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2019-2020年高考數(shù)學(xué)知識模塊復(fù)習(xí)指－圓錐曲線導(dǎo)學(xué)案 舊人教版 【考點(diǎn)梳理】 一、考試內(nèi)容 1．曲線和方程。由已知條件列出曲線的方程。充要條件。曲線的交點(diǎn)。 2．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。橢圓的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、長軸、短軸、離心率、準(zhǔn)線。橢圓的畫法。 3．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、焦距。雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、實(shí)軸、虛軸、漸近線、離心率、準(zhǔn)線。雙曲線的畫法。等邊雙曲線。 4．拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)、準(zhǔn)線。拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率。拋物線的畫法。 5．坐標(biāo)軸的平移。利用坐標(biāo)軸的平移化簡圓錐曲線方程。 二、考試要求 1．掌握直角坐標(biāo)系中的曲線方程的關(guān)系和軌跡的概念。能夠根據(jù)所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線。 理解充分條件、必要條件、充要條件的意義，能夠初步判斷給定的兩個命題的充要關(guān)系。 2．掌握圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)。會根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線。了解圓錐曲線的一些實(shí)際應(yīng)用。 對于圓錐曲線的內(nèi)容，不要求解有關(guān)兩個二次曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)的問題（兩圓的交點(diǎn)除外）。 3．理解坐標(biāo)變換的意義，掌握利用坐標(biāo)軸平移化簡圓錐曲線方程的方法。 4．了解用坐標(biāo)研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法。 三、考點(diǎn)簡析 1．“曲線的方程”和“方程的曲線”的概念 在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： （1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解； （2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。 那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。 2．充要條件 （1）對于已知條件A和條件B，若A成立則B成立，即AB，這時稱條件A是B成立的充分條件。 （2）對于已知條件A和條件B，若B成立則A成立，即BA，這時稱條件A是B成立的必要條件。 （3）若既有AB，又有BA，那么A既是B成立的充分條件，又是B成立的必要條件，這時稱A是B成立的充要條件。 3．圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)（各選其中一種為例，其余同理研究）如下表： 橢圓 雙曲線 拋物線 定義1 平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1 F2|，的點(diǎn)的軌跡 平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡 定義2 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(01)的點(diǎn)的軌跡。 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e=1)的點(diǎn)的軌跡。 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) -=1(a>b>0) y2=2px(p>0) 圖形 頂點(diǎn)坐標(biāo) (a,0)(0, b) (a,0) (0,0) 對稱軸 x軸，長軸長為2a y軸，短軸長為2b x軸，實(shí)軸長為2a y軸，虛軸長為2b x軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) (c,0) c= (c,0) c= (，0) 焦距 2c 2c ， 離心率 (e=) 01 e=1 準(zhǔn)線 x= x= x= - 漸近線 ， y=x ， 點(diǎn)M(x0,y0) 的焦半徑公式 |MF右|=a-ex0 |MF左|=a+ex0 x0+ 4．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個公共點(diǎn)及有兩個相異公共點(diǎn)。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個數(shù)與交點(diǎn)的個數(shù)是一樣的。 5．直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由 消去y→ax2+bx+c=0 （a≠0） Δ=b2- 4ac。則弦長公式為 d==== 6．坐標(biāo)軸的平移及移軸公式 坐標(biāo)軸的方向和長度單位都不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸。 移軸公式或，這里(x,y)，(x′,y′)，(h,k)分別為原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，新原點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。 四、思想方法 1．求軌跡方程的基本方法有兩大類，即直接法和間接法。其中直接法包括：直譯法，定義法，待定系數(shù)法，公式法等。間接法包括：轉(zhuǎn)移法，參數(shù)法(k參數(shù)、t參數(shù)，θ參數(shù)及多個參數(shù))等。 2．本節(jié)解題時用到的主要數(shù)學(xué)思想方法有： （1）函數(shù)方程思想。求平面曲線的軌跡方程，其解決問題的最終落腳點(diǎn)就是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程或函數(shù)關(guān)系（參數(shù)法）。 （2）數(shù)形結(jié)合思想。解題時重視方程的幾何意義和圖形的輔助作用是非常必要的。即將對幾何圖形的研究，轉(zhuǎn)化為對代數(shù)式的研究，同時又要理解代數(shù)問題的幾何意義。 （3）等價轉(zhuǎn)化思想。在解決問題的過程中往往需要將一個問題等價轉(zhuǎn)化為另一個較為簡單的問題去求解。 3．避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法可以概括為：回避，選擇，尋求。