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2019-2020年高二數(shù)學 1、2-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1．已知雙曲線與橢圓＋＝1共焦點，它們的離心率之和為，雙曲線的方程應(yīng)是
( )
A.－＝1 B.－＝1
C．－＋＝1 D．－＋＝1
[答案] C
[解析] ∵橢圓＋＝1的焦點為(0，4)，離心率e＝，
∴雙曲線的焦點為(0，4)，離心率為－＝＝2，
∴雙曲線方程為：－＝1.
2．焦點為(0，6)且與雙曲線－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 與雙曲線－y2＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－y2＝λ(λ≠0)，
又因為雙曲線的焦點在y軸上，
∴方程可寫為－＝1.
又∵雙曲線方程的焦點為(0，6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴雙曲線方程為－＝1.
3．若0
0.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.
4．中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝x，
∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝x.
5．(xx四川文，8)已知雙曲線－＝1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則＝( )
A．－12 B．－2
C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)．
由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
又點P(，y0)在雙曲線上，∴y＝1，
∴＝(－2－，－y0)(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故選C.
6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的3倍，則雙曲線的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝x D．y＝3x
[答案] B
[解析] 如圖，
分別過雙曲線的右頂點A，右焦點F作它的漸近線的垂線，B、C分別為垂足，則△OBA∽△OCF，
∴＝＝，
∴＝，∴＝2，
故漸近線方程為：y＝2x.
7．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為( )
A．2 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則漸近線方程為：y＝x，
∴＝1，∴＝＝1，
∴c2＝2a2，e＝＝.
8．雙曲線－＝1的一個焦點到一條漸近線的距離等于( )
A. B．3
C．4 D．2
[答案] C
[解析] ∵焦點坐標為(5,0)，漸近線方程為y＝x，∴一個焦點(5,0)到漸近線y＝x的距離為4.
9．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)上任意一點P引與實軸平行的直線，交兩漸近線于M、N兩點，則的值為( )
A．a(chǎn)2 B．b2
C．2ab D．a(chǎn)2＋b2
[答案] A
[解析] 特值法：當點P在雙曲線的一個頂點時，＝a2.
10．(xx浙江理，8)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近方程為( )
A．3x4y＝0 B．3x5y＝0
C．4x3y＝0 D．5x4y＝0
[答案] C
[解析] 如圖：由條件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c
又知|PF2|＝|F1F2|，知A為PF1中點，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由雙曲線定義：
|PF1|－|PF2|＝2a，則4b－2c＝2a
∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，
∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2
3b2＝4ab，∴＝，
∴漸近線方程：y＝x.故選C.
二、填空題
11．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則b的取值范圍是________．
[答案]?。?20)相切，則r＝________.
[答案]
[解析] 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式．
雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x＝x，
∴x2y＝0，由題意，得r＝＝.
三、解答題
15．已知動圓與⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與⊙C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．
[解析] 設(shè)動圓圓心M的坐標為(x，y)，半徑為r，
則|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，
∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6，
由雙曲線的定義知，點M的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支，且2a＝4，a＝2，
雙曲線的方程為：－＝1(x≥2)．
16．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)過點A(，)，且點A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程．
[解析] 雙曲線－＝1的兩漸近線的方程為bxay＝0.
點A到兩漸近線的距離分別為
d1＝，d2＝
已知d1d2＝，故＝(ⅰ)
又A在雙曲線上，則
14b2－5a2＝a2b2(ⅱ)
(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a2b2＝4a2＋4b2(ⅲ)
聯(lián)立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2＝2，a2＝4.
故所求雙曲線方程為－＝1.
17．如下圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，求雙曲線的離心率．
[解析] 設(shè)MF1的中點為P，在Rt△PMF2中，|PF2|＝|MF2|sin60＝2c＝c.又由雙曲線的定義得|PF2|－|PF1|＝2a，所以a＝c，e＝＝＝＋1.
18．是否存在同時滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程；若不存在，說明理由．
(1)漸近線方程為x＋2y＝0及x－2y＝0；
(2)點A(5,0)到雙曲線上動點P的距離的最小值為.
[解析] 假設(shè)存在同時滿足題中的兩條件的雙曲線．
(1)若雙曲線的焦點在x軸上，因為漸近線方程為
y＝x，所以由條件(1)，設(shè)雙曲線方程為－＝1，
設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則|AP|＝＝，由條件(2)，若2b≤4，即b≤2，則當x＝4時，|AP|最?。剑?，b2＝－1，這不可能，無解；若2b>4，則當x＝2b時，|AP|最?。絴2b－5|＝，解得b＝，此時存在雙曲線方程為－＝1.
(2)若雙曲線的焦點在y軸上，則可設(shè)雙曲線方程為－＝1(x∈R)，
所以|AP|＝，
因為x∈R，
所以當x＝4時，|AP|最小＝＝.
所以a2＝1，此時存在雙曲線方程為y2－＝1.
2019-2020年高二數(shù)學 1、2-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1.doc
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