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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七篇 不等式 第2講　一元二次不等式及其解法教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．會從實際情景中抽象出一元二次不等式模型． 2．考查一元二次不等式的解法及其“三個二次”間的關(guān)系問題． 3．以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．結(jié)合“三個二次”之間的聯(lián)系，掌握一元二次不等式的解法． 2．熟練掌握分式不等式、無理不等式、含絕對值不等式、高次不等式、指數(shù)不等式和對數(shù)不等式的解法． 基礎(chǔ)梳理 1．一元二次不等式的解法 (1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根． (3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系 如下表： 判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實根 x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實根 x1＝x2＝－ 沒有實數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? 一個技巧 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的確定受a的符號、b2－4ac的符號的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集．若一元二次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，化為ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其對應(yīng)的方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根x1，x2，(x1＜x2)(此時Δ＝b2－4ac＞0)，則可根據(jù)“大于取兩邊，小于夾中間”求解集． 兩個防范 (1)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù)的符號影響不等式的解集；不要忘了二次項系數(shù)是否為零的情況； (2)解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)不等式x2－3x＋2＜0的解集為(　　)． A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2) 解析　∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2. 故原不等式的解集為(1,2)． 答案　D 2．(2011廣東)不等式2x2－x－1＞0的解集是(　　)． A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞) 解析　∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0， ∴x＞1或x＜－. 故原不等式的解集為∪(1，＋∞)． 答案　D 3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)． A. B. C. D．R 解析　∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0， ∴9x2＋6x＋1≤0的解集為. 答案　B 4．(xx許昌模擬)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集為，則ab＝ (　　)． A．－28 B．－26 C．28 D．26 解析　∵x＝－2，是方程ax2＋bx－2＝0的兩根，∴ ∴a＝4，b＝7.∴ab＝28. 答案　C 5．不等式ax2＋2ax＋1≥0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析　當(dāng)a＝0時，不等式為1≥0恒成立； 當(dāng)a≠0時，須即 ∴0＜a≤1，綜上0≤a≤1. 答案　[0,1]　　 考向一　一元二次不等式的解法 【例1】?已知函數(shù)f(x)＝解不等式f(x)＞3. [審題視點(diǎn)] 對x分x≥0、x＜0進(jìn)行討論從而把f(x)＞3變成兩個不等式組． 解　由題意知或解得：x＞1. 故原不等式的解集為{x|x＞1}． 解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式Δ的符號；(3)若Δ≥0，則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根，若Δ＜0，則對應(yīng)的二次方程無根；(4)結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集． 【訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定義域為________． 解析　依題意知 解得 ∴1≤x＜3. 故函數(shù)f(x)的定義域為[1,3)． 答案　[1,3) 考向二　含參數(shù)的一元二次不等式的解法 【例2】?求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． [審題視點(diǎn)] 先求方程12x2－ax＝a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集． 解　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得：x1＝－，x2＝. ①a＞0時，－＜，解集為； ②a＝0時，x2＞0，解集為{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0時，－＞，解集為. 綜上所述：當(dāng)a＞0時，不等式的解集為； 當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}； 當(dāng)a＜0時，不等式的解集為. 解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟： (1)二次項若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式． (2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式． 【訓(xùn)練2】 解關(guān)于x的不等式(1－ax)2＜1. 解　由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0， 當(dāng)a＝0時，x∈?. 當(dāng)a＞0時，由ax(ax－2)＜0，得a2x＜0， 即0＜x＜. 當(dāng)a＜0時，＜x＜0. 綜上所述：當(dāng)a＝0時，不等式解集為空集；當(dāng)a＞0時，不等式解集為；當(dāng)a＜0時，不等式解集為. 考向三　不等式恒成立問題 【例3】?已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [審題視點(diǎn)] 化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2＋bx＋c＞0后分a＝0與a≠0討論．當(dāng)a≠0時，有 解　原不等式等價于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0對一切實數(shù)恒成立，顯然a＝－2時，解集不是R，因此a≠－2， 從而有 整理，得所以 所以a＞2. 故a的取值范圍是(2，＋∞)． 不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c＞0；當(dāng)a≠0時，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a＝0時，b＝0，c＜0；當(dāng)a≠0時， 【訓(xùn)練3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 解　法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a. ①當(dāng)a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立， 只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； ②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為[－3,1]． 法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 所求a的取值范圍是[－3,1]．　　 規(guī)范解答12——怎樣求解含參數(shù)不等式的恒成立問題 【問題研究】 含參數(shù)的不等式恒成立問題越來越受高考的青睞，且由于新課標(biāo)對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式恒成立問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起，在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢.對含有參數(shù)的不等式恒成立問題，破解的方法主要有：分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法. 【解決方案】 解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 【示例】?(本題滿分14分)(2011浙江)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－a)2ln x，a∈R. (1)若x＝e為y＝f(x)的極值點(diǎn)，求實數(shù)a； (2)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立． 注：e為自然對數(shù)的底數(shù)． 本題對于(1)問的解答要注意對于結(jié)果的檢驗，因為f′(x0)＝0，x0不一定是極值點(diǎn)；對于(2)問的解答可以采用分離參數(shù)求最值的方法進(jìn)行突破，這樣問題就轉(zhuǎn)化為單邊求最值，相對分類討論求解要簡單的多． [解答示范] (1)求導(dǎo)得f′(x)＝2(x－a)ln x＋＝(x－a)(2ln x＋1－)．(2分) 因為x＝e是f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(e)＝(e－a)＝0，解得a＝e或a＝3e.經(jīng)檢驗，符合題意，所以a＝e或a＝3e.(4分) (2)①當(dāng)0＜x≤1時，對于任意的實數(shù)a，恒有f(x)≤0＜4e2成立．(5分) ②當(dāng)1＜x≤3e時，由題意，首先有f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2， 解得3e－≤a≤3e＋(6分) 由(1)知f′(x)＝x－a.(8分) 令h(x)＝2ln x＋1－，則h(1)＝1－a＜0，h(a)＝2ln a＞0， 且h(3e)＝2ln(3e)＋1－≥2 ln(3e)＋1－＝2＞0.(9分) 又h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)在(0，＋∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x0，則1＜x0＜3e,1＜x0＜a. 從而，當(dāng)x∈(0，x0)時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(x0，a)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0.即f(x)在(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增． 所以要使f(x)≤4e2對x∈(1,3e]恒成立，只要 成立．(11分) 由h(x0)＝2ln x0＋1－＝0，知a＝2x0ln x0＋x0.(3) 將(3)代入(1)得4xln3x0≤4e2.又x0＞1，注意到函數(shù)x2ln3x在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，故1＜x0≤e. 再由(3)以及函數(shù)2xln x＋x在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，可得1＜a≤3e. 由(2)解得，3e－≤a≤3e＋. 所以3e－≤a≤3e.(13分) 綜上，a的取值范圍為3e－≤a≤3e.(14分)． 本題考查函數(shù)極值的概念，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生推理論證能力．分析問題，解決問題的能力．難度較大，做好此類題目，一要有信心，二要結(jié)合題意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，化難為易，化陌生為熟悉． 【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求實數(shù)a的值． [嘗試解答]　(1)若x＝0，則不論a取何值，f(x)＝1＞0恒成立． (2)若x＞0，即x∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝， ∴g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．∴g(x)max＝g＝4，從而a≥4. (3)若x＜0，即x∈[－1,0)時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≤－. 設(shè)h(x)＝－，則h′(x)＝， ∴h(x)在[－1,0)上單調(diào)遞增． ∴h(x)min＝h(－1)＝4，從而a≤4. 綜上所述，實數(shù)a的值為4.