《2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3.doc（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列課時訓(xùn)練 理 新人教A版選修2-3 1．隨機變量 在隨機試驗中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確定的__________表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．隨機變量常用字母，，，，…表示． 注意：（1）一般地，如果一個試驗滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前不能確定這次試驗會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗就是隨機試驗．（2）有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）若是隨機變量，，是常數(shù)，則也是隨機變量． 2．離散型隨機變量 所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為__________． 注意：（1）本章研究的離散型隨機變量只取有限個值．（2）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量；②離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果，但離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不能一一列出． 3．離散型隨機變量的分布列的表示 一般地，若離散型隨機變量可能取的不同值為，，…，，…，，取每一個值的概率__________，以表格的形式表示如下： 4．離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) 根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機變量的分布列具有如下性質(zhì)： （1），； （2）__________． 注意：分布列的性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)． 5．兩點分布 若隨機變量的分布列具有下表的形式，則稱服從兩點分布，并稱為成功概率． __________ 注意：（1）兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能性，且其概率之和為1；（2）兩點分布又稱0—1分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛． 6．超幾何分布 一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則__________，，即 其中，且，，． 如果隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布． 注意：為的最大取值，當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中的次品件數(shù)，即當(dāng)時，此時(抽取的樣本中的次品件數(shù))的最大值；當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù)，即時，此時的最大值． 參考答案： 1．?dāng)?shù)字 2．離散型隨機變量 3． 4． 5． 6． 重點 離散型隨機變量的概念、分布列的性質(zhì)、兩點分布、超幾何分布 難點 超幾何分布的應(yīng)用、離散型隨機變量分布列的求解 易錯 對離散型隨機變量的取值及概率、分布列的性質(zhì)、超幾何分布理解不透徹 隨機變量的理解 （1）分析隨機變量的取值所表示的事件時，應(yīng)先分清事件的結(jié)果是什么，是如何與隨機變量的取值對應(yīng)的． （2）隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗的不同結(jié)果對應(yīng)的數(shù)值，這些數(shù)值是預(yù)先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一個值，這是“隨機”的意義． 一個不透明的箱子中裝有標(biāo)號分別為的五個大小和形狀完全相同的紅球，現(xiàn)從中任取一個，這是一個隨機現(xiàn)象． （1）寫出該隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果； （2）試用隨機變量來描述上述結(jié)果． 【解析】（1）箱子中有五個紅球，標(biāo)號分別為1，2，3，4，4． 因此從中任取一個，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果為“取到標(biāo)號為1的紅球”“取到標(biāo)號為2的紅球”“取到標(biāo)號為3的紅球”“取到標(biāo)號為4的紅球”． （2）令表示取到的紅球的標(biāo)號， 則的所有可能取值為1，2，3，4，對應(yīng)著任取一個紅球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，即 “”表示“取到標(biāo)號為1的紅球”，“”表示“取到標(biāo)號為2的紅球”， “”表示“取到標(biāo)號為3的紅球”，“”表示“取到標(biāo)號為4的紅球”． 【名師點睛】引進(jìn)隨機變量后，隨機現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以通過隨機變量的取值表達(dá)出來．需要注意的是本題中取到“標(biāo)號為4的紅球”對應(yīng)的結(jié)果有兩個，但對應(yīng)的是隨機變量的一個值，不能誤認(rèn)為隨機變量有5個值：1，2，3，4，4． 