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2019-2020 年高中物理 3.5 共點(diǎn)力的平衡條件 2 教案 粵教版必修 1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 共點(diǎn)力平衡的幾種解法 二. 知識(shí)要點(diǎn)： （一）共點(diǎn)力的平衡： 1. 共點(diǎn)力：作用在物體的同一點(diǎn)，或作用線相交于一點(diǎn)的幾個(gè)力。 2. 平衡狀態(tài)：物體保持勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止叫平衡狀態(tài)。 3. 共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件為：或 （二）共點(diǎn)力平衡的幾種解法 1. 力的合成、分解法：對(duì)于三力平衡，一般根據(jù)“任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等大反 向”的關(guān)系，借助三角函數(shù)、相似三角形等手段求解；或?qū)⒛骋粋€(gè)力分解到另外兩個(gè)力的 反方向上，得到的這兩個(gè)分力勢(shì)必與另外兩個(gè)力等大、反向；對(duì)于多個(gè)力的平衡，利用先 分解再合成的正交分解法。 2. 矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢量箭 頭首尾相接，構(gòu)成一個(gè)矢量三角形；反之，若三個(gè)力矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形， 則這三個(gè)力的合力必為零，利用三角形法，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué) 知識(shí)可求得未知力。 矢量三角形作圖分析法，優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡(jiǎn)便，但它僅適于處理三力平衡問(wèn)題。 3. 相似三角形法：相似三角形法，通常尋找的是一個(gè)矢量三角形與三個(gè)結(jié)構(gòu)（幾何）三 角形相似，這一方法也僅能處理三力平衡問(wèn)題。 4. 正弦定理法：三力平衡時(shí)，三個(gè)力可構(gòu)成一封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角度關(guān) 系，則可用正弦定理列式求解。 5. 三力匯交原理：如果一個(gè)物體受到三個(gè)不平行外力的作用而平衡，這三個(gè)力的作用線 必在同一平面上，而且必為共點(diǎn)力。 6. 正交分解法：將各力分別分解到 x 軸上和 y 軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條 件，多用干三個(gè)以上共點(diǎn)力作用下的物體的平衡，值得注意的是，對(duì)“x、y 方向選擇時(shí)， 盡可能使落在 x、y 軸上的力多；被分解的力盡可能是已知力。不宜分解待求力。 7. 動(dòng)態(tài)作圖：如果一個(gè)物體受到三個(gè)不平行外力的作用而處于平衡，其中一個(gè)力為恒力， 第二個(gè)力的方向一定，討論第二個(gè)力的大小和第三個(gè)力的大小和方向。 三. 重難點(diǎn)分析： 1. 怎樣根據(jù)物體平衡條件，確定共點(diǎn)力問(wèn)題中未知力的方向？ 在大量的三力體（桿）物體的平衡問(wèn)題中，最常見的是已知兩個(gè)力，求第三個(gè)未知力。 解決這類問(wèn)題時(shí)，首先作兩個(gè)已知力的示意圖，讓這兩個(gè)力的作用線或它的反向延長(zhǎng)線相 交，則該物體所受的第三個(gè)力（即未知力）的作用線必定通過(guò)上述兩個(gè)已知力的作用線的 交點(diǎn)，然后根據(jù)幾何關(guān)系確定該力的方向（夾角） ，最后可采用力的合成、力的分解、拉密 定理、正交分解等數(shù)學(xué)方法求解。 2. 一個(gè)物體受到 n 個(gè)共點(diǎn)力作用處于平衡，其中任意一個(gè)力與其余（n-1）個(gè)力的合力 有什么關(guān)系？ 根據(jù)二力平衡條件，一個(gè)物體受 n 個(gè)力平衡可看作是任意一個(gè)力和其余（n-1）個(gè)力的 合力應(yīng)滿足平衡條件，即任意一個(gè)力和其余（n-1）個(gè)力的合力滿足大小相等、方向相反、 作用在同一直線上。 