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2019-2020年高中數(shù)學(xué)重點中學(xué)第5課時實數(shù)與向量的積（2）教案湘教版必修2 教學(xué)目的： 1了解平面向量基本定理； 2掌握平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，理解這是應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法； 3能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達 教學(xué)重點：平面內(nèi)任一向量都可以用兩個不共線非零向量表示 教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量， ②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量 4平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我們規(guī)定0與任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量 7向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 8．向量加法的交換律：+=+ 9．向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+) 10．向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差即：a - b = a + (-b) 11．差向量的意義： = a, = b, 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量 12．實數(shù)與向量的積：實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時λ與方向相同；λ<0時λ與方向相反；λ=0時λ= 13．運算定律 結(jié)合律：λ(μ)=(λμ) 分配律：(λ+μ)=λ+μ λ(+)=λ+λ 14． 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ 二、講解新課：(共面向量定理) 平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2 探究：(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線； (3)由定理可將任一向量ａ在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量 三、講解范例： 例1 已知向量， 求作向量-25+3 作法：（1）取點O，作=-25 =3 （2）作 OACB，即為所求-25+3 例2 如圖 ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，，和 解：在 ABCD中 ， ∵=+=+ ，=-=- ∴=-=-(+)=--， ==(-)=- ==+ =-=-=-+ 例3已知ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點， 求證：+++=4 證明：∵E是對角線AC和BD的交點 ∴==- ,==- 在△OAE中，+= 同理 += ， += ，+= 以上各式相加，得 +++=4 例4如圖，，不共線，=t (tR)用,表示 解：∵=t ∴=+=+ t =+ t(-)=+ t-t=(1-t) + t 四、課堂練習(xí)： 1設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,則有 Ae1、e2一定平行 Be1、e2的模相等 C同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R) D若e1、e2不共線,則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R) 2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共線,則a+b與c=6e1-2e2的關(guān)系 A不共線 B共線 C相等 D無法確定 3已知向量e1、e2不共線,實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于 A3 B-3 C0 D2 4若a、b不共線,且λa+μb=0(λ,μ∈R)則λ= ,μ= 5已知a、b不共線,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c與b共線,則λ1= 6已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一組基底,且a=λ1e1+λ2e2,則a與e1_____, a與e2_________(填共線或不共線) 參考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共線 不共線 五、小結(jié) 平面向量基本定理，其實質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合 六、課后作業(yè)： 1．如圖，平行四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，H、M是AD、DC之中點，F(xiàn)使BF＝BC，以ａ、ｂ為基底分解向量與 分析：以ａ，ｂ為基底分解與，實為用ａ與ｂ表示向量與 解：由H、M、F所在位置有： =+=+=+=ｂ＋ａ， ＝－＝＋－ ＝＋＝＋－＝ａ－ｂ 2．如圖，O是三角形ABC內(nèi)一點，PQ∥BC，且＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求與 分析：由平面幾何的知識可得△APQ∽△ABC，且對應(yīng)邊的比為ｔ，∴＝ｔ，轉(zhuǎn)化向量的關(guān)系為：＝ｔ，＝ｔ，又由于已知和未知向量均以原點O為起點，所以把有關(guān)向量都用以原點O為起點的向量來表示，是解決問題的途徑所在 解：∵PQ∥BC，且＝ｔ，有△APQ∽△ABC，且對應(yīng)邊比為ｔ（＝），即＝ｔ． 轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：＝－，＝－， ＝－，＝－ ∴＝＋＝＋ｔ（－） ＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ, ＝＋＝＋ｔ（－） ＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： 1注意圖形語言的應(yīng)用 用向量法解平面幾何問題，實質(zhì)上是將平面幾何問題的代數(shù)化處理，在解題中應(yīng)注意進行向量語言與圖形語言的互譯 例1 如圖，已知MN是△ABC的中位線，求證：MN＝BC且MN∥BC 分析：首先把圖形語言：M、N是AB、AC的中點翻譯成向量語言：＝，＝然后再把向量的一種語言轉(zhuǎn)化為向量的另一種語言，即 ＝－＝－ ＝（－）＝ 最后又將向量語言＝翻譯成圖形語言就是：MN＝BC且MN∥BC 2向量法應(yīng)用 例2已知平行四邊形ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，求證：AE∥CF 證明：因為E、F為DC、AB的中點， ∴＝，＝， 由向量加法法則可知： ＝＋＝＋，＝＋＝＋ ∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴＝－，＝－， ∴＝－－＝－（＋）＝－ ∴∥，∴AE∥CF 強化訓(xùn)練： 1下面向量a、b共線的有（ ） (1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2 (3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2 (e1、e2不共線) A (2)(3) B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4) 2設(shè)一直線上三點A、B、P滿足=λ(λ≠1),O是空間一點,則用 、表示式為（ ） A =+λ B =λ+(1-λ) C = D 3若a、b是不共線的兩向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),則A、B、C三點共線的充要條件為（ ） Aλ1=λ2=-1 Bλ1=λ2=1 Cλ1λ2+1=0 Dλ1λ2-1=0 4若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,則向量a寫為λ1b+λ2c的形式是 5已知兩向量e1、e2不共線,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a與b共線,則實數(shù)λ= 6設(shè)平面內(nèi)有四邊形ABCD和點O, =a, =b, =c, =d,a+c=b+d,則四邊形ABCD的形狀是 7設(shè)、不共線,點P在O、A、B所在的平面內(nèi),且=(1-t) +t(t∈R),求證A、B、P三點共線 8當(dāng)不為零的兩個向量a、b不平行時,求使pa+qb=0成立的充要條件 9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共線,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實數(shù)λ、μ,使d=λa+μb與c共線? 參考答案：1A 2C 3D 4- b+c 5- 6平行四邊形 7 (略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d與c共線