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2019-2020年高中數(shù)學重點中學第11課時平面向量數(shù)量積的坐標表示教案湘教版必修2 教學目的： ⑴要求學生掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示 ⑵掌握向量垂直的坐標表示的充要條件，及平面內兩點間的距離公式 ⑶能用所學知識解決有關綜合問題 教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示 教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 一、復習引入： 1．兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量與，作＝，＝，則∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角. 2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cosq叫與的數(shù)量積，記作，即有 = ||||cosq， （０≤θ≤π）.并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0 3．向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||cosq的乘積 4．兩個向量的數(shù)量積的性質： 設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量 1 = =||cosq；2^ = 0 3當與同向時， = ||||；當與反向時， = -|||| 特別的 = ||2或 4cosq = ；5|| ≤ |||| 5． 平面向量數(shù)量積的運算律 交換律： = 數(shù)乘結合律：() =() = () 分配律：( + ) = + 二、講解新課： ⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標表示 已知兩個非零向量，，試用和的坐標表示 設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么 ， 所以 又，， 所以 這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和 即 2.平面內兩點間的距離公式 （1）設，則或 （2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式) 3.向量垂直的判定 設，，則 4.兩向量夾角的余弦（） cosq = 三、講解范例： 例1 設 = (5, -7)， = (-6, -4)，求 解： = 5(-6) + (-7)(-4) = -30 + 28 = -2 例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求證：△ABC是直角三角形 證明：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴=1(-3) + 13 = 0 ∴^ ∴△ABC是直角三角形 例3 已知 = (3, -1)， = (1, 2)，求滿足 = 9與 = -4的向量 解：設= (t, s)， 由 ∴= (2, -3) 例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），則與的夾角是多少? 分析：為求與夾角，需先求及｜｜｜｜，再結合夾角θ的范圍確定其值. 解：由＝（１，），＝（＋１，－１） 有＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２． 記與的夾角為θ，則cosθ＝ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定. 例5 如圖，以原點和A (5, 2)為頂點作等腰直角△ABC，使 = 90，求點和向量的坐標 解：設點坐標(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 由 ∴點坐標或；=或 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一個內角為直角， 求k值 解：當 = 90時，= 0，∴21 +3k = 0 ∴k = 當 = 90時，= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3) ∴2(-1) +3(k-3) = 0 ∴k = 當C= 90時，= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 四、課堂練習： 1.若=(-4,3),=(5,6),則3||２－４＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，則△為（ ）  A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形 3.已知=(4,3),向量是垂直的單位向量，則等于（ ） A.或 B.或 C.或 D.或 4.=(2,3),=(-2,4),則(+)(-)= . 5.已知(3，2)，(-1，-1)，若點P(x,-)在線段的中垂線上，則x= . 6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,則與的夾角為 . 參考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45 五、小結 兩向量數(shù)量積的坐標表示長度、夾角、垂直的坐標表示 六、課后作業(yè)： 1.已知=(2,3),=(-4,7),則在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（ ）  A.λ＞ B.λ≥ C.λ＜ D.λ≤ 3.給定兩個向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),則x等于（ ）  A.23  B. C. D.  4.已知||=,=(1,2)且∥,則的坐標為 . 5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，則＝ . 6.已知=(3,0),=(k,5)且與的夾角為，則k的值為 . 7.已知=(3,-1),=(1,2),求滿足條件x=9與x=-4的向量x. 8.已知點A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點C，使∠ABC＝90，若不能，說明理由；若能，求C點坐標. 9.四邊形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3), (1)若∥，求x與y間的關系式； (2)滿足(1)問的同時又有⊥,求x,y的值及四邊形ABCD的面積. 參考答案：1.C 2.A 3.C4.（，２）或（-，－２）  5.() 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略) 9.(1)x+2y=0 (2) S四邊形ABCD=16 七、板書設計（略） 八、課后記及備用資料： 已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1. 分析：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想. 解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y) 又（x+y）⊥(x+y)＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即25x+24y＝０ ① 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１ 整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ② 由①②有24xy+25y２＝１ ③ 將①變形代入③可得：y= 再代回①得：