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2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué)第1課時(shí)向量的概念教案湘教版必修2 教學(xué)目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示； 2.了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并會(huì)辨認(rèn)圖形中的相等向量或出與某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教學(xué)重點(diǎn)：向量概念、相等向量概念、向量幾何表示 教學(xué)難點(diǎn)：向量概念的理解 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，反過(guò)來(lái)，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過(guò)向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過(guò)向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問(wèn)題 向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，這就為研究和解決有關(guān)幾何問(wèn)題又提供了兩種方法——向量法和坐標(biāo)法 本章共分兩大節(jié)第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等 本節(jié)從帆船航行的距離和方向兩個(gè)要素出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點(diǎn)說(shuō)明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長(zhǎng)度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介紹有向線段，向量的定義，向量的長(zhǎng)度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來(lái)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量等.還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移，是一個(gè)既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章所要研究的向量. 向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識(shí)還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問(wèn)題，在這一章，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.這一節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念. 二、講解新課： 1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小 2從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性質(zhì) 2.向量的表示方法： ①用有向線段表示； ②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：； ④向量的大小――長(zhǎng)度稱為向量的模，記作||. 3.零向量、單位向量概念： ①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作的方向是任意的 注意與0的區(qū)別 ②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量. 說(shuō)明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向. 4.平行向量定義： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我們規(guī)定0與任一向量平行. 說(shuō)明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定義： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量. 說(shuō)明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ； （2）零向量與零向量相等； （3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān). 6.共線向量與平行向量關(guān)系： 平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上. 說(shuō)明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系； （2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系. 探究：1.對(duì)向量概念的理解 要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，我們規(guī)定了一個(gè)順序，A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們就說(shuō)線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點(diǎn)要畫(huà)箭頭表示它的方向，以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記為，需要學(xué)生注意的是：的字母是有順序的，起點(diǎn)在前終點(diǎn)在后，所以我們說(shuō)有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度. 既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用點(diǎn)(起點(diǎn))，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者. 2.向量不能比較大小 我們知道，長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量表示相等向量，但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系，沒(méi)有大小之分，“對(duì)于向量ａ，ｂ，ａ＞ｂ，或ａ＜ｂ”這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的. 3.實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘. 初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量之間可進(jìn)行加法或者減法，這是錯(cuò)誤的.實(shí)數(shù)與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個(gè)相等向量相加. 4．向量與有向線段的區(qū)別： （1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量； （2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段 三、講解范例： 例1 判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由. ①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上； ②單位向量都相等； ③任一向量與它的相反向量不相等； ④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝ ⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件； ⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同. 解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上. ②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定. ③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同. 評(píng)述：本題考查基本概念，對(duì)于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好. 例2下列命題正確的是（ ） A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線 B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn) C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量 D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行 解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C. 評(píng)述：對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進(jìn)行考慮，要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合 四、課堂練習(xí)： 1．平行向量是否一定方向相同？（不一定） 2．不相等的向量是否一定不平行？（不一定） 3．與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） 4．與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量） 5．若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量） 6．兩個(gè)非零向量相等的充要條件是什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同） 7．共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定） 8．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫(xiě)出圖中與向量、、相等的向量 五、小結(jié) ：向量及向量的有關(guān)概念、表示方法，還知道有兩個(gè)特殊向量，最后學(xué)了向量間的兩種關(guān)系，即平行向量（共線向量）和相等向量 六、課后作業(yè)： 1.下列各量中不是向量的是（ ）A.浮力B.風(fēng)速 C.位移 D.密度 2.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ） A.零向量是沒(méi)有方向的 B.零向量的長(zhǎng)度為0 C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（ ） A.一條線段B.一段圓弧C.圓上一群孤立點(diǎn) D.一個(gè)單位圓 4.“兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量方向相反”的 條件. 5.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,則c與b必定 . 6.已知a、b是兩非零向量,且a與b不共線,若非零向量c與a共線,則c與b必定 . 參考答案：1.D 2.A 3.D 4.必要非充分 5.c∥b 6.不共線 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、試題： 1.在△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),則（ ） A. 與共線 B. 與共線 C. 與相等 D. 與相等 2.下列命題正確的是（ ） A.向量與是兩平行向量  B.若a、b都是單位向量,則a=b C.若=,則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形 D.兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同 3.在下列結(jié)論中,正確的結(jié)論為（ ） (1)a∥b且|a|=|b|是a=b的必要不充分條件 (2)a∥b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要條件 (3)a與b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要條件 (4)a與b方向相反或|a|≠|(zhì)b|是a≠b的充分不必要條件 A.(1)(3) B.(2)(4) C.(3)(4) D.(1)(3)(4) 4.把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn),則終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是 ;若這些向量為單位向量,則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是 . 5.已知||=1,| |=2,若∠BAC=60,則||= . 6.在四邊形ABCD中, =,且||=||,則四邊形ABCD是 . 7.設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形ABCD,點(diǎn)K、L、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn), 求證： =. 8.某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向向西偏北60走了450m到達(dá)C點(diǎn),最后又改變方向,向東走了200m到達(dá)D點(diǎn). (1)作出向量、、 (1 cm表示200 m). (2)求的模. 第9題圖 9.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,設(shè)點(diǎn)集M={A、B、C、D},求集合T={、Q∈M,且P、Q不重合}. 參考答案： 1.B 2.A 3.D 4.一條直線兩點(diǎn)5. 6.菱形 7.(略) 8.(1)如圖所示 (2)450 m 9.{、、、、、、、}