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2019-2020年高三第三次模擬考試 數(shù)學 注意事項： 1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘． 2．答題前，請務必將自己的姓名、學校寫在答題卡上．試題的答案寫在答題卡上對應題目的答案空格內．考試結束后，交回答題卡． 參考公式： 方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù)． 柱體的體積公式：V＝Sh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高． 錐體的體積公式：V＝Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上． 1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{3，4}，則?(A∪B)＝ ▲ ． （第4題圖） Read x If x≥0 Then y←2 Else y← 2－x2 End If Print y 2．甲盒子中有編號分別為1，2的2個乒乓球，乙盒子中有編號分別為3，4，5，6的4個乒乓球．現(xiàn)分別從兩個盒子中隨機地各取出1個乒乓球，則取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為 ▲ ． 3．若復數(shù)z滿足z＋2＝3＋2i，其中i為虛數(shù)單位，為 復數(shù)z的共軛復數(shù)，則復數(shù)z的模為 ▲ ． 4．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為1， 則輸入x的值為 ▲ ． 7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙 （第5題圖） 5．如圖是甲、乙兩名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則在這五場比賽中得分較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪敲\動員的得分的方差為 ▲ ． 6．在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝sin(x＋) （x∈[0，2π]）的圖象和直線y＝ 的交點的個數(shù)是 ▲ ． 7．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1的焦距為6，則所有滿足條件的實數(shù)m構成的集合是 ▲ ． 8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當x∈[2，4]時，f(x)＝|log4(x－)|， 則f()的值為 ▲ ． 9．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a3－a1＝2，則a5的最小值為 ▲ ． A C B A1 B1 C1 D （第10題圖） 10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90，點D為側棱BB1上的動點．當AD＋DC1最小時， 三棱錐D－ABC1的體積為 ▲ ． 11．若函數(shù)f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在區(qū)間[a，a＋1]上單調遞增，則實數(shù)a的最大值為 ▲ ． 12．在凸四邊形ABCD中， BD＝2，且＝0，(＋)?(＋)＝5，則四邊形ABCD的面積為 ▲ ． 13. 在平面直角坐標系xOy中，圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a為實數(shù))．若圓O與圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP＝30，則a的取值范圍為 ▲ ． 14．已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋2b≤8c，＋≤，則的取值范圍為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） A B C F E D （第15題圖） 如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點，且BD∥平面AEF． （1）求證：EF∥平面ABD； （2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求證：平面AEF⊥平面ACD． 16．（本小題滿分14分） 已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈(0，)． （1）若a－b＝(，0)，求t的值； （2）若t＝1，且a ? b＝1，求tan(2α＋)的值． 17．（本小題滿分14分） 在一水域上建一個演藝廣場．演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構成（如圖）．看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面積為400平方米．設∠BAC＝θ． （1）求BC的長（用含θ的式子表示）； （2）若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價． C B A 水域 看臺Ⅰ 表演臺 看臺 Ⅱ D E （第17題圖） 18．（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點分別為A，B，M為線段AB的中點，且＝－b2． （1）求橢圓的離心率； x y O C B D M A （第18題圖） （2）已知a＝2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥DC．記直線AD，BC的斜率分別 為k1，k2，求證：k1k2為定值． 19．