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2019-2020年高三下學(xué)期第一次模擬考試 數(shù)學(xué)（理） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22～23題為選考題，其它題為必考題?？忌鞔饡r，將答案寫在答題卡上，在本試卷上答題無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號;非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3．請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。 4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。 5．做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑。 第I卷（選擇題） 1、 選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合 題目要求的 1．已知集合則等于 A. B. C. D. 2．若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是 A. 1 B. C. D. 4．設(shè)向量，若向量與向量共線，則的值為 A. B. C. D. 4 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 6． 已知等差數(shù)列的前項和為，且 若，則的取值范圍是 A． B． C. D． 7．我們知道，可以用模擬的方法估計圓周率的近似值，如圖， 在圓內(nèi)隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目， 若豆子總數(shù)為，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為，則圓周率的 估算值是 A． B． C． D． 8．從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽， 其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A.24 B.48 C.72 D.120 9．若，則 A. B.1 C. D. 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則 輸入的為 A. B. C. D. 11.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為 A．3 B． C.2 D． 12．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 第II卷（非選擇題） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分. 13．若變量滿足約束條件，則的最大值為 . 14. 二項式的展開式中的常數(shù)項為 . 15.給出如下命題: ① 已知隨機(jī)變量，若，則 ②若動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為，則動點(diǎn)的軌跡為線段; ③設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件; ④若實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為; 其中所有正確命題的序號是_________. 16.《九章算術(shù)》中“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有墻厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)―尺，以后每天減半，如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則 尺 三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.（本小題滿分12分） 在中，角的對角分別為且. （1）求； （2）若為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值. 18.（本小題滿分12分） 某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 休假次數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)表中信息解答以下問題： （1）從該單位任選兩名職工，求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率； （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望． 19.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，,為的中點(diǎn). （1）若，求證：； （2）若，且，點(diǎn)在 線段上，試確定點(diǎn)的位置，使二面角大小為，并求出的值. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率,以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)對于直線和點(diǎn),橢圓上是否存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對稱,且,若存在實數(shù)的值,若不存在,說明理由． 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （2）若函數(shù)在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)的取值范圍； （3）求證：，n∈N． 請考生在22，23，題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑． 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn). （1）求經(jīng)過O,A,B的圓的極坐標(biāo)方程； （2）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若圓與圓外切，求實數(shù)a的值. 23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設(shè)函數(shù). （1）求解不等式的解集； （2）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍. 石嘴山三中xx第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)能力測試參考答案 一、選擇題（125分＝60分） 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 選項 B D C A A A B C A C B C 二、填空題（45＝20分） 13、4 14、 15、 ②③ 16、 一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合 題目要求的 ． 1．1．已知集合則 A. B. C. D. 【答案】B【解析】，，故選B 2．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D【解析】 ， ，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn) 3．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)為 ，雙曲線的一條漸近線 為 ，所以所求距離為，選C. 4．設(shè)向量，若向量與向量共線，則的值為 A. B. C. D. 4 【答案】A 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【解析】根據(jù)三視圖可知，幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，高為 ，所以體積為，故選A. 6.已知等差數(shù)列的前項和為，且，若，則的取值范圍是 A． B． C. D． 【答案】A【解析】設(shè)公差為，由得，即，則由得，解得.故選A. 7．我們知道，可以用模擬的方法估計圓周率的近似值，如圖，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計落在其內(nèi)接正方形中的豆子數(shù)目，若豆子總數(shù)為，落在正方形內(nèi)的豆子數(shù)為， 則圓周率的估算值是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】設(shè)正方形的邊長為.則圓的半徑為，根據(jù)幾何概型的概率公式可以得到，即，故選B. 8． 從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加C，D兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為 A.24 B.48 C.72 D.120 【答案】C【解析】∵從5名學(xué)生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，∴可分為以下幾步： （1）先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參加和無甲參加. 有甲參加時，選法有：＝4種；無甲參加時，選法有：＝1種. （2）安排科目,有甲參加時，先排甲，再排其它人.排法有：＝12種. 無甲參加時，排法有＝24種. 綜上，412+124=72.∴不同的參賽方案種數(shù)為72 9．若，則 A. B.1 C. D. 【答案】A【解析】：， 解得， 10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的 A. B. C. D. 【答案】C【解析】當(dāng)時，為偶數(shù)，所以 ， ，否，此時 是奇數(shù)，所以 ， ，否，此時 偶數(shù)，所以 ， ， ， ， ， ， ， ，此時 輸出 ，此時 ，解得：，故選C. 11.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ B ） A．3 B． C. 2 D． 12．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C【解析】：易知與在上單調(diào)性相同，當(dāng)兩個函數(shù)單調(diào)遞增時，與的圖象如圖1所示，易知，解得；當(dāng)兩個函數(shù)單調(diào)遞減時，的圖象如圖2所示，此時關(guān)于軸對稱的函數(shù)不可能在上為減函數(shù)．