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2019年高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.1.1 橢圓及其標準方程課后提升訓練（含解析）新人教A版選修1-1
一、選擇題(每小題5分,共40分)
1.設A,B為兩定點,|AB|=6,動點P滿足|PA|+|PB|=6,則動點P的軌跡是 ( )
A.橢圓 B.圓 C.線段 D.直線
【解析】選C.因為|PA|+|PB|=6=|AB|,所以動點P的軌跡是線段.
2.設橢圓的標準方程為+=1,若其焦點在x軸上,則k的取值范圍是
( )
A.k>3 B.3
5-k>0,
所以40且n>0”是“方程mx2+ny2=1表示橢圓”的 ( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
【解析】選B.當m=n>0時方程mx2+ny2=1表示圓,故m>0且n>0?/方程mx2+ny2=1表示橢圓,而方程mx2+ny2=1表示橢圓?m>0且n>0.
5.若橢圓+=1的焦距為6,則m的值為 ( )
A.7 B.7或25
C.25 D.或5
【解析】選B.①設a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②設a2=m,b2=16,則c2=m-16,所以m-16=9,
所以m=25.
6.設F1,F2是橢圓C:+=1的焦點,在曲線C上滿足=0的點P的個數(shù)為 ( )
A.0 B.2 C.3 D.4
【解析】選B.因為=0,所以PF1⊥PF2,所以點P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點,且半徑為c==2.又因為b=2,所以點P為該橢圓與y軸的兩個端點.
7.已知P為橢圓C上一點,F1,F2為橢圓的焦點,且|F1F2|=2,若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|,則橢圓C的標準方程為( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
【解析】選B.由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.
因為2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,
所以a=2,所以b2=a2-c2=9.
故橢圓C的標準方程是+=1或+=1.
8.已知橢圓+y2=1的焦點為F1,F2,點M在該橢圓上,且=0,則點M到x軸的距離為 ( )
A. B.
C. D.
【解析】選C.由=0,得MF1⊥MF2,
可設=m,=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根據(jù)橢圓的定義有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
設點M到x軸的距離為h,則:|F1F2|h=1,
又|F1F2|=2,所以h=.
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為2,則此橢圓的標準方程為________.
【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以橢圓的標準方程為+x2=1.
答案:+x2=1
10.(xx衡水高二檢測)已知P是橢圓+=1上的一動點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡方程是________.
【解析】依題意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常數(shù)且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由題意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以動點Q的軌跡是以F1為圓心,4為半徑的圓,
所以動點Q的軌跡方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答題
11.(10分)設F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點.設橢圓C上一點到兩焦點F1,F2的距離和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點坐標.
【解析】由點在橢圓上,得+=1,
又2a=4,所以橢圓C的方程為+=1,焦點坐標分別為(-1,0),(1,0).
【能力挑戰(zhàn)題】
設F1,F2為橢圓+=1的兩個焦點,點P為橢圓上一點,已知F1,F2,P為一個直角三角形的三個頂點,且|PF1|>|PF2|,求的值.
【解析】由已知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,根據(jù)直角的位置不同,分為兩種情況.
(1)若∠PF2F1為直角,
則
所以所以=.
(2)若∠F1PF2為直角,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以
解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.
綜上,的值為或2.
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