3. 怎樣分析物體的平衡問(wèn)題 物體的平衡問(wèn)題是力的基本概念及平行四邊形定則的直接應(yīng)用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)力和 運(yùn)動(dòng)關(guān)系的基礎(chǔ)。 （1）明確分析思路和解題步驟 解決物理問(wèn)題必須有明確的分析思路．而分析思路應(yīng)從物理問(wèn)題所遵循的物理規(guī)律本 身去探求。物體的平衡遵循的物理規(guī)律是共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件：，要用該規(guī)律去 分析平衡問(wèn)題，首先應(yīng)明確物體所受該力在何處“共點(diǎn)” ，即明確研究對(duì)象．在分析出各個(gè) 力的大小和方向后，還要正確選定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四邊形定則建 立各力之間的聯(lián)系，借助平衡條件和數(shù)學(xué)方法，確定結(jié)果．由上述分析思路知，解決平衡 問(wèn)題的基本解題步驟為： ① 明確研究對(duì)象。 在平衡問(wèn)題中，研究對(duì)象常有三種情況： 單個(gè)物體，若物體能看成質(zhì)點(diǎn)，則物體受到的各個(gè)力的作用點(diǎn)全都畫到物體的幾 何中心上；若物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，則各個(gè)力的作用點(diǎn)不能隨便移動(dòng)，應(yīng)畫在實(shí)際作用位置 上。 物體的組合，遇到這種問(wèn)題時(shí)，應(yīng)采用隔離法，將物體逐個(gè)隔離出去單獨(dú)分析， 其關(guān)鍵是找物體之間的聯(lián)系，相互作用力是它們相互聯(lián)系的紐帶。 幾個(gè)物體的的結(jié)點(diǎn)，幾根繩、繩和棒之間的結(jié)點(diǎn)常常是平衡問(wèn)題的研究對(duì)象。 ② 分析研究對(duì)象的受力情況 分析研究對(duì)象的受力情況需要做好兩件事： 確定物體受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力。常用的辦法是首先確定重 力，其次找接觸面，一個(gè)接觸面通常對(duì)應(yīng)一對(duì)彈力和摩擦力，找到接觸面后，判定這兩個(gè) 力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等。 準(zhǔn)確畫出受力示意圖。力的示意圖關(guān)鍵是力的方向的確定，要培養(yǎng)養(yǎng)成準(zhǔn)確畫圖 的習(xí)慣。在分析平衡問(wèn)題時(shí)，很多同學(xué)常出錯(cuò)誤，其重要原因就是畫圖不重視、不規(guī)范， 將力的方向搞錯(cuò)，導(dǎo)致全題做錯(cuò)。 ③ 選取研究方法——合成法或分解法 合成法或分解法實(shí)際上都是平行四邊形定則，采用這兩種方法的實(shí)質(zhì)是等效替代，即 通過(guò)兩個(gè)力的等效合成或某個(gè)力的兩個(gè)等效分力建立已知力與被求力之間的聯(lián)系，為利用 平衡條件解問(wèn)題做好鋪墊。 在解題中采用合成法還是分解法應(yīng)視問(wèn)題而定，當(dāng)受力較少時(shí)，兩種方法求解都很方 便。由于高中階段在對(duì)力進(jìn)行合成或分解時(shí)只要求會(huì)用直角三角形討論計(jì)算，因此，對(duì)物 體受力進(jìn)行正交分解，利用正交分解法求解的平衡問(wèn)題較為常見．在建立正交坐標(biāo)系時(shí)， 其基本原則是使盡可能多的力在坐標(biāo)軸上，這樣分解的力個(gè)數(shù)少，求解時(shí)方便。 ④ 利用平衡條件建立方程 利用合成法分析問(wèn)題時(shí)，其平衡方程為： 利用分解法特別是正交分解法分析平衡問(wèn)題時(shí)，其平衡方程為：， ⑤ 數(shù)學(xué)方法求解 建立平衡方程后，利用數(shù)學(xué)方法即可得到結(jié)果。在平衡問(wèn)題中，常用的數(shù)學(xué)方法有： 代數(shù)法、三角函數(shù)法、相似三角形法、極值問(wèn)題等，通過(guò)對(duì)學(xué)生選擇數(shù)學(xué)方法解題過(guò)程的 考查，可以鑒別其運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問(wèn)題的能力。 