求離散型隨機變量的分布列 （1）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)，求兩枚骰子中出現(xiàn)的點數(shù)之差的絕對值的分布列； （2）袋中裝有編號分別為1，2，3，4，5，6的同樣大小的6個白球，現(xiàn)從袋中隨機取3個球，設(shè)表示取出的3個球中的最小號碼，求的分布列． 【解析】（1）易知擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況，的可能取值為0，1，2，3，4，5，如下表： 的值 出現(xiàn)的點數(shù) 情況數(shù) 0 (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6) 6 1 (1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5) 10 2 (1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(3，1)，(4，2)，(5，3)，(6，4) 8 3 (1，4)，(2，5)，(3，6)，(4，1)，(5，2)，(6，3) 6 4 (1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2) 4 5 (1，6)，(6，1) 2 由古典概型可知的分布列為 0 1 2 3 4 5 （2）根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為1，2，3，4． ①，最小號碼為1，其他2個球在2，3，4，5，6中任取，所以； ②，最小號碼為2，其他2個球在3，4，5，6中任取，所以； ③，最小號碼為3，其他2個球在4，5，6中任取，所以； ④，最小號碼為4，其他2個球只能取編號為5，6的2個球，所以． 所以，隨機變量的分布列為 1 2 3 4 【名師點睛】（1）由于隨機變量的各個可能取值之間彼此互斥，因此，隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和；（2）求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量取值所對應(yīng)的概率，應(yīng)明確隨機變量取每個值所表示的意義． 離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用 分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列的性質(zhì)上的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用： （1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值； （2）利用“隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率； （3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所求的分布列是否正確． （1）設(shè)隨機變量的分布列為，，求常數(shù)及； （2）已知是離散型隨機變量，其分布列如下，求的值及． 【解析】（1）隨機變量的分布列為 由，解得． 故． （或：） （2）由，解得(負(fù)值舍去)， 故． 兩點分布的應(yīng)用 在兩點分布中，只有兩個對立的結(jié)果，知道一個結(jié)果的概率便可以求出另一個結(jié)果的概率． （1）不透明的袋中裝有大小、形狀完全相同的5個白球和4個紅球，從中隨機摸出兩個球，記，求隨機變量的分布列； （2）已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中有1件次品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機變量表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求的分布列． 【解析】由題意知，服從兩點分布，，， 所以隨機變量的分布列為 0 1 （2）由題意知，服從兩點分布，，， 所以隨機變量的分布列為 0 1 超幾何分布的應(yīng)用 生產(chǎn)方提供的某批產(chǎn)品共50箱，其中有2箱不合格品，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢測，若至多有1箱不合格品，便接收該批產(chǎn)品．問該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？ 【思路分析】將50箱產(chǎn)品看作50件“產(chǎn)品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱數(shù)可以看作是任取5件“產(chǎn)品”中所含的次品數(shù)，根據(jù)公式可求概率． 【解析】從中隨機抽取5箱，用表示“5箱中不合格品的箱數(shù)”， 則服從參數(shù)為，，的超幾何分布． 該批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中沒有不合格品或只有1箱不合格品， 所以被接收的概率為， 故， 所以該批產(chǎn)品被接收的概率為．（或） 【名師點睛】解決此類問題，先分析隨機變量是否滿足超幾何分布，若滿足超幾何分布，則建立超幾何分布列的組合關(guān)系式，求出隨機變量取相應(yīng)值的概率；否則直接利用概率公式和計數(shù)原理求隨機變量取相應(yīng)值的概率．在解題中不應(yīng)拘泥于某一特定的類型． 求相關(guān)變量的分布列 若隨機變量的分布列不易求，可以根據(jù)題意找出與隨機變量有關(guān)的隨機變量，確定二者對應(yīng)值及取對應(yīng)值的概率的關(guān)系，將求隨機變量的分布列轉(zhuǎn)化為求隨機變量的分布列． 