（本小題滿分16分） 已知常數(shù)p＞0，數(shù)列{an}滿足an＋1＝|p－an|＋2 an＋p，n∈N． （1）若a1＝－1，p＝1， ①求a4的值； ②求數(shù)列{an}的前n項和Sn． （2）若數(shù)列{an}中存在三項ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列， 求的取值范圍． 20．（本小題滿分16分） 已知λ∈R，函數(shù)f (x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的導函數(shù)為g(x)． （1）求曲線y＝f (x)在x＝1處的切線方程； （2）若函數(shù)g (x)存在極值，求λ的取值范圍； （3）若x≥1時，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值． 南京市xx高三第三次模擬考試 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分.） 1．{2} 2． 3． 4．－1 5．6.8 6．2 7．{} 8． 9．8 10． 11． 12．3 13．[－，0] 14．[27，30] 二、解答題（本大題共6小題，計90分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟） 15．（本小題滿分14分） 證明：（1）因為BD∥平面AEF， BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF， 所以 BD∥EF． …………………… 3分 因為BD平面ABD，EF平面ABD， 所以 EF∥平面ABD． …………………… 6分 （2）因為AE⊥平面BCD，CD平面BCD， 所以 AE⊥CD． …………………… 8分 因為 BD⊥CD，BD∥EF， 所以 CD⊥EF， …………………… 10分 又 AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF， 所以 CD⊥平面AEF． …………………… 12分 又 CD平面ACD， 所以 平面AEF⊥平面ACD． …………………… 14分 16．（本小題滿分14分） 解：（1）因為向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)， 且a－b＝(，0)，所以cosα－sinα＝，t＝sin2α． …………………… 2分 由cosα－sinα＝ 得 (cosα－sinα)2＝， 即1－2sinαcosα＝，從而2sinαcosα＝． 所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝． 因為α∈(0，)，所以cosα＋sinα＝． …………………… 5分 所以sinα＝＝， 從而t＝sin2α＝． …………………… 7分 （2）因為t＝1，且a ? b＝1， 所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α． 因為α∈(0，)，所以cosα≠0，從而tanα＝． …………………… 9分 所以tan2α＝＝． …………………… 11分 從而tan(2α＋)＝＝＝． …………………… 14分 17．（本小題滿分14分） 解：（1）因為看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，所以AB＝AC． 在△ABC中，S△ABC＝AB?AC?sinθ＝400， 所以AC2＝ ． …………………… 3分 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosθ， ＝4AC2－2AC2 cosθ． ＝(4－2cosθ) ， 即BC＝ ＝40． 所以 BC＝40 ，θ∈(0，π)． …………………… 7分 （2）設表演臺的總造價為W萬元． 因為CD＝10m，表演臺每平方米的造價為0.3萬元， 所以W＝3BC＝120 ，θ∈(0，π)． …………………… 9分 記f(θ)＝，θ∈(0，π)． 則f ′(θ)＝． …………………… 11分 由f ′(θ)＝0，解得θ＝． 當θ∈(0，)時，f ′(θ)＜0；當θ∈(，π)時，f ′(θ)＞0． 故f(θ)在(0，)上單調遞減，在(，π)上單調遞增， 從而當θ＝ 時，f(θ)取得最小值，最小值為f()＝1． 所以Wmin＝120(萬元)． 答：表演臺的最低造價為120萬元． …………………… 14分 18．（本小題滿分16分） 解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M為線段AB的中點得M(，)． 所以＝(，)，＝(－a，b)． 因為＝－b2，所以(，)(－a，b)＝－＋＝－b2， 整理得a2＝4b2，即a＝2b． …………………… 3分 因為a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即a＝2c． 所以橢圓的離心率e＝＝． …………………… 5分 （2）方法一：由a＝2得b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1． 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為－． …………………… 7分 因為AB∥DC，故可設DC的方程為y＝－x＋m．設D(x1，y1)，C(x2，y2)． 聯(lián)立消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝2m，從而x1＝2m－x2． ……………………… 9分 直線AD的斜率k1＝＝，直線BC的斜率k2＝＝， ……………………… 11分 所以k1k2＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 即k1k2為定值． ………………………16分 方法二：由a＝2得b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1． 從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為－． …………………… 7分 設C(x0，y0)，則＋y02＝1． 因為AB∥CD，故CD的方程為y＝－(x－x0)＋y0． 