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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《3.3 幾何概型》知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修3 1．在區(qū)間[0,3]上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)落在區(qū)間[2,3]上的概率是________． 解析：區(qū)間[2,3]長度為1，[0,3]長度為3，所以P＝. 答案： 2．已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min，則乘客到達(dá)站臺立即乘上車的概率是________． 解析：試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為10 min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長度為1 min，故P(A)＝. 答案： 3.如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率是________． 解析：記事件A為“射線OA落在∠xOT內(nèi)”， 因?yàn)椤蟲OT＝60，周角為360， 故P(A)＝＝. 答案： 4．如圖，在正方形內(nèi)有一扇形(見陰影部分)，扇形對應(yīng)的圓心是正方形的一頂點(diǎn)，半徑為正方形的邊長．在這個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為________．(用分?jǐn)?shù)表示) 解析：設(shè)正方形的邊長為1， ∴S正＝12＝1， 又S扇＝πr2＝π， ∴落在扇形外正方形內(nèi)的概率為 P＝＝. 答案： 一、填空題 1．一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，一學(xué)生到達(dá)該路口時(shí)，見到紅燈的概率是________． 解析：這是一個(gè)與時(shí)間長度有關(guān)的幾何概型，P＝＝. 答案： 2．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是________． 解析：如圖所示，在邊AB上任取一點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC與△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面積大于”等價(jià)于事件“BP∶AB>”．即P(△PBC的面積大于)＝＝. 答案： 3．(xx年高考湖南卷)在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為________． 解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1.由幾何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝. 答案： 4．一個(gè)長為2 m，寬為1 m的紗窗，由于某種原因，紗窗上有一個(gè)半徑為10 cm的小孔，現(xiàn)隨機(jī)向紗窗投一小沙子，則小沙子恰好從孔中飛出的概率為________． 解析：由幾何概型的計(jì)算公式得P＝＝. 答案： 5．某人手表停了，他打開電視機(jī)想利用電視上整點(diǎn)顯示時(shí)間來校正他的手表，則他等待不超過一刻鐘的概率為________． 解析：這是一個(gè)與時(shí)間長度有關(guān)的幾何概率P＝＝. 答案： 6．(xx年揚(yáng)州質(zhì)檢)有四個(gè)游戲盤，如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎，小明希望中獎，他應(yīng)當(dāng)選擇的游戲盤為________． 解析：根據(jù)幾何概型的面積比，①游戲盤的中獎概率為，②游戲盤的中獎概率為，③游戲盤的中獎概率為＝，④游戲盤的中獎概率為＝，故①游戲盤的中獎概率最大． 答案：① 7．已知半徑為2的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，若在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在正方體內(nèi)的概率為________． 解析：由題意可知，設(shè)正方體的棱長為a， 則a＝22， ∴a＝4， 故V球＝πR3＝π(2)3＝32π， V正方體＝a3＝64. 由幾何概型計(jì)算公式可知， 所求事件的概率P＝＝. 答案： 8．ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為________． 解析：如圖，要使圖中點(diǎn)到O的距離大于1，則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分，故概率為P＝＝1－. 答案：1－ 9.如圖，半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1 cm的小圓，現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋在此紙板上，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)．則硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)的概率為________． 解析：硬幣落在紙板上的測度D＝πR2＝81π；而 硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)的測度d＝D－πr2＝81π－4π＝77π，所以所求的概率P＝＝＝. 答案： 二、解答題 10．正方形ABCD的邊長為1，在正方形內(nèi)(包括邊界)任取一點(diǎn)M，求： (1)△AMB面積大于或等于的概率； (2)AM的長度不小于1的概率． 解：(1)如圖①，取BC、AD的中點(diǎn)E、F，連接EF，當(dāng)M在矩形CEFD內(nèi)(包括邊界)運(yùn)動時(shí)，△AMB的面積大于或等于，由幾何概型的概率公式，知P＝＝. (2)如圖②，以AB為半徑作弧，M在陰影部分(包括邊界)時(shí)，AM長度大于或等于1，由幾何概型的概率公式，知P＝＝1－. 11．某學(xué)校上午8∶00～11∶50上四節(jié)課，每節(jié)課50分鐘，課間休息10分鐘，家長看望學(xué)生只能在課外時(shí)間，某學(xué)生家長上午8∶00～12∶00之間隨機(jī)來校．問這位家長一來就可以見其子女的概率是多少？ 解：法一：家長上午8∶00～12∶00之間任一時(shí)刻到學(xué)校是等可能的，我們考慮樣本空間8∶00～12∶00，即4個(gè)小時(shí)，事件發(fā)生的幾何區(qū)域則是40分鐘，符合幾何概型，可以直接利用公式．設(shè)學(xué)生家長會見子女為事件A，則P(A)＝＝. 法二：學(xué)生家長在8∶00～12∶00選定到學(xué)校的時(shí)刻的機(jī)會是均等的，他到學(xué)校等待會見子女的時(shí)間不會超出一節(jié)課，每小時(shí)的情況相同，我們可以把樣本空間看成是1個(gè)小時(shí)的情形，則其可以會見子女的時(shí)間是10分鐘，仍符合幾何概型，則P(A)＝＝. 12．正方體ABCDA1B1C1D1，棱長為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M. (1)求M落在三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)的概率； (2)求M落在三棱錐BA1B1C1內(nèi)的概率； (3)求M與面ABCD的距離大于的概率； (4)求M與面ABCD及面A1B1C1D1的距離都大于的概率． 解：V正方體＝a3. (1)∵V三棱柱＝a2a＝a3， ∴所求概率P1＝. (2)∵V三棱錐＝S△A1B1C1BB1 ＝a2a ＝a3， ∴所求概率P2＝. (3)所求概率P3＝＝. (4)所求概率P4＝＝.