所謂回避，就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算。所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標(biāo)系等，一般以直接性和間接性為基本原則。因?yàn)閷ζ胀ǚ匠踢\(yùn)算復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題，在極坐標(biāo)系下可能會簡單“所謂尋求”。 【例題解析】 例1 設(shè)直線l：x=，定點(diǎn)A(,0)，動點(diǎn)P到直線l的距離為d，且=。求動點(diǎn)P的軌跡C的方程。 解 設(shè)動點(diǎn)P(x,y)。由題意得=， 由兩邊平方得，x2-2x+3+y2=(x2-x+)， 即x2 - x+y2=。 經(jīng)配方得(x-)2+y2=，即(x-)2+=1。 例2 已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線C的方程。 解 設(shè)所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ① 由①的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得=5 ② 在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設(shè)方程的二根為x1,x2，則 |x1-x2|=2。 將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為 (x-h)2=a(y-k-3) 令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設(shè)方程的二根為x3,x4，則 |x3-x4|=2。 依題意得2=2， 即 4(ak+3a)=ak ③ 將拋物線①向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k), 由拋物線過原點(diǎn)，得(1-h)2=-ak ④ 由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。 ∴所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。 例3 設(shè)橢圓+=1的兩焦點(diǎn)為F1、F2，長軸兩端點(diǎn)為A1、A2。 （1）P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60，求△F1PF2的面積； （2）若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠A1QA2=120，求橢圓離心率e的取值范圍。 解 （1）設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=2a。 在△F1PF2中，|F1F2|=2c, ∠F1PF2=60, 由余弦定理，得4c2=r12+r22 –2r1r2cos60=(r1+r2)2 –3r1r2, 將r1+r2=2a代入，得r1r2=(a2-c2)= b2 ∴S△FPF=r1r2sin60 =b2=b2。 （2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0)，則b2x02+a2y02=a2b2。 ∵∠A1QA2=120,又不妨設(shè)A1(a,0),A2(-a,0)， ∴tan（π-∠A1QA2）=== 將x02=a2 -y02代入得= 解得,y0= ∵-b≤y0≤b ∴b2+2ab -a2≤0 即()2+2()-≤0，解得≤，e2=1-≥，且e2<1?！唷躤<1。 例4 設(shè)雙曲線-=1的焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為2。 （1）求此雙曲線的漸近線L1、L2的方程； （2）若A、B分別為L1、L2上的動點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F2|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程并說明軌跡是什么曲線。 解 （1）由已知得已知雙曲線的離心率為=2，解得a2=1，所以已知雙曲線方程為y2-=1，它的漸近線L1、L2的方程為x-y=0和x+y=0。 （2）因?yàn)閨F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，所以|AB|=10。 設(shè)A在L1上，B在L2上，則可以設(shè)A(y1,y1)、B(-y2、y2)， ∴=10 ① 設(shè)AB的中點(diǎn)M(x,y)，則x=,y=。 ∴y1-y2=,y1+y2=2y， 代入①得12y2+=100，即中點(diǎn)M的軌跡方程為+=1，是橢圓。 例5 已知橢圓的一個頂點(diǎn)為A(0,-1)，焦點(diǎn)在x軸上，其右焦點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離為3， （1）求橢圓方程； （2）橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)|AM|=|AN|時，求m的取值范圍。 解 （1）設(shè)已知橢圓方程為+=1(a>b>0) 其中b=1。又設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0)，則 =3，解得c=,∴a=。 ∴橢圓方程為+y2=1。 （2）設(shè)P為MN的中點(diǎn)， 解方程組得 (3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0 Δ= -12m2+36k2+12>0，得m2<3k2+1 ① 又xM+xN=,xP= yP=kxP+m=∴kAP= 又由MN⊥AP得 = -。 變形后，得2m=3k2+1 ② 把②代入①，得2m>m2,解得00，解得m>。 ∴0 (1) 又PQ的中點(diǎn)M(xM,yM)在L上， 且 ∴將xM、yM代入L的方程得 =-1，即b=, 代入（1）式解得：k∈(-∞,-1)∪（-，0）∪(0, )∪(1,+∞)。 ∴k∈（-∞，-1）∪（-，0）∪(0, )∪(1,+∞)時，C與C′有不在L上的公共點(diǎn)。 由于①與②中，k的解集的并集為實(shí)數(shù)集R，∴不論實(shí)數(shù)k為何值，C與C′恒有公共點(diǎn)。 例7 已知橢圓C的方程為x2+=1，點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+≤1。過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求： （1）點(diǎn)Q的軌跡方程； （2）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個數(shù)。 解 （1）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,y）。當(dāng)x1≠x2時，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y=k(x-a)+b。 