí)， ∴，∵上式當(dāng)時(shí)取“”∴當(dāng)時(shí)有． 說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件： ①最值的含義（“”取最小值，“”取最大值）； ②用基本不等式求最值的必須具備的三個(gè)條件：一“正”、二“定”、三“相等”。 ③函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); ④函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)； 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 （1）求 的最值，并求取最值時(shí)的的值。 解：∵∴ ，于是， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，∴的最小值是，此時(shí)． （2）若上題改成，結(jié)果將如何？ 解：∵ ，于是， 從而，∴的最大值是，此時(shí)． 例2 （1）求的最大值，并求取時(shí)的的值。 （2）求的最大值，并求取最大值時(shí)的值 解：∵，∴，∴則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號。∴當(dāng)時(shí)，取得最大值4。 例3 若，求的最小值。 解：∵，∴ 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號， ∴當(dāng)時(shí)，取最小值 例4 求下列函數(shù)的值域:（1）；（2） 歸納：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行： (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案. 四、鞏固深化，反饋矯正 1．已知，求的最大值，并求相應(yīng)的值。 2．已知，求的最大值，并求相應(yīng)的值。 3．已知，求函數(shù)的最大值，并求相應(yīng)的值。 4．已知求的最小值，并求相應(yīng)的值 五、歸納整理，整體認(rèn)識 1．用基本不等式求最值的必須具備的三個(gè)條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當(dāng)給出的函數(shù)式不具備條件時(shí)，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進(jìn)行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進(jìn)行求解； 2．運(yùn)用基本不等式求最值常用的變形方法有： （1）運(yùn)用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值； （3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入。 一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：