2. 掌握題型抓關(guān)鍵 明確分析思路和解題步驟后，各種各樣的平衡問(wèn)題均可按此步驟分析求解。但在實(shí)際 解題過(guò)程中仍感到困難重重。原因何在？原因在于為增加試題難度，在上述解題步驟的某 個(gè)環(huán)節(jié)上設(shè)置障礙，造成學(xué)生分析思維受阻。若能找到這些障礙點(diǎn)，即關(guān)鍵之處，并加以 突破，問(wèn)題便迎刃而解了。 （1）三力平衡問(wèn)題 物體在三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，要求我們分析三力之間的相互關(guān)系的問(wèn)題叫三 力平衡問(wèn)題，這是物體受力平衡中最重要、最典型也最基礎(chǔ)的平衡問(wèn)題。這種類型的問(wèn)題 有以下幾種常見題型。 ① 三個(gè)力中，有兩個(gè)力互相垂直，第三個(gè)力角度（方向）已知。 ② 三個(gè)力互相不垂直，但夾角（方向）已知《考試說(shuō)明》中規(guī)定力的合成與分解的計(jì) 算只限于兩力之間能構(gòu)成直角的情形。三個(gè)力互相不垂直時(shí)，無(wú)論是用合成法還是分解法， 三力組成的三角形都不是直角三角形，造成求解困難。因而這種類型問(wèn)題的解題障礙就在 于怎樣確定研究方法上。解決的辦法是采用正交分解法，將三個(gè)不同方向的力分解到兩個(gè) 互相垂直的方向上，再利用平衡條件求解。 ③ 三個(gè)力互相不垂直，且夾角（方向）未知 三力方向未知時(shí)，無(wú)論是用合成法還是分解法，都找不到合力與分力之間的定量 聯(lián)系，因而單從受力分析圖去求解這類問(wèn)題是很難找到答案的。要求解這類問(wèn)題，必 須變換數(shù)學(xué)分析的角度，從我們熟悉的三角函數(shù)法變換到空間幾何關(guān)系上去考慮，因 而這種問(wèn)題的障礙點(diǎn)是如何正確選取數(shù)學(xué)分析的方法。 解決這種類型的問(wèn)題的對(duì)策是：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形 關(guān)系和三角形關(guān)系，再根據(jù)力的三角形尋找與之相似的空間三角形，利用三角形的相似比 求解。 ④ 三力的動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題 即三個(gè)力中，有一個(gè)力為恒力，另一個(gè)力方向不變，大小可變，第三個(gè)力大小方向均 可變，分析第三個(gè)力的方向變化引起的物體受力的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題。 這種類型的問(wèn)題不需要通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)得出結(jié)論，因而障礙常出現(xiàn)在受力分析和畫 受力分析圖上。在分析這類問(wèn)題時(shí)，要注意物體“變中有不變”的平衡特點(diǎn)，在變中尋找 不變量。即將兩個(gè)發(fā)生變化的力進(jìn)行合成，利用它們的合力為恒力的特點(diǎn)進(jìn)行分析。在解 決這類問(wèn)題時(shí)，正確畫出物體在不同狀態(tài)時(shí)的受力圖和平行四邊形關(guān)系尤為重要。 （2）多力平衡問(wèn)題 物體在四個(gè)或四個(gè)以上的力作用下的平衡問(wèn)題叫多力平衡問(wèn)題．處理多力平衡問(wèn)題的 思路有以下兩種： ① 化多力為三力，利用三力問(wèn)題的處理方法進(jìn)行分析。 利用熟悉的物理規(guī)律和結(jié)論去分析、解決新問(wèn)題是物理學(xué)中最常用的一種物理思路， 力的等效替代就是這種思路的具體應(yīng)用之一，在多力問(wèn)題中，如果將某些力先合成，考慮 其合力與剩余力之間的關(guān)系，即可將多力問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三力問(wèn)題，用我們前面討論的方法加 以分析和研究。 ② 利用正交分解法分析求解，當(dāng)受力較多時(shí)，利用合成法需要幾次合成才能得出結(jié) 論，分析起來(lái)較繁瑣。最常見的多力平衡問(wèn)題就是直接建立正交坐標(biāo)系，在分析物體受力 后，利用正交分析法求解。 