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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題8.1 空間幾何體試題（含解析） 【三年高考】 1．【xx江蘇】如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為． 【考點(diǎn)】圓柱的體積、球的體積 【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 2. 【xx江蘇，理8】設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面面積分別為，體積為，若它們的側(cè)面積相等且，則的值是 . 【答案】 【解析】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面和高分別為，，則，，又，所以，則. 3. 【xx江蘇，理8】如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝__________. 【答案】1∶24 【解析】由題意可知點(diǎn)F到面ABC的距離與點(diǎn)A1到面ABC的距離之比為1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4. 因此V1∶V2＝＝1∶24.. 4. 【xx江蘇，理7】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為_(kāi)_________cm3. 【答案】6 【解析】由已知可得，＝＝＝332＝6(cm3)． 5．【xx課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【考點(diǎn)】 圓柱的體積公式 【名師點(diǎn)睛】(1)求解以空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. 6．【xx天津，理10】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 . 【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 ，則 ， 外接球直徑為. 【考點(diǎn)】 球 【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法. 7．【xx課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______. 【答案】 【解析】 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于三棱錐最值問(wèn)題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決. 8．【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)改編】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若， ，，，則的最大值是　　　　． 【答案】 【解析】 試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為． 考點(diǎn)：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積． 【思維拓展】立體幾何是的最值問(wèn)題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開(kāi)圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最值來(lái)求解． 9．【xx高考上海理數(shù)】如圖，在正四棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為3，與底面所成角的正切值為，則該正四棱柱的高等于____________. 【答案】 【解析】 試題分析： 由題意得. 考點(diǎn)：1.正四棱柱的幾何特征；2.直線與平面所成的角. 【名師點(diǎn)睛】涉及立體幾何中的角的問(wèn)題，往往要將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題，做出角，構(gòu)建三角形，在三角形中解決問(wèn)題；也可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)具體情況選擇不同方法，本題難度不大，能較好地考查考生的空間想象能力、基本計(jì)算能力等. 10．【xx高考新課標(biāo)1卷改編】如圖,某幾何體是一個(gè)球被切掉左上角的,.若該幾何體的體積是,則它的表面積是　　　?。? 【答案】 考點(diǎn)：三視圖及球的表面積與體積 11．【xx高考新課標(biāo)1，文6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有___________________斛. 【答案】22 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.62≈22. 12.【xx高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，. （Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積； （Ⅱ）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值. 【解析】（Ⅰ）由題設(shè)＝1, ，可得. 由面 ，可知是三棱錐的高,又，所以三棱錐的體積； （Ⅱ）證：在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為，過(guò)作交于，連接. 由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，從而.由，得. 【xx年高考命題預(yù)測(cè)】 縱觀xx各地高考試題，對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的考查，主要考查簡(jiǎn)單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題.即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解.從高考試題來(lái)看，球的組合體問(wèn)題是高考必考內(nèi)容之一，每年都涉及，試題難度在中等，有時(shí)在壓軸題的位置，從整體上來(lái)看，試題難度理科比文科要大，主要考查學(xué)生的畫圖能力，空間想象能力，運(yùn)算能力及邏輯推理能力，預(yù)測(cè)xx年高考題中，理科仍然以球的組合體為主，文科也會(huì)與組合體有關(guān)，考查組合體的體積與表面積有關(guān)的問(wèn)題．從高考試題來(lái)看，空間幾何體的表面積、體積等問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有填空題，又有解答題，難度為中、低檔．客觀題主要考查表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無(wú)論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力．預(yù)測(cè)xx年高考仍將以空間幾何體的面積、體積為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力及邏輯推理能力．復(fù)習(xí)建議：與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)基本概念和公式來(lái)計(jì)算，要重視方程的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)空間幾何體的考查，主要考查簡(jiǎn)單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題.即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，以選擇、填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn). 【考點(diǎn)1】空間幾何體 【備考知識(shí)梳理】 1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）柱：棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn). 底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線. 棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體； （2）錐：棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱. 底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…… 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面. 棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體 （3）臺(tái)：棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn). 圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸 圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體. （4）球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑. (5)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (6)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． 2.幾種常凸多面體間的關(guān)系 3.