已知隨機變量的分布列如下表所示，分別求出隨機變量，的分布列． 【解析】由題易得的可能取值為，，，，，， 且，，， ，，， 所以的分布列為 由題易得的可能取值為，，，， 且，， ，， 所以的分布列為 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為 1 2 3 4 5 商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元．若表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，求的分布列． 【解析】由題易得的可能取值為200，250，300，則， ， ， 所以的分布列為 【名師點睛】求隨機變量分布列的重要基礎(chǔ)是計算概率．就本題而言，是兩個關(guān)聯(lián)變量的分布列問題，可以看到解決問題的關(guān)鍵是利用互斥事件的概率計算公式． 未找準(zhǔn)隨機變量的取值而致錯 現(xiàn)有10張獎券，其中8張2元的，2張5元的，從中同時任取3張，求所得金額的分布列． 【錯解】記所得金額為元，則的可能取值為6，12， 且，，所以的分布列為 6 12 【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是沒能找準(zhǔn)隨機變量的可能取值，事實上任取3張的結(jié)果有3種：3張2元，2張2元、1張5元，1張2元、2張5元，可得的可能取值有3個，分別為6，9，12． 【正解】記所得金額為元，則的可能取值為6，9，12， 且，，，所以的分布列為 6 9 12 錯解隨機變量的取值概率而致錯 從4名男生和2名女生中任意選擇3人參加比賽，設(shè)被選中的女生的人數(shù)為． （1）求的分布列； （2）求所選女生的人數(shù)至多為1的概率． 【錯解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 （2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為． 【錯因分析】產(chǎn)生錯解的原因是對隨機變量的取值概率求解錯誤，事實上隨機變量服從參數(shù)為，，的超幾何分布． 【正解】（1）由題設(shè)可得的可能取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 （2）所選女生的人數(shù)至多為1即隨機變量的取值為，其概率為． 未掌握離散型隨機變量分布列的性質(zhì)而致錯 已知是一個離散型隨機變量，其分布列如下，則常數(shù)______________． 1 2 【錯解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得，解得或，故填或． 【錯因分析】錯解中僅注意到隨機變量的分布列滿足概率和為，但忽略了． 【正解】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可得，解得，故填． 未弄清隨機變量取值概率的實質(zhì)而致錯 已知隨機變量的分布列如下，求隨機變量的分布列． 【錯解】由可得的可能取值為，，，，，所以的分布列為 【錯因分析】錯解中誤認(rèn)為的取值概率變?yōu)樵瓉淼?，沒有弄清隨機變量取值概率的實質(zhì)． 【正解】由可得的可能取值為，，，，，相應(yīng)的概率不變，所以的分布列為 對超幾何分布的概念理解不透徹而致錯 盒中裝有12個零件，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，若取出的是次品不再放回，再取一個零件，直到取得正品為止．求在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列． 【錯解】由題意可知，服從超幾何分布，其中，，，所以在取得正品之前已取出次品數(shù)的分布列為，所以已取出次品數(shù)的分布列為 0 1 2 3 【錯因分析】錯解中未理解超幾何分布的概念．本題是不放回抽樣，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前兩次都取到次品，第三次取到正品”，屬于排列問題．而超幾何分布是一次性抽取若干件產(chǎn)品，屬于組合問題． 【正解】由題易得的可能取值為0，1，2，3． ，，，， 所以已取出次品數(shù)的分布列為 0 1 2 3 【名師點睛】求隨機變量的分布列的關(guān)鍵是熟練掌握排列、組合知識，求出隨機變量每個取值的概率，注意概率的取值范圍（非負(fù)），在由概率之和為1求參數(shù)問題中要把求出的參數(shù)代回分布列進(jìn)行檢驗． 1．下列隨機變量中是離散型隨機變量的為 A．某人早晨在車站等出租車的時間 B．以測量儀的最小單位計數(shù)，測量的舍入誤差 C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù) D．沿數(shù)軸隨機運動的質(zhì)點在數(shù)軸上的位置 2．袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量，則的所有可能取值的個數(shù)是 A．5 B．9 C．10 D．25 3．隨機變量所有可能取值的集合是，且，，，則的值為 A．0 B． C． D． 4．已知隨機變量的分布列為，，則 A． B． C． D． 5．某地區(qū)15個村莊中有7個村莊交通不便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用表示這10個村莊中交通不便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 A． B． C． D． 6．已知是一個離散型隨機變量，其分布列為 則常數(shù)等于 A． B． C． D． 7．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量去描述1次試驗的成功次數(shù)，則______________． 8．