聯(lián)立消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0， 解得x＝x0（舍去）或x＝2y0． 所以點D的坐標為(2y0，x0)． ……………………… 13分 所以k1k2＝＝，即k1k2為定值． ……………………… 16分 19．（本小題滿分16分） 解：（1）因為p＝1，所以an＋1＝|1－an|＋2 an＋1． ① 因為 a1＝－1，所以 a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1， a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3， a4＝|1－a3|＋2 a3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因為a2＝1，an＋1＝|1－an|＋2 an＋1， 所以當n≥2時，an≥1， 從而an＋1＝|1－an|＋2 an＋1＝an－1＋2 an＋1＝3an， 于是有 an＝3n－2(n≥2) ． …………………………… 5分 當n＝1時，S1＝－1； 當n≥2時，Sn＝－1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋＝ ． 所以 Sn＝ 即Sn＝，n∈N． ………………………… 8分 （2）因為an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2 p＞0， 所以an＋1＞an，即{an}單調遞增． ………………………… 10分 （i）當≥1時，有a1≥p，于是an≥a1≥p， 所以an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an，所以an＝3n－1a1． 若{an}中存在三項ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列，則有2 as＝ar＋at， 即23s－1＝3r－1＋3t－1． （） 因為s≤t－1，所以23s－1＝3s＜3t－1＜3r－1＋3t－1， 即（）不成立． 故此時數(shù)列{an}中不存在三項依次成等差數(shù)列． ……………………… 12分 （ii）當－1＜ ＜1時，有－p＜a1＜p． 此時a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p， 于是當n≥2時，an≥a2＞p， 從而an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an． 所以an＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)． 若{an}中存在三項ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列， 同（i）可知，r＝1， 于是有23s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)． 因為2≤s≤t－1， 所以＝23s－2－3t－2＝3s－3t－1＜0． 因為23s－2－3t－2是整數(shù)，所以≤－1， 于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，與－p＜a1＜p相矛盾． 故此時數(shù)列{an}中不存在三項依次成等差數(shù)列． ………………… 14分 （iii）當≤－1時，則有a1≤－p＜p，a1＋p≤0， 于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p， a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p， 此時有a1，a2，a3成等差數(shù)列． 綜上可知：≤－1． ……………………………… 16分 20．（本小題滿分16分） 解：（1）因為f′(x)＝ex－e－λlnx， 所以曲線y＝f (x)在x＝1處的切線的斜率為f′(1)＝0， 又切點為(1，f (1))，即(1，0)， 所以切線方程為y＝0． ………………………… 2分 （2）g (x)＝ex－e－λlnx，g′(x)＝ex－． 當λ≤0時，g′(x)＞0恒成立，從而g (x)在(0，＋∞)上單調遞增， 故此時g (x)無極值． ………………………… 4分 當λ＞0時，設h(x)＝ex－，則h′(x)＝ex＋＞0恒成立， 所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞增． ………………………… 6分 ①當0＜λ＜e時， h(1)＝e－λ＞0，h()＝e－e＜0，且h(x)是(0，＋∞)上的連續(xù)函數(shù)， 因此存在唯一的x0∈(，1)，使得h(x0)＝0． ②當λ≥e時， h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且h(x)是(0，＋∞)上的連續(xù)函數(shù)， 因此存在唯一的x0∈[1，λ)，使得h(x0)＝0． 故當λ＞0時，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0． …………………… 8分 且當0＜x＜x0時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，當x＞x0時，h(x)＞0，即g′(x)＞0， 所以g (x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增， 因此g (x)在x＝x0處有極小值． 所以當函數(shù)g (x)存在極值時，λ的取值范圍是(0，＋∞)． …………………… 10分 （3）g (x)＝f′(x)＝ex－e－λlnx，g′(x)＝ex－． 若g′(x)≥0恒成立，則有λ≤xex恒成立． 設φ(x)＝xex(x≥1)，則φ′(x)＝(x＋1) ex＞0恒成立， 所以φ(x)單調遞增，從而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e． 于是當λ≤e時，g (x)在[1，＋∞)上單調遞增， 此時g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，從而f (x)在[1，＋∞)上單調遞增． 