【典型例題分析】 （一）運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解答物理題 幾何知識(shí)：二邊之和大于第三邊，二邊之差小于第三邊。 [例 1] 一個(gè)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力的作用，若這三個(gè)力的大小是如下各組，則可使物體平衡 的是哪幾組（ ） A. F1＝4N，F(xiàn) 2=7N，F(xiàn) 3＝8N B. F1＝8N，F(xiàn) 2=8N，F(xiàn) 3＝1N C. F1＝4N，F(xiàn) 2＝6N，F(xiàn) 3＝1N D. F1=3N，F(xiàn) 2=5N，F(xiàn) 3=2N 分析與解：物體平衡條件為合力為零。該題中任意二力的合力大小應(yīng)與第三個(gè)力相等。 滿足這種要求有兩種情況： （1）若三力在同一直線上，則二力大小之和等于第三力大??；二力之差等于第三力大 小，故 D 正確。 （2）若三力不在同一直線上，兩力的合力與這兩個(gè)力可構(gòu)成封閉的三角形。即二力大 小之和大于第三力大小，二力大小之差小于第三力大小，故 A、B 正確。 （二）運(yùn)用三角形角邊關(guān)系解答物理題 幾何知識(shí)：三角形中大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。 [例2] 如圖1所示，OA、OB、OC是抗拉程度相同的繩子，如果物體的重力超過(guò)某一值時(shí)， 則繩子（ ） A. A段先斷 B. OB段先斷 C. OC段先斷 D. 一起斷 分析與解：對(duì)O點(diǎn)進(jìn)行受力分析，兩條繩子拉力的合力大小等于物體C的重力大小， 如圖2所示。顯然，在三角形△OCD中，∠ODC=90是這三個(gè)角中的最大角，所對(duì)應(yīng)的邊 OC應(yīng)是最大，所以T OA＞T OB，OA段先斷。故A正確。 （三）運(yùn)用相似三角形性質(zhì)解答物理題。 幾何知識(shí)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例。 [例3] 兩根長(zhǎng)度相等的輕繩下端懸掛一質(zhì)量為m物體，上端分別固定在天花板M、N兩點(diǎn)， M、N之間距離為S，如圖所示。已知兩繩所能承受的最大拉力均為T，則每根繩長(zhǎng)度不得 短于____ 。 分析與解：繩子越短，兩條繩夾角越大，繩子張力越大。對(duì)圖3作輔助線OE⊥MN，對(duì) D點(diǎn)受力分析如圖所示，∵ △DBC∽△ONE， 有，其中， ， 則 22224)(gmTSgT SCBNEDO?????? （四）運(yùn)用點(diǎn)與直線關(guān)系解答物理題 幾何知識(shí)：點(diǎn)到直線的各條線段中，垂距最短。 [例4] 如圖所示，繩子OA與豎直墻構(gòu)成的角度θ不變，求物體靜止時(shí)，拉力F的最小值？ 分析與解：繩子OA張力，拉力F與物體重力mg的合力為零。對(duì)O點(diǎn)受力分析如圖所示。 由于OA的方向不變，重力mg、拉力F的合力的大小與OA的張力大小相等，方向相反。根據(jù) 力的合成知識(shí)，三力組成的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，如三角形EOD，其中OE矢量表示重力，DO表 示張力，ED表示拉力。但EC⊥AB是E點(diǎn)到直線AB最短的一條，即拉力F最小為F=mgsinθ。 【模擬試題】 1. 如下圖所示，物體 m 靜止在粗糙斜面上，現(xiàn)用從零開始逐漸增大的水平推力 F 作用在 物體上，且使物體仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，則（ ） A. 物體對(duì)斜面的壓力一定增大 B. 斜面所受物體的靜摩擦力方向可能沿斜面向上 C. 斜面對(duì)物體的靜摩擦力有可能減少 D. 物體所受的合外力不可能為零 2. 如下圖所示，人在岸上通過(guò)滑輪用繩牽引小船，若水的阻力恒定不變，則在船勻速靠 岸的過(guò)程中下述說(shuō)法正確的是（ ） A. 繩的拉力不斷增大 B. 繩的拉力保持不變 C. 船受到浮力保持不變 D. 船受到浮力不斷減小 3. 將某種材料的長(zhǎng)方體鋸成 A、B 兩塊，放在水平桌面上，并緊靠在一起，物體 A 的角 度如圖所示，現(xiàn)用水平方向的力 F 推物體，使 A、B 保持矩形整體沿力 F 方向勻速運(yùn)動(dòng)，則 （ ） A. 物 A 在水平方向受兩個(gè)力作用，合力為零 B. 