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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3微積分同步精練 北師大版選修3-1 1．17世紀(jì)中葉，數(shù)學(xué)史上發(fā)生了一件具有劃時(shí)代意義的重大事件，那就是________的誕生．(　　) A．函數(shù) B．微積分 C．解析幾何 D．極限思想 2．歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)是(　　) A．牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》 B．牛頓的《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》 C．牛頓的《流數(shù)簡(jiǎn)論》 D．萊布尼茨的《一種求極大值極小值和切線的新方法》 3．微分學(xué)中的符號(hào)dx，dy等，積分符號(hào)∫的創(chuàng)立者是(　　) A．萊布尼茨 B．阿基米德 C．高斯 D．牛頓 4．十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第________次數(shù)學(xué)危機(jī)．(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 5．設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t)．若球的體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑(　　) A．成正比，比例系數(shù)為c B．成正比，比例系數(shù)為2c C．成反比，比例系數(shù)為c D．成反比，比例系數(shù)為2c 6．函數(shù)f(x)＝的圖像與x軸所圍成的封閉圖形的面積為(　　) A. B．1 C．2 D. 7．促使微積分產(chǎn)生的科學(xué)問題主要有______________，_____________，______________，_______________四類問題． 8．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝____________；＝________.(用數(shù)字作答) 9．向高為8 m，底面邊長(zhǎng)為8 m的倒置正四棱錐形的容器內(nèi)注水，其速度為每分鐘m3，則當(dāng)水深為5 m時(shí)，水面上升的速度為________m/min. 10．利用定積分的幾何意義計(jì)算： (1)； (2). 11．結(jié)合史料，談?wù)劙⒒椎聦?duì)于微積分的創(chuàng)立起到了什么樣的重要作用． 12．牛頓1666年寫了《流數(shù)簡(jiǎn)論》之后，始終不渝地努力改進(jìn)，完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么？哪篇是牛頓最成熟的微積分著述？為什么？ 13．為什么說在微積分的創(chuàng)立上，牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽(yù)？  參考答案 1．答案：B 2．答案：C 3．答案：A 4．答案：B 5．答案：D　解析：∵V(t)＝πR3(t)， ∴c＝V′(t)＝4πR2(t)R′(t)． ∴R′(t)＝. ∵S(t)＝4πR2(t)， ∴S′(t)＝8πR(t)R′(t)＝8πR(t)＝. 6．答案：A　解析：如圖，根據(jù)定積分的幾何意義可得所求的封閉圖形的面積： S＝11＋＝＋ ＝. 7．答案：瞬時(shí)速度問題　切線問題　函數(shù)的最值問題　面積、體積、曲線長(zhǎng)、重心和引力的計(jì)算 8．答案：2　－2　解析：∵f(x)＝ ∴f(0)＝4，f(4)＝2，即f(f(0))＝2. 又根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知＝f′(1)＝－2. 9．答案：　解析：設(shè)t分鐘時(shí)，水深為h米，則由體積相等，得， 所以h＝，h′(t)＝， 當(dāng)h＝5時(shí)，t＝， 所以v＝h′(t)|t＝(m/min)． 10．解：(1)如圖①，等于圖中陰影部分的面積，∴＝22＝2π. (2)如圖②，等于圖中陰影部分的面積和，其中，在x軸下方的面積為負(fù)， ∴＝0. 11．答：在十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨在許多數(shù)學(xué)家所做的大量準(zhǔn)備工作的基礎(chǔ)上，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分．但微積分的原理，卻可以追溯到古希臘人阿基米德所建立的確定面積和體積的方法．遠(yuǎn)在阿基米德那個(gè)時(shí)代(公元前二百多年)，沒有解析幾何，甚至連發(fā)達(dá)的字母符號(hào)也沒有，可是幾何學(xué)在古希臘已經(jīng)達(dá)到了驚人的繁榮．直到今天，在初等的幾何學(xué)中我們還很難再添加多少新的東西．正是在這種歷史條件下，阿基米德率先推導(dǎo)出了球、圓錐的體積公式，以及拋物線的弓形面積公式，他所采用的無窮小量求和的方法已經(jīng)接近于積分演算．后人在介紹阿基米德這種方法的時(shí)候，又用現(xiàn)代的符號(hào)和術(shù)語進(jìn)行了加工．下面以阿基米德推導(dǎo)拋物線的弓形面積公式為例，介紹他采用的無窮小量求和的方法．設(shè)有一拋物線f(x)，求其與橫軸x及直線x＝p(p＞0)所圍的面積，即曲邊三角形OPM(如下圖陰影部分)的面積S.阿基米德是這樣想的：設(shè)OP＝1，將OP分成n等份．曲邊三角形OPM被分割成n個(gè)帶狀面積元，這些面積元可近似地看成矩形，各條“帶子”的寬度是1/n，第k條帶子的高是x＝處拋物線的縱坐標(biāo)．所以第k條帶子的面積是，各條矩形帶子的面積和S是曲邊三角形OPM的近似面積，當(dāng)n→∞時(shí)就得到曲邊三角形OPM的精確面積S.曲邊三角形OPM的面積求出后，再求拋物線弓形面積就十分容易了．正是這種分解為無窮多個(gè)無窮小量之和的方法，在兩千年后發(fā)展成為積分學(xué)．阿基米德當(dāng)時(shí)也曾預(yù)言：“我認(rèn)為在現(xiàn)在或未來的研究者中，總會(huì)有人會(huì)利用這里所提出的方法獲得我還不曾得到的其他定理．”果然如此，他的方法在另一種歷史條件下獲得了新的發(fā)展和新的形式，牛頓、萊布尼茨建立了更加一般的方法，并且給了一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿~：積分． 12．答：這三篇論文是(1)《運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析》，簡(jiǎn)稱《分析學(xué)》；(2)《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》，簡(jiǎn)稱《流數(shù)法》；(3)《曲線求積術(shù)》，簡(jiǎn)稱《求積術(shù)》． 《曲線求積術(shù)》是牛頓最成熟的微積分著述．因?yàn)榕ｎD在其中改變了對(duì)無限小量的依賴并批評(píng)自己過去那種隨意忽略無限小量的做法：“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略．……在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量不是由非常小的部分組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動(dòng)來描述的．”在此基礎(chǔ)上定義了流數(shù)的概念之后，牛頓寫道：“流數(shù)之比非常接近于在相等但卻很小的時(shí)間間隔內(nèi)生成的流量的增量比．確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比．”牛頓接著借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時(shí)獲得的最終比．所謂“首末比方法”相當(dāng)于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，因而成為極限方法的先導(dǎo)．牛頓在《曲線求積術(shù)》中還第一次引進(jìn)了后來被普遍采用的流數(shù)記號(hào)． 13．答：牛頓和萊布尼茨都是他們時(shí)代的巨人．他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時(shí)又都將面積、體積及相關(guān)的問題歸結(jié)為反切線(微分)運(yùn)算．應(yīng)該說，微積分能成為獨(dú)立的科學(xué)并給整個(gè)自然科學(xué)帶來革命性的影響，主要是靠牛頓與萊布尼茨的工作．在科學(xué)史上，重大的真理往往在條件成熟的一定時(shí)期由不同的探索者相互獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)，微積分的創(chuàng)立，情形也是如此．經(jīng)過調(diào)查，特別是對(duì)萊布尼茨手稿的分析，證實(shí)兩人確實(shí)是相互獨(dú)立地完成了微積分的發(fā)明．就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茨則先于牛頓．從而，就微積分的創(chuàng)立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績(jī)是相當(dāng)?shù)?，故二者需共享榮譽(yù)．