《2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點中學(xué)第17課時解斜三角形應(yīng)用舉例（1）教案湘教版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點中學(xué)第17課時解斜三角形應(yīng)用舉例（1）教案湘教版必修2.doc（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點中學(xué)第17課時解斜三角形應(yīng)用舉例（1）教案湘教版必修2 教學(xué)目的： 1會在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法； 2搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題的基本圖形和基本等量關(guān)系； 3理解各種應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習，提高解決實際問題的能力 教學(xué)重點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化及解斜三角形的方法 教學(xué)難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化思路的確定 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)方法：啟發(fā)式 在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并啟發(fā)學(xué)生在解三角形時正確選用正、余弦定理 教學(xué)過程： 一、復(fù)習引入： 1．正弦定理： 2．余弦定理： ， 3．解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學(xué)等方面都有非常廣泛的應(yīng)用，如果我們抽去每個應(yīng)用題中與生產(chǎn)生活實際所聯(lián)系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質(zhì)，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數(shù)學(xué)問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用 二、講解范例： 例1 自動卸貨汽車的車箱采用液壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度已知車箱的最大仰角為60，油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1．95ｍ，AB與水平線之間的夾角為620′，AC長為1．40ｍ，計算BC的長(保留三個有效數(shù)字) 分析：求油泵頂桿BC的長度也就是在△ABC內(nèi)，求邊長BC的問題，而根據(jù)已知條件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95?。恚螧AC＝60＋620′＝6620′相當于已知△ABC的兩邊和它們的夾角，所以求解BC可根據(jù)余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝1．952＋1．402－21．951．40cos6620′＝3．571 ∴BC≈1．89?。ǎ恚┆? 答：油泵頂桿BC約長1．89?。愍? 評述：此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意“仰角”這一概念的意義，并排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準確地提煉出來 例2某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應(yīng)按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間 分析：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘ ｈ，則利用余弦定理建立方程來解決較好，因為如圖中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是一個已知兩邊夾角求第三邊問題 解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時間為ｘｈ，則AB＝21ｘ海里，BC＝9ｘ 海里，AC＝10 海里，∠ACB＝∠1＋∠2＝45＋（180－105）＝120， 根據(jù)余弦定理，可得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120得 (21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2109ｘcos120， 即36ｘ2－9ｘ210＝0 解得ｘ1＝，ｘ2＝－ (舍去) ∴AB＝21ｘ＝14，BC＝9ｘ＝6 再由余弦定理可得 cos∠BAC＝ ∴∠BAC＝2147′，45＋2147′＝6647′ 所以艦艇方位角為6647′，小時即40分鐘 答：艦艇應(yīng)以6647′的方位角方向航行，靠近漁船則需要40分鐘 評述：解好本題需明確“方位角”這一概念，方位角是指由正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，其范圍是（0，360） 在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求艦艇方位角就轉(zhuǎn)化為一個已知三邊求角的問題，故仍然利余弦定理 例3用同樣高度的兩個測角儀AB和CD同時望見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是α和β，已知B、D間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度 分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一個條件，需要再有一邊長被確定，而△EAC中有較多已知條件，故可在△EAC中考慮EA邊長的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180－α兩角與BD＝a一邊，故可以利用正弦定理求解EA 解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β， 根據(jù)正弦定理，得AE＝ 在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝ ∴EF＝EG＋b＝＋b， 答：氣球的高度是＋b 評述：此題也可以通過解兩個直角三角形來解決，思路如下：設(shè)EG＝ｘ，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG；在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG－AG＝CA＝BD＝a，故可以求出EG，又GF＝CD＝b，故EF高度可求 例4如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值 分析：要求四邊形OPDC面積的最大值，這首先需要建立一個面積函數(shù)，問題是選誰作為自變量，注意到動點P在半圓上運動與∠POB大小變化之間的聯(lián)系，自然引入∠POB＝θ作為自變量建立函數(shù)關(guān)系四邊形OPDC可以分成△OPC與等邊△PDC，Ｓ△OPC可用OPOCsinθ表示，而等邊△PDC的面積關(guān)鍵在于邊長求解，而邊長PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面積最值的獲得，則通過三角函數(shù)知識解決 解：設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為ｙ，則在△POC中，由余弦定理得： PC2＝OP2＋OC2－2OPOCcosθ＝5－4cosθ ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ) ＝2sin(θ－)＋ ∴當θ－＝即θ＝時，ｙmax＝2＋ 評述：本題中余弦定理為表示△PCD的面積，從而為表示四邊形OPDC面積提供了可能，可見正、余弦定理不僅是解三角形的依據(jù)，一般地也是分析幾何量之間關(guān)系的重要公式，要認識到這兩個定理的重要性 另外，在求三角函數(shù)最值時，涉及到兩角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的構(gòu)造及逆用，應(yīng)要求學(xué)生予以重視 三、課堂練習： 1如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里／時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里／時的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問：輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間 解：設(shè)輯私船應(yīng)沿CD方向行駛ｔ小時，才能最快截獲(在D點)走私船， 則CD＝10ｔ海里，BD＝10ｔ海里 ∵BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA ＝（－1）2＋22－2（－1）2cos120＝6, ∴BC＝ ∴∠ABC＝45，∴B點在C點的正東方向上， ∴∠CBD＝90＋30＝120 ∴∠BCD＝30,∴∠DCE＝90－30＝60 由∠CBD＝120，∠BCD＝30得∠D＝30 ∴BD＝BC，即10ｔ＝ ∴ｔ＝ (小時)≈15(分鐘) 答：輯私船沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，需時約15分鐘 四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應(yīng)用的同時，掌握由實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，并提高解三角形問題及實際應(yīng)用題的能力 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計（略） 七、課后記：