作用于 A 的摩擦力不止一個(gè) C. 物 B 對(duì)物 A 的壓力小于桌面對(duì) A 的摩擦力大小 D. 物 B 在水平方向受三個(gè)力的作用 4. 如圖所示的光滑斜面上，質(zhì)量為 m 的物塊在拉力 F 作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，F(xiàn) 的方向與 斜面夾角為 α，則以下說(shuō)法正確的是（ ） A. F 的方向與斜面的夾角 α 的取值范圍為 -π/2<α<π/2–θ(取逆時(shí)針為正) B. α=θ 時(shí)，F(xiàn) 值最小 C. F 方向水平時(shí)，F(xiàn)=mg tanθ D. F 的最小值為 mg sinθ 5. 如圖所示，光滑斜面上安裝一光滑擋板 AO，擋板可繞 O 處鉸鏈無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，在擋板 與斜面間放一勻質(zhì)球，現(xiàn)使擋板從圖示位置緩慢轉(zhuǎn)至豎直位置，則此過(guò)程中球?qū)醢宓膲?力 N1 的變化情況可能是（ ） A. 逐漸減小 B. 逐漸增大 C. 先減小后增大 D. 先增大后減小 6. 一盞電燈用繩子OA和OB懸掛在天花板和墻壁之間，如圖，現(xiàn)改變繩子OB的長(zhǎng)度，使B 點(diǎn)沿墻壁上移，并保持O點(diǎn)與A點(diǎn)位置不變, 則當(dāng)B點(diǎn)逐漸上移時(shí)，繩子OB的拉力將（ ） A. 逐漸變大 B. 逐漸變小 C. 先增大后減小 D. 先減小后增大 7、如圖所示，現(xiàn)用兩根繩子 AO 和 BO 懸掛電燈，已知 AO 繩與天花板水平頂棚間的夾角 為 37，BO 繩水平，每根繩子所能承受的最大拉力均為 10N，則以下幾個(gè)電燈中能安全懸 掛的是（ ） A. 2N B. 5N C. 8N D. 10N 8. 如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為 m，4m 的小球 A、B 之間用輕桿連接，并通過(guò)長(zhǎng) L 的輕繩 掛在光滑的小滑輪上，平衡時(shí) OA、BO 的線段長(zhǎng)分別為（ ） A. 2L/3， L/3 B. 3L/4， L/4 C. 4L/5， L/5 D. L/2， L/2 9. 一質(zhì)量為 m 的物體放在傾角為 θ 的斜面上，如果物體能沿斜面勻速下滑，則物體與 斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為________；如果在此物體上作用一個(gè)水平力使物體靜止在斜面上， 水平力大小為 mg tgθ，這時(shí)物體與斜面間的摩擦力為________。 10. 如圖所示，質(zhì)量為 m1=0.4㎏的物體 A 與質(zhì)量為 m2=2㎏的物體 B 疊放在傾角為 30的 斜面上，物體 B 在平行于斜面向上的拉力 F 作用下勻速運(yùn)動(dòng)，已知 A、B 總保持相對(duì)靜止， 若 A、B 間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為，B 與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求： （1）則 A、B 間的摩擦力為多少？ （2）拉力 F 為多少？ 11. 質(zhì)量為 m=5kg 的物體，置于傾角為?=370 的的固定斜面上，剛好勻速下滑?，F(xiàn)對(duì)物 體施加一水平推力 F，使物體沿斜面勻速向上運(yùn)動(dòng)，求水平推力 F 的大小。 12. 水平橫梁的一端 A 插在墻壁內(nèi)，另一端裝有一小滑輪 B。輕繩的一端 C 固定墻壁上， 另一端跨過(guò)滑輪后懸掛一質(zhì)量為的重物， ，如圖所示?；喪艿嚼K子的壓力大小是多少，方 向是什么方向？（g 取 10N / kg） 13. 如圖所示，質(zhì)為 m，橫截面為直角三角形的物塊 ABC， ，AB 邊靠在豎直的墻面上，F(xiàn) 是垂直于斜面 BC 的推力，現(xiàn)物塊靜止不動(dòng)，求物塊所受摩擦力大小。 【試題答案】 1. ABC 2. AD 3. BC 4. ACD 5. C 6. D 7. AB 8. C 9. ，0 10. （1）2.0N （2）21N（向上運(yùn)動(dòng)） ；3N（向下運(yùn)動(dòng)） 11. 1200/7 牛 12. ∴；方向?yàn)閮?F 的角平分線方向，與 AB 成角，向左偏下。13.