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2019-2020年高考數學一輪復習 6.4 應用舉例教案 新課標 一、知識歸納 1、應用正弦余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟及基本思路 （1）分析，（2）建模，（3）求解，（4）檢驗； 2、實際問題中的有關術語、名稱： （1）仰角與俯角：均是指視線與水平線所成的角； （2）方位角：是指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角； （3）方向角：常見的如：正東方向、東南方向、北偏東、南偏西等； 3、用正弦余弦定理解實際問題的常見題型有： 測量距離、測量高度、測量角度、計算面積、航海問題、物理問題等； 二、例題討論 一）利用方向角構造三角形 例1、在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東450方向，距離A處的B處有一艘走私船，在A處北偏西750的方向，距離A處2n mile 的C處的緝私船奉命以n mile /h的速度追截走私船，此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東300方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解：先根據題意畫出圖，設緝私船用th在D處追上走私船，則有CD=，BD=10t，在三角形ABC中，，由余弦定理得，從而計算，，即B在C正東，因為，在三角形BCD中，由正弦定理得： A B C D ，即緝私船應沿北偏東600方向能最快追上走私船。 二）測量距離問題 例2、某觀測站C在城A的南偏西200的方向，由城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東400，在C處測得公路上B處有一人距C為31公理，正沿公路向A城走去，走了20公里后到達D處，此時CD間的距離為21公里，問此人還要走多少公里才能到達A城？ 解：在三角形CBD中由余弦定理解得：，所以，設AD=x，在三角形ABC中，由正弦定理得：，所以此人還要走15公里才能到達A城； A P O B 三）測量高度問題 例3、地平面有一旗桿OP，為測量它的高度h，在地平面上取一基線AB=200m，在A處測得P點的仰角為，在B處測得P點的仰角為，又測得，求旗桿的高h（精確到0.1m） 解：先在三角形AOP中，求得AO=OPcot300=，同理在三角形BOP中，求得OB=h，在三角形AOB中，由余弦定理得：，解得：，即旗桿的高約為132.8m； 四）測量角度問題 例4、在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C. （I）求該船的行駛速度（單位：海里/時）; （II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由. 解 ：（I）如圖，AB=40，AC=10， 由于0<<,所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行駛速度為（海里/小時）. （II）如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B、C的坐標分別是 B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC與x軸的交點為D.由題設有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos,y2=ACsin. 所以過點B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40. 又點E（0，-55）到直線l的距離d= 所以船會進入警戒水域.