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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的應(yīng)用》教案2 蘇教版必修4 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1. 會用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡單實際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型. 2.掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟：(1)根據(jù)圖象建立解析式；(2)根據(jù)解析式作出圖象； (3)將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型. 3.能正確分析收集到的數(shù)據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型刻畫數(shù)據(jù)所蘊含的規(guī)律，能根據(jù)問題的實際意義，利用模型解釋有關(guān)實際問題，為決策提供依據(jù)。 4.讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建模”思想,從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力．培養(yǎng)學(xué)生用已有的知識解決實際問題的能力. 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識；提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實際計算的能力。 二、過程與方法 1.從實際的應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)與生活是相關(guān)的，不是完全脫離現(xiàn)實的，同時理解三角函數(shù)在描述周期性現(xiàn)象時的重要作用。 2.講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，意識到只要認(rèn)真觀察思考，會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活。 2.讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神； 3.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神。 【教學(xué)重點與難點】： 重點：用三角函數(shù)模型刻畫潮汐等現(xiàn)象的變化規(guī)律，用函數(shù)思想解決具有周期變化的實際問題；對問題實際意義的數(shù)學(xué)解釋，從實際問題中抽象出三角函數(shù)模型。 難點：（1）分析、整理、利用信息， 從實際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立數(shù)學(xué)模型， 并調(diào)動相關(guān)學(xué)科的知識來解決問題．（2）由圖象求解析式時的確定。 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1.學(xué)法： 2.教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)流程】： 實例背景，資料數(shù)據(jù)，提出問題 根據(jù)散點圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合 求解函數(shù)模型 利用函數(shù)模型解決實際問題 反思解題過程，總結(jié)解題方法，提煉數(shù)學(xué)思想 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 【復(fù)習(xí)提問】：1.回顧教材“三角函數(shù)的周期性”； 2.求函數(shù)的解析式。（1） 函數(shù)f (x)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向左平移個單位所得的曲線是的圖像，試求的解析式.（2） 函數(shù)的最小值是-2，其圖象最高點與最低點橫坐標(biāo)差是3p，且圖象過點(0,1)，求函數(shù)解析式. 3.討論：（1）如何由圖觀察得到三角函數(shù)的各系數(shù)？ 如何確定初相？（特殊點法） （2）在現(xiàn)實生活中，哪些現(xiàn)象具有周期性？（溫度、白晝、振動、情緒、智力、體力等）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)問題，是三角函數(shù)中的重要問題，是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，也是高考的熱點.三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用. 二、研探新知 例1 （學(xué)生自學(xué)完成教材例1） 點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計時. （1）求物體對平衡位置的位移(cm)和時間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系； （2）求該物體在t=5s時的位置. （教師進行適當(dāng)?shù)脑u析.并回答下列問題：根據(jù)物理常識，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)式模擬物體的運動；怎樣求w和初相位θ；第二問中的“t=5s時的位置”與函數(shù)式有何關(guān)系？） 例2（學(xué)生自學(xué)完成教材例2）一半徑為的水輪如圖1-3-22所示，水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上點從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間。 （1）將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù)； （2）點第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？ 例3 （教材探究案例）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮是返回海洋.下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深. 時間 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的近似數(shù)值. （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 【問題】： （1）選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型反映該實際問題？ （2）圖表中的最大值與三角函數(shù)的哪個量有關(guān)？ （3）函數(shù)的周期為多少？ （4）“吃水深度”對應(yīng)函數(shù)中的哪個字母？ 請同學(xué)們看下面這個問題： 【問題探究1】：請同學(xué)們仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能夠從中得到一些什么信息？ 小組合作發(fā)現(xiàn)，代表發(fā)言?？赡芙Y(jié)果： 1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度開始由5.0米增加到7.5米，后逐漸減少一直減少到2.5，又開始逐漸變深，增加到7.5米后，又開始減少。 3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現(xiàn)一種周期性變化規(guī)律。 4）學(xué)生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數(shù)據(jù)的兩種形式） 　　　　　　 5）教師呈現(xiàn)作圖結(jié)果，學(xué)生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學(xué)過哪個函數(shù)類型非常的類似？追問為什么類似正弦型函數(shù)（排除法，關(guān)鍵在于周期性）。 （學(xué)生活動，求解解析式） 　 得到的是一個刻畫水深與時間關(guān)系的三角函數(shù)模型，為了保證所選函數(shù)的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程——選模，求模，驗?zāi)?，?yīng)用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學(xué)生小組合作討論回答，如周期、單調(diào)性、每時每刻的水深。 【問題探究2】：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船何時能夠進入港口？在港口能呆多久？ （師生一起分析）用數(shù)學(xué)的眼光看，這里研究的是一個怎樣的數(shù)學(xué)問題？水深米得出，即， （師生齊分析）解三角不等式的方法 令學(xué)生活動：操作計算器計算，結(jié)合電腦呈現(xiàn)圖象 　　　　　　 　　發(fā)現(xiàn)：在[0，24]范圍內(nèi)，方程的解一共有4個，從小到大依次記為： 　　那么其他三個值如何求得呢？（學(xué)生思考） 　　 　得到了4個交點的橫坐標(biāo)值后，結(jié)合圖象說說貨船應(yīng)該選擇什么時間進港？什么時間出港呢？ 　（學(xué)生討論，交流） 可能結(jié)果：【生1】貨船可以在0時30分鐘左右進港，早晨5時30分鐘左右出港；或者是中午12時30分鐘左右進港，在傍晚17時30分鐘左右出港。 　【生2】貨船可以在0時30分鐘左右進港，可以選擇早晨5時30分，中午12時30分，或者傍晚17時30分左右出港。 …… （學(xué)生討論，最后確定方案1為安全方案，因為當(dāng)實際水深小于安全深度時，貨船盡管沒有行駛，但是擱淺后船身完全可以餡入淤泥，即使后來水位上漲，也很可能船身不再上?。? 　　剛才整個過程，貨船在進港，在港口停留，到后來離開港口，貨船的吃深深度一直沒有改變，也就是說貨船的安全深度一直沒有改變，但是實際情況往往是貨船載滿貨物進港，在港口卸貨，在卸貨的過程中，由物理學(xué)的知識我們知道，隨著船身自身重量的減小，船身會上浮，這樣一來當(dāng)兩者都在改變的時候，我們又該如何選擇進出港時間呢？請看下面問題： 【問題探究3】：在探究2條件中，若該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時0.3米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 　?。▽W(xué)生討論）安全即需要：實際水深安全水深，即： 　　　， 　　討論求解方法：用代數(shù)的方法？幾何的角度？（電腦作圖并呈現(xiàn)） 　 　 　　通過圖象可以看出，當(dāng)快要到P時刻的時候，貨船就要停止卸貨，駛向深水區(qū)。那么P點的坐標(biāo)如何求得呢？（學(xué)生思考，討論，交流）求P點橫坐標(biāo)即解方程 數(shù)形結(jié)合，二分法求近似解： 由圖得點P點橫坐標(biāo)在[6，7]，故我們只需要算出6，6.5，7三個時刻的安全水深與實際水深的數(shù)值表就可以回答上面的問題。 時間 實際水深 安全水深 是否安全 6．0 5米 4．3米 安全 6．5 4．2米 4．1米 較安全 7．0 3．8米 4．0米 危險 貨船應(yīng)該在6時30分左右駛離港口。（可能有的同學(xué)有些異議，可以討論） 　從這這個問題可以看出，如果有時候時間控制不當(dāng)，貨船在卸貨的過程中，就會出現(xiàn)貨還沒有卸完，不得已要暫時駛離港口，進入深水區(qū)，等水位上漲后在駛回來。這樣對公司來說就會造成才力、物力上的巨大浪費？那該怎么來做呢？（學(xué)生討論） 可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。 【問題探究4】：若船的吃水深度為4米，安全間隙為1.5米，該船在2：00開始卸貨，貨物卸空后吃水深度為2米，為了保證進入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每小時吃水深度至少要以多少速度減少？---探究3的變式（學(xué)生課后探究） 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1.如圖，單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數(shù)關(guān)系為. （1）單擺擺動5秒時，離開平衡位置多少厘米？ （2）單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？ （3）單擺來回擺動10次所需的時間為多少秒？ 2.如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)． （1）求這一天6～14時的最大溫差； （2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式． 【問題的反思】： ①一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍； ②與學(xué)生一起探索的各種求法；（這是本題的關(guān)鍵！也是難點！）（用最大小值點代入不容易出現(xiàn)錯誤） ③如何根據(jù)圖像求解析式中的待定參數(shù) ④探究其他解法：或 等 ⑤借助三角函數(shù)模型研究的思想方法研究一些較復(fù)雜的三角函數(shù)。 四、鞏固深化，反饋矯正 1.某海濱浴場的海浪高度y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數(shù)，經(jīng)過長期觀察，該函數(shù)的圖象可以近似地看成. 下表是測得的某日各時的浪高數(shù)據(jù)： t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 依規(guī)定，當(dāng)浪高不低于1米時浴場才開放，試安排白天內(nèi)開放浴場的具體時間段. 2.某港口水深y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數(shù)，記為y=，下面是某日水深數(shù)據(jù)： t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 經(jīng)過長期觀察，y=的曲線可以近似看成y=Asint+b的圖象. （i）根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出y=的近似表達(dá)式； （ii）船底離海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度為6.5米（船底離水面距離），如果此船在凌晨4點進港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少時間？ 教法：從表中讀到一些什么數(shù)據(jù)？ → 依次求各系數(shù) → 應(yīng)用模型解決問題 答案：（0≤t≤24）； 13（小時）. 小結(jié)：讀取與分析表中的數(shù)據(jù)，是一種數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練. 求得模型后，把第（2）問的情景轉(zhuǎn)化為一個簡單的三角不等式，再運用整體思想，借助函數(shù)的圖象或者單位圓可以求解. 3.某商品一年內(nèi)出廠價格在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，已知3月份達(dá)到最高價格8元，7月份價格最低為4元. 該商品在商店內(nèi)的銷售價格在8元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動，5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價最低為6元. （1）試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數(shù)解析式; （2）假設(shè)商店每月購進這種商品m件，且當(dāng)月銷完，試寫出該商品的月利潤函數(shù). 五、歸納整理，整體認(rèn)識 從以上問題可以發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，而待定系數(shù)法是三角函數(shù)中確定函數(shù)解析式最重要的方法.三角函數(shù)知識作為數(shù)學(xué)工具之一，在以后的學(xué)習(xí)中將經(jīng)常有所涉及.學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，通過學(xué)習(xí)我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力. 三角函數(shù)應(yīng)用模型的三種模式：一是給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題；而是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問題；三是搜集一個實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進一步用函數(shù)模型來解決問題. 回顧整個探究過程，經(jīng)歷了第一階段：收集數(shù)據(jù)-----畫散點圖 第二階段：根據(jù)圖象特征---選模、求模、驗?zāi)? 第三階段：函數(shù)模型應(yīng)用 在整個探究過程，我們用到數(shù)學(xué)常見的一些思想方法： （1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想； （2）在對一些數(shù)據(jù)處理的過程用到了估算的思想； （3）在用代數(shù)方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數(shù)形結(jié)合的思想； （4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計 八、課后記： gkxx