綜上所述，，故選C． 第II卷（非選擇題） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分. 13．若變量滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】4【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，作出變量，的約束條件的區(qū)域，如圖所示，由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)時，最大，， 14. 二項式的展開式中的常數(shù)項為 ． 15. 給出如下命題: ① 已知隨機(jī)變量，若，則 ②若動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為，則動點(diǎn)的軌跡為線段; ③設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件; ④若實數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為; 其中所有正確命題的序號是_________. 【答案】②③ 【解析】②，所以動點(diǎn)的軌跡為線段 ③中由可得成立，所以“”是“”的必要不充分條件 ④實數(shù)成等比數(shù)列，所以圓錐曲線可能為橢圓或雙曲線 16.《九章算術(shù)》中“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題：“今有墻厚若千尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)―尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)―尺，以后每天減半，如果墻足夠厚，為前天兩只老鼠打洞之和，則 尺． 【答案】 【解析】：由題意知:大老鼠每天打洞的距離是以為首項,以為公比的等比數(shù)列,前天打洞之和為,同理,小老鼠每天打洞的距離為, 所以,因此,本題正確答案是． 三、解答題:(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.（本小題滿分12分） 在中，角的對角分別為且. （1）求； （2）若為邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1） , 由正弦定理得， 即. (2) 由，得， ，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），得面積. 18.（本小題滿分12分） 某單位實行休年假制度三年以來，50名職工休年假的次數(shù)進(jìn)行的調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 休假次數(shù) 0 1 2 3 人數(shù) 5 10 20 15 根據(jù)表中信息解答以下問題： （1）從該單位任選兩名職工，求這兩人休年假次數(shù)之和為4的概率； （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【答案】試題解析：（1） （2）從該單位任選兩名職工，用表示這兩人休年假次數(shù)之差的絕對值，則的可能取值分別是0,1，2,3， 于是，， ，． 從而的分布列： 的數(shù)學(xué)期望：． 19.（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，, 為的中點(diǎn). （1）若，求證：； （2）若，且，點(diǎn)在 線段上，試確定點(diǎn)的位置，使二面角大小為，并求出的值. 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由，為的中點(diǎn)，得，又由底面為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，證得，進(jìn)而證得，即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，得平面和平面的一個法向量，根據(jù)二面角大小為，利用向量的運(yùn)算，即可求解求出的值. 試題解析：⑴∵，為的中點(diǎn)，∴，又∵底面為菱形，，∴，又，∴，又∵，∴； ⑵∵，，， ∴，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖. 則，，，，設(shè)， 所以，平面的一個法向量是， 設(shè)平面的一個法向量為， 所以，∴ 取， 由二面角大小為，可得：，解得，此時. 20.（本小題滿分12分） 已知橢圓的離心率,以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓與直線相切． (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ)對于直線和點(diǎn),是否橢圓上存在不同的兩點(diǎn)與關(guān)于直線對稱,且,若存在實數(shù)的值,若不存在,說明理由． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)存在，. 試題解析：(Ⅰ)由橢圓的離心率得，得………………1分 上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為， 以上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為， 所以，，，，………………3分 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為………………4分 (Ⅱ)由題意設(shè)，，直線方程為：. 聯(lián)立消整理可得：，………………5分 由，解得………………6分 ，， 設(shè)直線之中點(diǎn)為，則，………………7分 由點(diǎn)在直線上得：， 又點(diǎn)在直線上，，所以……①………………9分 又，， 解得：或……②………………11分 綜合①②，的值為.………………12分 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)發(fā)f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2． （1）當(dāng)a=1時，求在x=1處的切線方程； （2）若函數(shù)f（x）在定義域上具有單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍； （3）求證：，n∈N． 21．解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0）， f′（x）=lnx+，f′（1）=1，f（1）=1， 所以求在x=1處的切線方程為：y=x （2）f′（x）=lnx++1﹣a，（x＞0）． （i）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減時， 即a≥lnx+時，令g（x）=lnx+， 當(dāng)x＞ea時，g′（x）＞0，不成立； （ii）函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞增時，a≤lnx+； 令g（x）=lnx+， 則g′（x）=，x＞0； 則函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增； 所以g（x）≥2，故a≤2． （3）由（ii）得當(dāng)a=2時f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增， 由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0， 即lnx＞在（1，+∞）上總成立， 令x=得ln＞， 化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞， 所以ln2﹣ln1＞， ln3﹣ln2＞，…， ln（n+1）﹣lnn＞， 累加得ln（n+1）﹣ln1＞， 即ln（n+1），n∈N命題得證． 請考生在22，23，題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑． 22. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn). （1）求經(jīng)過O,A,B的圓的極坐標(biāo)方程； （2）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若圓與圓外切，求實數(shù)a的值. 22.試題解析：（Ⅰ）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系， ∴點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（2，2）； 過O，A，B三點(diǎn)的圓C的普通方程是(x-1)2+(y-1)2=2， 即x2-2x+y2-2y=0； 化為極坐標(biāo)方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ， 即 5分 （ II）圓D的參數(shù)方程是參數(shù)）化為普通方程是(x+1)2+(y+1)2=a2； 圓C與圓D的圓心距|CD|==, 當(dāng)圓C與圓D外切時，，解得. 10分 考點(diǎn)：極坐標(biāo)與做極坐標(biāo)互化，待定系數(shù)法，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化，參數(shù)方程與普通方程互化，兩圓的位置關(guān)系 23．（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 設(shè)函數(shù). （1）求解不等式的解集； （2）若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍. 【解答】解：（1）原不等式即為|x﹣2|﹣|x﹣4|＜0， 若x≤2，則2﹣x+x﹣4＜0，符合題意，∴x≤2， 若2＜x＜4，則x﹣2+x﹣4＜0，解得：x＜3，∴2＜x＜3， 若x≥4，則x﹣2﹣x+4＜0，不合題意， 綜上，原不等式的解集是{x|x＜3}； （2）若函數(shù)g（x）=的定義域為R， 則m﹣f（x）=0恒不成立， 即m=f（x）在R無解， |f（x）|=||x﹣2|﹣|x﹣4||≤|x﹣2﹣（x﹣4）|=2， 當(dāng)且僅當(dāng)（x﹣2）（x﹣4）≤0時取“=”， ∴﹣2≤f（x）≤2， 故m的范圍是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．