所以f (x)≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分 當λ＞e時，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g (x)在(0，x0)上單調遞減， 即f′(x)在(0，x0)上單調遞減． 所以當1＜x＜x0時，f′(x)＜f′(1)＝0， 于是f (x)在[1，x0)上單調遞減，所以f (x0)＜f (1)＝0． 這與x≥1時，f (x)≥0恒成立矛盾． 因此λ≤e，即λ的最大值為e． …………………………… 16分 南京市xx高三第三次模擬考試 數(shù)學附加參考答案及評分標準 21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．選修4—1：幾何證明選講 A B C D E （第21(A)圖） 證明：連結BE． 因為AD是邊BC上的高，AE是△ABC的外接圓的直徑， 所以∠ABE ＝∠ADC＝90． …………… 4分 ∠AEB＝∠ACD， …………… 6分 所以△ABE∽△ADC， …………… 8分 所以 ＝ ． 即ABAC＝ADAE． …………… 10分 B．選修4—2：矩陣與變換 解：（1）AX＝ ＝ ． …………… 2分 因為AX＝，所以解得x＝3，y＝0． …………… 4分 （2）由（1）知A＝ ，又B＝ ， 所以AB ＝ ＝ ． …………… 6分 設(AB)－1 ＝ ，則 ＝ ， 即 ＝ ． …………… 8分 所以 解得a＝，b＝－，c＝0，d＝， 即 (AB)－1＝ ． …………… 10分 （說明：逆矩陣也可以直接使用公式求解，但要求呈現(xiàn)公式的結構） C．選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 解：由于r2 ＝ x2＋y2，rcosθ ＝ x， 所以曲線C的直角坐標方程為 x2＋y2－8x＋15＝0， 即 (x－4)2+y2＝1，所以曲線C是以 (4，0) 為圓心，1為半徑的圓．…………… 3分 直線l的直角坐標方程為 y＝x ，即x－y＝0． …………… 6分 因為圓心 (4，0) 到直線l的距離d＝＝2＞1． …………… 8分 所以直線l與圓相離， 從而PQ的最小值為d－1＝2－1．可2+y2() C 1313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 …………… 10分 D．選修4—5：不等式選講 證明：因為x＞0，所以x3＋2 ＝ x3＋1＋1 ≥ 3 ＝ 3x， 當且僅當x3＝1，即x＝1時取“＝”． …………… 4分 因為y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y， 當且僅當y＝1時取“＝”． …………… 8分 所以 (x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y， 即x3＋y2＋3≥3x＋2y，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，取“＝”． …………… 10分 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答卷卡指定區(qū)域內作答．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 解：（1）設P(x，y)為曲線C上任意一點 ． 因為PS⊥l，垂足為S，又直線l：x＝－1，所以S(－1，y)． 因為T(3，0)，所以＝(x，y)， ＝(4，－y)． 因為＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x． 所以曲線C的方程為y2＝4x． …………… 3分 （2）因為直線PQ過點(1，0)， 故設直線PQ的方程為x＝my＋1．P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 聯(lián)立消去x，得y2―4my―4＝0． 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝―4． …………… 5分 因為M為線段PQ的中點，所以M的坐標為(，)，即M (2m2＋1，2m)． 又因為S(－1，y1)，N(－1，0)， 所以＝(2m2＋2，2m－y1)，＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2)． …………… 7分 因為(2m2＋2) y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2) y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1 ＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0． 所以向量與共線． …………… 10分 23．（本小題滿分10分） 解：（1）由題意，當n＝2時，數(shù)列{an}共有6項． 要使得f(2)是2的整數(shù)倍，則這6項中，只能有0項、2項、4項、6項取1， 故T2＝C＋C＋C＋C＝25＝32． ……………………… 3分 （2）Tn＝C＋C＋C＋…＋C ． ……………………… 4分 當1≤k≤n，k∈N*時， C＝C＋C＝C＋C＋C＋C＝2C＋C＋C ＝2 (C＋C)＋C＋C＋C＋C ＝3 (C＋C)＋C＋C， ……………………… 6分 于是Tn＋1＝C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋3(C＋C＋C＋C＋…＋C＋C)＋Tn－C＋Tn－C ＝2 Tn＋3(23n－Tn) ＝38n－Tn． ……………………… 8分 下面用數(shù)學歸納法證明Tn＝[8n＋2(－1)n]． 當n＝1時，T1＝C＋C＝2＝[81＋2(－1)1]，即n＝1時，命題成立． 假設n＝k (k≥1，k∈N*) 時，命題成立，即Tk＝[8k＋2(－1)k]． 則當n＝k＋1時， Tk＋1＝38k－Tk＝38k－[8k＋2(－1)k]＝[98k－8k－2(－1)k]＝[8k＋1＋2(－1)k＋1]， 即n＝k＋1時，命題也成立． 于是當n∈N*，有Tn＝[8n＋2(－1)n]． ……………………… 10分