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2019-2020年高中數(shù)學 3-1-2 空間向量的數(shù)乘運算 活頁規(guī)范訓練 新人教A版選修2-1 1．給出的下列幾個命題： ①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，則存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個數(shù)為 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析?、偌倜}．三個向量共面時，它們所在的直線或者在平面內或者與平面平行； ②真命題．這是關于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當b＝0，則有無數(shù)多個λ使之成 立． 答案　B 2．設空間四點O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則 (　　)． A．點P一定在直線AB上 B．點P一定不在直線AB上 C．點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上 D.與的方向一定相同 解析　已知m＋n＝1，則m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝ n(－)?＝n.因為≠0，所以和共線，即點A，P，B共線，故選A. 答案　A 3．已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有＝x＋＋，則x的值為 (　　)． A．1 B．0 C．3 D. 解析　∵＝x＋＋，且M，A，B，C四點共面，∴x＋＋＝1，x＝，故 選D. 答案　D 4．以下命題：①兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；②共線的兩個向量互相平行；③共面的三個向量是指在同一平面內的三個向量；④共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量．其中正確命題的序號是________． 解析　根據(jù)共面與共線向量的定義判定，易知②④正確． 答案　②④ 5．設e1，e2是平面內不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則k＝______． 解析?。剑絜1－4e2，＝2e1＋ke2， 又A、B、D三點共線，由共線向量定理得＝λ， ∴＝.∴k＝－8. 答案?。? 6．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量與＋是否共線？ 解　取AC中點為G. 連接EG，F(xiàn)G， ∴＝，＝， 又∵，，共面， ∴＝＋ ＝＋ ＝(＋)， ∴與＋共線． 7．對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，有＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝1是P，A，B，C四點共面的 (　　)． A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析　若x＋y＋z＝1，則＝(1－y－z)＋y＋z，即＝y(tǒng)＋z，由共面定 理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四點共面；反之，若P，A，B，C四 點共面，當O與四個點中的一個(比如A點)重合時，＝0，x可取任意值，不一定有x ＋y＋z＝1，故選B. 答案　B 8．已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2＋＝0，則等于(　　)． A．2－ B．－＋2 C.－ D．－＋ 解析　由已知得2(－)＋(－)＝0， ∴＝2－. 答案　A 9．如圖所示，在四面體O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝______(用a，b，c表示)． 解析?。剑絘＋ ＝a＋(－) ＝a＋ ＝a＋(＋) ＝a＋b＋c. 答案　a＋b＋c 10．已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值為________． 解析　∵A，B，C三點共線，∴存在唯一實數(shù)k使＝k， 即－＝k(－)， ∴(k－1)＋－k＝0， 又λ＋m＋n＝0， 令λ＝k－1，m＝1，n＝－k， 則λ＋m＋n＝0. 答案　0 11．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點． 證明：向量、、是共面向量． 證明　法一　＝＋＋ ＝－＋ ＝(＋)－ ＝－. 由向量共面的充要條件知，、、是共面向量． 法二　連結A1D、BD，取A1D中點G，連結FG、BG， 則有FG綉DD1，BE綉DD1， ∴FG綉B(tài)E. ∴四邊形BEFG為平行四邊形． ∴EF∥BG. ∴EF∥平面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， ∴、、都與平面A1BD平行． ∴、、共面． 12．(創(chuàng)新拓展)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點． (1)證明E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)證明BD∥平面EFGH. 證明　如圖，連結EG，BG. (1)∵＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋＝＋， 由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)法一　∵＝－＝－＝， ∴EH∥BD. 又EH?面EFGH，BD?面EFGH， ∴BD∥面EFGH. 法二　∵＝＋＝2＋2 ＝2＝2(＋)＝2＋2， 又，不共線，∴與，共面． 又BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH.