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2019-2020年高二數學 1、2-3-1拋物線及其標準方程同步練習 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1．在直角坐標平面內，到點(1,1)和直線x＋2y＝3距離相等的點的軌跡是(　　) A．直線　　　　　　　　 B．拋物線 C．圓 D．雙曲線 [答案]　A [解析]　∵定點(1,1)在直線x＋2y＝3上，∴軌跡為直線． 2．拋物線y2＝x上一點P到焦點的距離是2，則P點坐標為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝x0＋＝2， ∴x0＝，∴y0＝. 3．拋物線y＝ax2的準線方程是y＝2，則a的值為(　　) A. B．－ C．8 D．－8 [答案]　B [解析]　∵y＝ax2，∴x2＝y(tǒng)，其準線為y＝2， ∴a<0,2＝，∴a＝－. 4．(xx湖南文，5)設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 [答案]　B [解析]　本題考查拋物線的定義． 由拋物線的定義可知，點P到拋物線焦點的距離是4＋2＝6. 5．設過拋物線的焦點F的弦為AB，則以AB為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系是 (　　) A．相交 B．相切 C．相離 D．以上答案都有可能 [答案]　B [解析]　特值法：取AB垂直于拋物線對稱軸這一情況研究． 6．過點F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡方程為(　　) A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y [答案]　C [解析]　由題意，知動圓圓心到點F(0,3)的距離等于到定直線y＝－3的距離，故動圓圓心的軌跡是以F為焦點，直線y＝－3為準線的拋物線． 7．過拋物線y2＝4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線(　　) A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．有無窮多條 D．不存在 [答案]　B [解析]　當斜率不存在時，x1＋x2＝2不符合題意． 因為焦點坐標為(1,0)， 設直線方程為y＝k(x－1)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∴x1＋x2＝＝5， ∴k2＝，即k＝. 因而這樣的直線有且僅有兩條． 8．拋物線y2＝8x上一點P到x軸距離為12，則點P到拋物線焦點F的距離為(　　) A．20 B．8 C．22 D．24 [答案]　A [解析]　設P(x0,12)，則x0＝18， ∴|PF|＝x0＋＝20. 9．拋物線的頂點在坐標原點，焦點是橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點，則此拋物線的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B. C. D. [答案]　B [解析]　＝c＝，∴p＝. 10．在同一坐標系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)的曲線大致是(　　) [答案]　D [解析]　解法一：將方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0轉化為標準方程＋＝1，y2＝－x.因為a>b>0，因此>>0. 所以有橢圓的焦點在y軸，拋物線的開口向左． 解法二：將方程ax＋by2＝0中的y換成－y，其結果不變， 即說明ax＋by2＝0的圖象關于x軸對稱，排除B、C，又橢圓的焦點在y軸，排除A. 二、填空題 11．已知圓x2＋y2＋6x＋8＝0與拋物線y2＝2px(p>0)的準線相切，則p＝________. [答案]　4或8 [解析]　拋物線的準線方程為：x＝－，圓心坐標為(－3,0)，半徑為1， 由題意知3－＝1或－3＝1，∴p＝4或p＝8. 12．到點A(－1,0)和直線x＝3距離相等的點的軌跡方程是________． [答案]　y2＝8－8x [解析]　設動點坐標為(x，y)， 由題意得＝|x－3|， 化簡得y2＝8－8x. 13．以雙曲線－＝1的中心為頂點，左焦點為焦點的拋物線方程是__________． [答案]　y2＝－20x [解析]　∵雙曲線的左焦點為(－5,0)，故設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)， 又p＝10，∴y2＝－20x. 14．圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y2＝2x的準線和雙曲線－＝1的漸近線都相切，則圓心的坐標是________． [解析]　設圓心坐標為(a，b)，則a>0，b>0. ∵y2＝2x的準線為x＝－， －＝1的漸近線方程為3x4y＝0. 由題意a＋＝1，則a＝. |3a4b|＝5，解得b＝或b＝， ∴圓心坐標為、. 三、解答題 15．若拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到準線及對稱軸的距離分別為10和6，求M點的橫坐標及拋物線方程． [解析]　∵點M到對稱軸的距離為6， ∴設點M的坐標為(x,6)． ∵點M到準線的距離為10， ∴，解得，或， 故當點M的橫坐標為9時，拋物線方程為y2＝4x. 當點M的橫坐標為1時，拋物線方程為y2＝36x. 16．已知點A(0，－2)，B(0,4)，動點P(x，y)滿足＝y(tǒng)2－8. (1)求動點P的軌跡方程． (2)設(1)中所求軌跡與直線y＝x＋2交于C、D兩點． 求證：OC⊥OD(O為原點) [解析]　(1)由題意可得＝(－x，－2－y)(－x,4－y)＝y(tǒng)2－8 化簡得x2＝2y (2)將y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2) 整理得x2－2x－4＝0 可知Δ＝20>0 設C(x1，y1)，D(x2，y2) x1＋x2＝2，x1x2＝－4 ∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2 ∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4 ∵＝x1x2＋y1y2＝0 ∴OC⊥OD 17．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的任意一條直線m，交拋物線于P1，P2兩點，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準線相切． [證明]　如下圖，設P1P2的中點為P0，過P1，P2，P0分別向準線l引垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q0，根據拋物線的定義，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|，所以|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.因為P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，所以|P0Q0|＝(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝|P1P2|.由此可知，P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，因此，圓P0與準線相切． 18．拋物線的焦點F是圓x2＋y2－4x＝0的圓心． (1)求該拋物線的標準方程； (2)直線l的斜率為2，且過拋物線的焦點，若l與拋物線、圓依次交于A，B，C，D，求|AB|＋|CD|. [解析]　(1)由圓的方程知圓心坐標為(2,0)．因為所求的拋物線以(2,0)為焦點，所以拋物線的標準方程為y2＝8x. (2)如右圖，|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，又|BC|＝4，所以只需求出|AD|即可． 由題意，AD所在直線方程為y＝2(x－2)，與拋物線方程y2＝8x聯立得?x2－6x＋4＝0，設A(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1x2＝4，|AD|＝|AF|＋|DF|＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝6＋4＝10，所以|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝6. [點撥]　本題求出x1＋x2＝6，x1x2＝4后可以利用弦長公式來求，但直接利用拋物線定義得|AD|＝|AF|＋|DF|＝x1＋x2＋p，則簡單利落．