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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 階段質(zhì)量檢測 北師大版選修2-2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．函數(shù)f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上(　　) A．是增函數(shù)　　　　　　　 B．是減函數(shù) C．有最大值 D．有最小值 解析：∵f′(x)＝2－cos x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)． 答案：A 2．定義在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)有唯一的極值點(diǎn)x＝x0，且y極小值＝f(x0)，則下列說法正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)有最小值f(x0) B．函數(shù)f(x)有最小值，但不一定是f(x0) C．函數(shù)f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函數(shù)f(x)不一定有最小值 解析：閉區(qū)間上的唯一的極值點(diǎn)也是最值點(diǎn)． 答案：A 3．已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則y＝f(x)(　　) A．在(－∞，0)上為減少的 B．在x＝0處取極小值 C．在(4，＋∞)上為減少的 D．在x＝2處取極大值 解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，A錯(cuò)；在x＝0處，導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，f(x)由增變減，故在x＝0處取極大值，B錯(cuò)；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，C對；在x＝2處取極小值，D錯(cuò)． 答案：C 4．函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上為增加的，在(－1,1)上為減少的，則f(1)＝ (　　) A. B．1 C. D．－1 解析：∵f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝. 答案：C 5．函數(shù)f(x)＝x＋2cos x在上取最大值時(shí)的x值為(　　) A．0 B. C. D. 解析：由f′(x)＝1－2sin x＝0，得sin x＝， 又x∈，所以x＝，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，故x＝時(shí)取得最大值． 答案：B 6．對任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是(　　) A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7 C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)不存在極值點(diǎn)． 答案：A 7．已知函數(shù)f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2時(shí)有極值，其圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(　　) A．(－∞，0) B．(0,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：∵f(x)＝ax3＋bx2， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx， ∴即 令f′(x)＝3x2－6x<0，則00，且f′(x)＝0的解為x1＝，x2＝－，則∈(0,1)，∴00)， y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時(shí)，y′>0，x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以x＝25時(shí)，y取最大值． 答案：C 10．若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝1， 當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)－11時(shí)，f′(x)>0， ∴f(－1)為極大值，f(1)為極小值， 由題意得f(1)<00， ∴函數(shù)f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)， 故最大值為f(1)＝2，最小值為f(－1)＝－12. 答案：2?。?2 14．已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋(a>0)．若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x. 令g(x)＝2x2－2x2ln x， 則g′(x)＝2x(1－2ln x)． 由g′(x)＝0得x＝e，0(舍去)， 且00； 當(dāng)x>e時(shí)g′(x)<0， ∴x＝e時(shí)g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e. 答案：[e，＋∞) 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個(gè)極值點(diǎn)． (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)試判斷在x＝1，x＝2處函數(shù)f(x)取得極大值還是極小值，并說明理由． 解：f′(x)＝＋2bx＋1. (1)因?yàn)閒′(1)＝f′(2)＝0， 所以解得 經(jīng)檢驗(yàn)，a＝－，b＝－滿足題意． (2)由(1)知，f′(x)＝－x－1－x＋1＝－. ∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0， 故在x＝1處函數(shù)取得極小值f(1)＝， 在x＝2處函數(shù)取得極大值f(2)＝－ln 2. 16．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋c. (1)若f(x)有極值，求b的取值范圍； (2)若f(x)在x＝1處取得極值，且當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)， f(x)0得1－12b>0即b<. 所以b的取值范圍是(－∞，)． (2)∵f(x)在x＝1處取得極值，∴f′(1)＝0， ∴3－1＋b＝0，得b＝－2. 則f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1， 又f(－1)＝＋c，f＝＋c， f(1)＝－＋c，f(2)＝2＋c. ∴[f(x)]max＝2＋c2或c<－1. ∴c的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 17．(本小題滿分12分)一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比．已知速度為10千米/時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他和速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問：輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最??？ 解：設(shè)速度為v千米/時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，則p＝kv3. 又∵6＝k103，∴k＝0.006， ∴p＝0.006v3. 設(shè)行駛1千米所需的總費(fèi)用為y元， 則y＝(0.006v3＋96) ＝0.006v2＋(v>0)． ∴y′＝0.012v－， 由y′＝0，得v＝20千米/時(shí)． 又∵當(dāng)020時(shí)，y′>0. ∴當(dāng)速度為20千米/時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最?。? 18．(本小題滿分14分)(xx安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝aex＋＋b(a＞0)． (1)求f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值； (2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝x，求a，b的值． 解：(1)f′(x)＝aex－， 當(dāng)f′(x)＞0，即x＞－ln a時(shí)，f(x)在(－ln a，＋∞)上遞增； 當(dāng)f′(x)＜0，即x＜－ln a時(shí)，f(x)在(－∞，－ln a)上遞減． ①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，－ln a＞0，f(x)在(0，－ln a)上遞減，在(－ln a，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值為f(－ln a)＝2＋b； ②當(dāng)a≥1時(shí)，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上遞增，從而f(x)在[0，＋∞)內(nèi)的最小值為f(0)＝a＋＋b. (2)依題意f′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)． 所以a＝，代入原函數(shù)可得2＋＋b＝3，即b＝. 故a＝，b＝.