又已知x12+=1,x22+=1 ① y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b ② ∴由①得 (x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 ③ 由②得 y1+ y2=k(x1+x2)-2ak+2b ④ ∴由③、④及x=，y=,k= 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程 2x2+y2-2ax-by=0 ⑤ 當(dāng)x1=x2時，k不存在，此時l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為(a,0)。顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程⑤。 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程 2x2+y2-2ax-by=0 設(shè)方程⑤所表示的曲線為L， 則由 得(2a2+b2)x2-4ax+2-b2=0 因?yàn)棣?8b2(a2+-1),又已知a2+≤1, 所以當(dāng)a2+=1時，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個交點(diǎn)P(a,b)。 當(dāng)a2+<1時，△<0，曲線L與橢圓沒有交點(diǎn)。 因?yàn)?0,0)在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓內(nèi)。 故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0（-1≤x≤1）。 （2）由解得曲線L與y軸交于點(diǎn)(0,0),(0,b)。 由解得曲線L與x軸交于點(diǎn)(0,0),(a,0)。 當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn)時，(a,0)、（0,b）與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個交點(diǎn)(0,0)。 當(dāng)a=0，且0<|b|≤1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)(0，b)與(0,0)。 同理，當(dāng)b=0且0<|a|≤1時，曲線成坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)（a,0）,（0,0）。當(dāng)0<|a|≤1，0<|b|≤1，即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且不在坐標(biāo)軸上時，曲線L與坐標(biāo)有三個交點(diǎn)(a,0)、(0,b)與(0,0)。 例8 在直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個頂點(diǎn)C、A的坐標(biāo)分別為(0,0)、(2，0)，三個內(nèi)角A、B、C滿足2sinB=(sinA+sinC)。 （1）求頂點(diǎn)B的軌跡方程； （2）過頂點(diǎn)C作傾斜角為θ的直線與頂點(diǎn)B的軌跡交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)θ∈(0, )時，求△APQ面積S(θ)的最大值。 解 （1）設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。 由正弦定理===2R。 ∵2sinB=(sinA+sinC) ∴2b=(a+c) ∵b=2 ∴a+c=4 即|BC|+|BA|=4. 由橢圓定義知，B點(diǎn)軌跡是以C、A為焦點(diǎn)，長軸長為4，中心在（，0）的橢圓。 ∴B點(diǎn)軌跡方程為 +y2=1(y≠0) （2）設(shè)直線PQ的方程為y=xtanθ，θ∈（0，）， 由 得(1+4tan2θ)x2 -2x-1=0。 設(shè)方程兩根為x1、x2, 則x1+x2=, x1x2= ∴|PQ|= = = = ∵點(diǎn)A到直線PQ的距離d==， (∵θ∈(0, ), ∴tanθ>0) ∴S(θ)= |PQ|d = = = = =≤2 當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=時， 即sinθ=,θ=arcsin時，等號成立。 ∴s(θ)的最大值為2。 例9 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸。證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題） 證明一 如圖10-4，因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F（，0）， 所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+; 代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0。 若記A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1,y2是該方程的兩個根，所以y1y2= -p2。因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x= -上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,y2)， 故直線CO的斜率為k===。 即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O 。 證明二 如圖10-5，記x軸與拋物線準(zhǔn)線l的交點(diǎn)為E，過A作AD⊥l，D是垂足，則AD∥FE∥BC。連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則==，=，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴|EN|===|NF|，即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。 例10如圖10-6，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線所成的比例為λ，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng)≤λ≤時，求雙曲線離心率e的取值范圍（xx年全國高考數(shù)學(xué)試題）。 解 如圖10-7，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy,則CD⊥y軸。因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱。依題意，記A(-c,0),C(,h),E(x0,y0)，其中c=|AB|為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0==,y0= 設(shè)雙曲線的方程為-=1，則離心率e=。 由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線方程得-=1 ① ()2-()2=1 ② 由①式得 =-1 ③ 將③式代入②式，整理得 (4-4λ)=1+2λ，故λ=1-。由題設(shè)≤λ≤得，≤1-≤，解得≤e≤。所以雙曲線的離心率的取值范圍為[，]。