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第十六章 幾何證明選講,高考理數(shù),1.平行線截割定理 (1)平行線等分線段定理及其推論 (i)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段 相等 ,那么在其他直線上截得的線段也 相等 . (ii)推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊. (iii)推論2:經(jīng)過梯形一腰的 中點 ,且與底邊 平行 的直線平分另一腰. (2)平行線分線段成比例定理及其推論 (i)定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段 成比例 . (ii)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段 成比例 . 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 (i)判定定理,知識清單,a. 兩角 對應相等的兩個三角形相似. b.兩邊對應成比例且夾角 相等 的兩個三角形相似. c.三邊 對應成比例 的兩個三角形相似. (ii)預備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與 原三角形 相似. (iii)直角三角形相似的特殊判定 斜邊與一條 直角邊 對應成比例的兩個直角三角形相似. (2)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對應線段的比等于 相似比 ,面積比等于 相似比的平方 . (3)直角三角形射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上 射影 的 比例中項 ;兩直角邊分別是它們在 斜邊上射影與斜邊的 比例中項 . 3.圓周角定理 (1)圓周角:頂點在 圓周上 且兩邊都與圓相交的角.,(2)圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的 一半 . (3)圓周角定理的推論 (i)同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也 相等 . (ii)半圓(或直徑)所對的圓周角是 直角 ;90的圓周角所對的弦是 直徑 . 4.圓的切線 (1)直線與圓的位置關系,(2)切線的性質(zhì)及判定定理 (i)切線的性質(zhì)定理:圓的切線 垂直于 經(jīng)過 切點 的半徑. (ii)切線的判定定理: 經(jīng)過半徑的 外端 并且 垂直 于這條半徑的 直線 是圓的切線. (3)切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長 相等 ,圓心和這一點的連線平分 兩條切線的夾角. 5.弦切角 (1)弦切角:頂點在 圓 上,一邊與圓 相切 、另一邊與圓相交的角. (2)弦切角定理及推論 (i)定理:弦切角等于它所夾的弧所對的 圓周角 . (ii)推論:同弧或等弧所對的弦切角 相等 ,同弧或等弧所對的弦切角與圓周角 相等 . 6.與圓有關的比例線段,7.圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理: (i)圓的內(nèi)接四邊形的對角 互補 . (ii)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角. (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理及推論 (i)定理:如果一個四邊形的對角 互補 ,那么這個四邊形的四個頂點共圓. (ii)推論:如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角,那么這個四邊形的四個頂點共圓.,判定兩個三角形相似的幾種方法:①兩角對應相等,兩三角形相似;②兩邊對應成比例且夾 角相等,兩三角形相似;③三邊對應成比例,兩三角形相似;④相似三角形的定義. 例1 (2015貴州七校聯(lián)盟一模,22,10分)如圖,☉O1和☉O2的公切線AD和BC相交于點D,A、B、C 為切點,直線DO1交☉O1于E、G兩點,直線DO2交☉O2于F、H兩點. (1)求證:△DEF∽△DHG; (2)若☉O1和☉O2的半徑之比為9∶16,求 的值.,突破方法,方法1 相似三角形的判定及性質(zhì),解析 (1)證明:∵AD是兩圓的公切線, ∴AD2=DEDG,AD2=DFDH, ∴DEDG=DFDH, ∴ = , 又∵∠EDF=∠HDG, ∴△DEF∽△DHG. (4分) (2)連結(jié)O1A,O2A, ∵AD是兩圓的公切線, ∴O1A⊥AD,O2A⊥AD, ∴O1A,O2A共線, ∵AD和BC是☉O1和☉O2的公切線, ∴DG平分∠ADB,DH平分∠ADC, ∴DG⊥DH,∴AD2=O1AO2A, (8分) 設☉O1和☉O2的半徑分別為9x和16x,則AD=12x,,∴144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x), ∴DE=6x,DF=4x,∴ = . (10分) 1-1 (2016廣西柳州三模,22,10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圓☉O的弦AE交BC于 點D. 求證:△ABD∽△AEB. 證明 因為AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因為∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE為公共角,可知△ABD∽△AEB.,1.圓冪定理——切割線定理、相交弦定理、割線定理等,考查常常以證明乘積恒等式的形 式出現(xiàn).因此,必須抓住以下幾點:(1)圓中的比例線段及其應用范圍;(2)線段成比例,相似三角形, 圓的切線及其性質(zhì),與圓有關的相似三角形;(3)圓冪定理的原理與證明. 例2 (2014課標Ⅱ,22,10分)選修4—1:幾何證明選講 如圖,P是☉O外一點,PA是切線,A為切點,割線PBC與☉O相交于點B,C,PC=2PA,D為PC的中點, AD的延長線交☉O于點E. 證明:(1)BE=EC; (2)ADDE=2PB2.,方法2 圓中有關定理(圓冪定理)的應用,證明 (1)連結(jié)AB,AC,由題設知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因為∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,從而 = . 因此BE=EC. (2)由切割線定理得PA2=PBPC. 因為PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得ADDE=BDDC, 所以ADDE=2PB2.,2-1 (2016貴州貴陽二模,22,10分)如圖,△ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O,過點A作圓O的切線交CB 的延長線于點P,∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點D,E,PA=2PB=10.,(1)求證:AC=2AB; (2)求ADDE的值. 解析 (1)證明:∵PA是圓O的切線, ∴∠PAB=∠ACB,又∠P是公共角, ∴△ABP∽△CAP. ∴ = ,∵PA=2PB,∴AC=2AB.,(2)由切割線定理,得PA2=PBPC, ∵PA=2PB=10,∴PC=20,∴BC=PC-PB=15. ∵AD是∠BAC的平分線,由(1)知AC=2AB, ∴ = =2. ∴CD=2DB,∴CD=10,DB=5. 又由相交弦定理,得ADDE=CDDB=50. 2.四點共圓問題往往難度較大,但出現(xiàn)的機率相對較小,主要考查學生結(jié)合圓中有關角和邊 的定理進行推理和證明,結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或判定完成問題的求解和證明. 例3 (2013課標全國Ⅱ,22,10分)選修4—1:幾何證明選講 如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點, 且BCAE=DCAF,B,E,F,C四點共圓. (1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.,解析 (1)證明:因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設知 = ,故△CDB∽ △AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因為B,E,F,C四點共圓,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90. 所以∠CBA=90,因此CA是△ABC外接圓的直徑. (2)連結(jié)CE,因為∠CBE=90,所以過B,E,F,C四點的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2= DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.,而DC2=DBDA=3DB2,故過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為 . 3-1 (2016青海西寧4月月考,22,10分)已知△ABC中,AB=AC,D為△ABC外接圓劣弧 上的點 (不與點A、C重合),延長BD至E,延長AD交BC的延長線于F. 求證:(1)∠CDF=∠EDF; (2)ABACDF=ADFCFB.,