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì) 名稱 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖形 定 義 有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體 側(cè)棱垂直于底面的棱柱 底面是正多邊形的直棱柱 側(cè)棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 側(cè)面的形狀 平行四邊形 矩形 全等的矩形 對(duì)角面的形狀 平行四邊形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形狀 與底面全等的多邊形 與底面全等的多邊形 與底面全等的正多邊形 名稱 棱錐 正棱錐 棱臺(tái) 正棱臺(tái) 圖形 定義 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體 底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分 由正棱錐截得的棱臺(tái) 側(cè)棱 相交于一點(diǎn)但不一定相等 相交于一點(diǎn)且相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 側(cè)面的形狀 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 對(duì)角面的形狀 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形狀 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 其他性質(zhì) 高過(guò)底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì) 名稱 特殊性質(zhì) 平行六面體 底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 直平行六面體 側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 長(zhǎng)方體 底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 正方體 棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 【規(guī)律方法技巧】 1. 注意特殊的四棱柱的區(qū)別：直四棱柱、正四棱柱、長(zhǎng)方體、正方體、平行六面體、直平行六面體． 2. 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)是判斷棱臺(tái)的主要依據(jù)，兩底面平行且是相似多邊形． 3．注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用，將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)．注意正棱錐中的四個(gè)直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個(gè)直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個(gè)直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長(zhǎng)組成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個(gè)直角三角形． 4.將幾何體展開(kāi)為平面圖形時(shí)，要注意在何處剪開(kāi)，多面體要選擇一條棱剪開(kāi)，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開(kāi). 5.常見(jiàn)的特殊幾何體的性質(zhì) （1）平行六面體： ①底面是平行四邊形的四棱柱. ②{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}； ③平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； ④平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； ⑤平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和. （2）長(zhǎng)方體： ①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和； ②若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1； ③若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體. ①設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則高為，斜高為，對(duì)棱間的距離為，體積為. ②正四面體與其截面:如圖所示點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，連接EB和EC.點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，連接EF.則截面EBC⊥PA, EBC⊥面PAB, EBC⊥面PAC. EF為相對(duì)棱的公垂線，其長(zhǎng)度為相對(duì)棱的距離； ③正四面體可補(bǔ)形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個(gè)棱為正方體的面對(duì)角線.正方體的棱長(zhǎng)是正四面體棱長(zhǎng)的.利用這個(gè)補(bǔ)形為解題帶來(lái)很大的方便. 6. 幾何體中計(jì)算問(wèn)題的方法與技巧：①在正棱錐中，正棱錐的高、側(cè)面等腰三角形的斜高與側(cè)棱構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，有關(guān)計(jì)算往往與兩者相關(guān)；②正四棱臺(tái)中要掌握對(duì)角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上底、下底及梯形高的計(jì)算，另外，要能將正三棱臺(tái)、正四棱臺(tái)的高與其斜高，側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(lái)；③研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)等問(wèn)題，主要方法是研究其軸截面，各元素之間的關(guān)系，數(shù)量都可以在軸截面中得到；④多面體及旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題處理的重要手段． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．在體積為的四面體中，平面，，，，則長(zhǎng)度的所有值為 ▲ ． 【答案】或 2.底面邊長(zhǎng)為2 m，高為1 m的正三棱錐的全面積為 m2. 【答案】； 【解析】由條件得斜高為 (m)．從而全面積 (m2)． 【考點(diǎn)2】空間幾何體的表面積與體積 【備考知識(shí)梳理】 1．多面體的面積和體積公式 名稱 側(cè)面積() 全面積() 體 積 () 棱 柱 棱柱 直截面周長(zhǎng) +2 = 直棱柱 棱 錐 棱錐 各側(cè)面積之和 + 正棱錐 棱 臺(tái) 棱臺(tái) 各側(cè)面面積之和 ++ (++) 正棱臺(tái) 表中表示面積，分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng). 2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 側(cè) 全 (即) 表中、分別表示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，表示半徑. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求體積常見(jiàn)方法 ①直接法（公式法）直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：（ⅰ）底面積相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅱ）高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方. 求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體.補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等. 2. 求體積常見(jiàn)技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． (2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． (3)有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 3.組合體的表面積和體積的計(jì)算方法 實(shí)際問(wèn)題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差． [易錯(cuò)提示]　空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和． 4.求解幾何體體積的策略及注意問(wèn)題 (1)與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題關(guān)鍵是準(zhǔn)確還原幾何體及弄清幾何體中的數(shù)量關(guān)系． (2)計(jì)算柱、錐、臺(tái)的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高． (3)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握． (4)注意組合體的組成形式及各部分幾何體的特征． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點(diǎn)，則三棱錐A—A1EF的體積是 ． 【答案】 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E到面距離等于點(diǎn)B到面距離，等于，因此三棱錐A—A1EF的體積是 2.如圖，在三棱柱中，面為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，面． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若，求三棱錐的體積． 【考點(diǎn)3】球與幾何體的組合體 【備考知識(shí)梳理】 1.組合體：由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體. 【規(guī)律方法技巧】 1. 幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為， ①正方體的外接球，則； ②正方體的內(nèi)切球，則； ③球與正方體的各棱相切，則. (2)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，外接球的半徑為，則. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 2.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. 3.解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的方法： (1)一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系． (2)若球面上四點(diǎn)中兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題． 4.求解球與多面體的組合問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對(duì)稱性判斷球心的位置，然后通過(guò)作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.在三棱錐中,平面，，，,則此三棱錐外接球的體積為 ． 【答案】 2.已知矩形的周長(zhǎng)為，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個(gè)正六棱柱的體積最大時(shí)，它的外接球的表面積為 ． 【答案】 【解析】設(shè)正六棱柱的的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，所以，正六棱柱的體積，，令，解得，令得，即函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以在時(shí)取得最大值，此時(shí)．易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心連線的中點(diǎn)，如圖所示，外接球的半徑為所以外接球的表面積為 【兩年模擬詳解析】 1．【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試】如圖，在正三棱柱中，已知，點(diǎn)在棱上，則三棱錐的體積為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】三棱錐的底，點(diǎn)P到底面的距離為△ABC的高：，故三棱錐的體積 . 2. 【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則該直四棱柱的側(cè)面積為 ． 【答案】 【解析】側(cè)棱長(zhǎng)為 ，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以側(cè)面積為 3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】將矩形繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，，，圓柱上底面圓心為，為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形，則三棱錐體積的最大值是 ▲ . 【答案】4 【解析】 4．【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】若圓錐底面半徑為，高為，則其側(cè)面積為 ． 【答案】 【解析】圓錐母線為，側(cè)面積為 5. 【xx年第二次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，則此四棱錐體積為 【答案】 【解析】由題意得四棱錐的斜高為, 四棱錐的高為，因此四棱錐體積為 6. 【xx年第一次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為，且此外接圓圓心到點(diǎn)距離為，則此四棱錐體積的最大值為_(kāi)___________． 【答案】 【解析】由題意得四棱錐的高, 底面四邊形面積最大值為，因此四棱錐體積最大值為 7．【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02（江蘇卷）】如圖，在直三棱柱中，若四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為 . 【答案】 【解析】由題意知，又，，所以平面，故. 8．【xx年第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為_(kāi)____________． 【答案】 9. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】已知正六棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則此六棱錐體積為 【答案】12 【解析】由題意得六棱錐的高為，體積為 10. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測(cè)】在三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則＝____________． 【答案】 【解析】 11. 【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市xx屆高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題】設(shè)棱長(zhǎng)為的正方體的體積和表面積分別為，，底面半徑和高均為的圓錐的體積和側(cè)面積分別為，，若，則的值為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，因? 12.【江蘇省蘇北三市xx屆高三最后一次模擬考試】已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為 . 【答案】 【解析】由題意得：，因此圓錐的體積為 13.【南通市xx屆高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為，圓柱的底面直徑和高均為，若它們的體積相等，則的值為 . 【答案】 【解析】正三棱柱的體積為，圓柱的，因此 14.【鹽城市xx屆高三年級(jí)第三次模擬考試】設(shè)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，三棱錐的體積記為，三棱錐的體積記為，則= . 【答案】 【解析】三棱錐的體積等于三棱錐的體積的一半，等于三棱錐的體積的四分之一. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】 1. 已知球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為，體積為，則該球的體積為_(kāi)______________. 【答案】 【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，球的半徑為,由題知 =，=，解得=3，=9，由球的性質(zhì)及圓錐的性質(zhì)知，球心一定在內(nèi)接圓錐的高上，故，解得=5，∴球的體積==. 【入選理由】本題主要考查空間幾何體與球的組合體，即圓錐的側(cè)面積與體積公式、球的體積公式、球與圓錐的切接問(wèn)題,這類題是高考考查球及其組合體的?？碱}型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)接與球的外切．而此題是內(nèi)接問(wèn)題,故選此題. 2. 如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為_(kāi)__________. 【答案】 【入選理由】本題考查球的體積，組合體等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，本題立意新,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,考查知識(shí)基礎(chǔ)，綜合性強(qiáng)，是高考出題方向，故選此題. 3. 如圖，已知平面，，是直線上的兩點(diǎn)，是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，DA=4,AB=6,CB=8,P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且有，則四棱錐體積的最大值是 【答案】48 【解析】因，，故，，所以, 因，故，即，從而, 作于H,則由條件可得，設(shè)，則， 從而由得，故當(dāng)時(shí)，， 因,故棱錐體積的最大值 【入選理由】本題考查幾何體的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和基本計(jì)算能力.幾何體的體積和表面積是填空題中的考查熱點(diǎn)．本題要求體積的最大值，要求考生選擇一個(gè)參數(shù)，把到平面的距離（棱錐的高）用此參數(shù)表示出來(lái)，從而求得最大值，本題通考查了空間想象能力.而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向，故選此題.