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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形章末整合練習
一、選擇題(65分＝30分)
1．△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c.若a＝b，A＝2B，則cosB＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意得＝＝＝＝2cosB，cosB＝.
答案：B
2．(xx濟寧模擬)已知cosA＋sinA＝－，A為第四象限角，則tanA等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：由已知可得sin2A＝－，
所以(cosA－sinA)2＝1－sin2A＝，
故cosA－sinA＝，又cosA＋sinA＝－，
所以，cosA＝，sinA＝－.所以tanA＝－.
答案：C
3．在銳角三角形ABC中，設x＝sinAsinB，y＝cosAcosB，則x、y的大小關系為( )
A．x≤y B．x
y D．x≥y
解析：y－x＝cosAcosB－sinAsinB
＝cos(A＋B)＝－cosC，∵△ABC是銳角三角形，
∴cosC>0，∴y－x<0，∴y0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個相鄰交點的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．[kπ－，kπ＋]，k∈Z B．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
C．[kπ－，kπ＋]，k∈Z D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
解析：f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)．因為函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2的兩個相鄰交點的距離為π，故函數(shù)y＝f(x)的周期為π.所以＝π.即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x＋)．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z
得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：C
二、填空題(35分＝15分)
7．(xx煙臺模擬)若動直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的圖象分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為________．
解析：設x＝a與f(x)＝sinx的交點為M(a，y1)，
x＝a與g(x)＝cosx的交點為N(a，y2)，
則|MN|＝|y1－y2|＝|sina－cosa|
＝|sin(a－)|≤ .
答案：
8．(xx天津模擬)已知f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＋f(2 009)＝________.
解析：∵f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)
＝2sin(x＋－)＝2sinx，
∴f(x)的周期T＝＝8.
又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＋f(2 009)
＝f(1)＋2510＝2sin＝.
答案：
9．某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為5 cm，秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn)，當時間t＝0時，點A與鐘面上標12的點B重合．將A、B兩點間的距離d(cm)表示成t(s)的函數(shù)，則d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：∵經(jīng)過t(s)秒針轉(zhuǎn)了弧度，
∴＝5sin，∴d＝10sin.
答案：10sin
三、解答題(共37分)
10．(12分)已知函數(shù)f(x)＝1－2sin2(x＋)＋2sin(x＋)cos(x＋)．求：
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解析：f(x)＝cos(2x＋)＋sin(2x＋)
＝sin(2x＋＋)＝sin(2x＋)＝cos2x.
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期是T＝＝π；
(2)當2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ(k∈Z)時，函數(shù)f(x)＝cos2x是增函數(shù)，
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－，kπ](k∈Z)．
11．(12分)(xx安徽高考)設△ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對邊長，并且sin2A＝sin(＋B)sin(－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若＝12，a＝2，求b，c(其中bb知c＝6，b＝4.
12．(13分)(xx福建高考)如圖所示，某市擬在長為8 km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2)；賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120.
(1)求A，ω的值和M，P兩點的距離；
(2)應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？
解析：法一：(1)依題意，
有A＝2，＝3，
又T＝，∴ω＝.
∴y＝2sinx.
當x＝4時，y＝2sin＝3，
∴M(4,3)，又P(8,0)，∴MP＝＝5.
(2)在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5.
設∠PMN＝θ，則0<θ<60.
由正弦定理得＝＝.
∴NP＝sinθ，MN＝sin(60－θ)，
故NP＋MN＝sinθ＋sin(60－θ)
＝(sinθ＋cosθ)＝sin(θ＋60)．
∵0<θ<60，∴當θ＝30時，折線段賽道MNP最長．
亦即，將∠PMN設計為30時，折線段賽道MNP最長．
法二：(1)同法一；
(2)在△MNP中，∠MNP＝120，MP＝5，
由余弦定理得
MN2＋NP2－2MNNPcos∠MNP＝MP2，
即MN2＋NP2＋MNNP＝25.
故(MN＋NP)2－25＝MNNP≤()2.
從而(MN＋NP)2≤25，即MN＋NP≤.
當且僅當MN＝NP時等號成立．
亦即，設計為MN＝NP時，折線段賽道MNP最長．
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