袋中有4只紅球、3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量，則______________． 9．某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每件一等品都能通過檢測，每件二等品通過檢測的概率為．現(xiàn)有件產(chǎn)品，其中件是一等品，件是二等品． （1）隨機選取件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測為事件，求事件發(fā)生的概率； （2）隨機選取件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列． 10．已知隨機變量的分布列如下，則 1 2 3 4 A． B． C． D． 11．若隨機變量的分布列如下： 則當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 12．一盒子中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)是一個隨機變量，則 A． B． C． D． 13．隨機變量的概率分布列為(1，2，3，4)，其中是常數(shù)，則()的值為 A． B． C． D． 14．已知隨機變量的所有可能取值為，，，若，，，則的最大值為______________． 15．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如下圖所示： （1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量； （2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列．  16．為了參加第二屆全國數(shù)學(xué)建模競賽，長郡中學(xué)在高二年級舉辦了一次選拔賽，共有60名高二學(xué)生報名參加，按照不同班級統(tǒng)計參賽人數(shù)，如下表所示： 班級 宏志班 珍珠班 英才班 精英班 參賽人數(shù) 20 15 15 10 （1）從這60名高二學(xué)生中隨機選出2人，求這2人在同一班級的概率； （2）現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機選出2人作為代表，進(jìn)行大賽前的發(fā)言，設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的分布列． 17．【xx新課標(biāo)全國I理節(jié)選】某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)． （1）求的分布列； （2）若要求，確定的最小值． 1．C【解析】選項A、B、D中的隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故選C． 2．B【解析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9個．故選B． 3．C【解析】因為隨機變量所有可能取值的集合是，且，，，所以，故選C． 4．D 【解析】由題易得，故選D． 5．C【解析】由超幾何分布的概率計算公式可得，故選C． 6．C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得．故選C． 7．【解析】本題符合兩點分布，先求的出分布列，再根據(jù)分布列的性質(zhì)可求．設(shè)失敗率為，則成功率為，所以的分布列為 0 1 則“”表示試驗失敗，“”表示試驗成功，由可得，故． 8．【解析】分析題意可知，若得分不大于7，則4個球都是紅球，此時，或3個紅球、1個黑球，此時．又，，故． 9．（1）；（2）分布列見解析． 【思路分析】（1）“至少有一件通過檢測”的反面是“沒有一件通過檢測”，即三件都不通過，利用互斥事件的概率可得；（2）求的分布列，首先要確定變量的取值，由于10件中有6件一等品，因此的所有可能取值為，由古典概型概率公式可得各概率，從而得分布列． 【解析】（1）， 所以隨機選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測的概率為． （2）由題可知的所有可能取值為． ，， ，． 則隨機變量的分布列為 0 1 2 3 10．C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，解得．又．故選C． 11．D【解析】由題中所給分布列，可得，，故．故選D． 12．C【解析】從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，當(dāng)盒中舊球的個數(shù)為時，相當(dāng)于舊球的個數(shù)在原來3個的基礎(chǔ)上增加了一個，所以取出的3個球中只有一個新球，即取出的3個球中有2個舊球、1個新球，所以，故選C． 13．D【解析】由題意可得，＋＋＋，解得，故()＋，故選D． 14．【解析】由題可得，所以，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號． 15．（1）12；（2）分布列見解析． 【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為 ． （2）的可能取值為0，1，2，且服從參數(shù)為，，的超幾何分布， 故，，， 所以的分布列為 0 1 2 16．（1）；（2）分布列見解析． 【思路分析】（1）利用組合知識得到有關(guān)事件的基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先寫出隨機變量的所有可能取值，再利用超幾何分布的概率公式求出每個變量發(fā)生的概率，列表可得分布列． 【解析】（1）從這60名高二學(xué)生中隨機選出2名的基本事件總數(shù)為， 且這2人在同一班級的基本事件個數(shù)為， 故所求概率． （2）由題意可得的所有可能的取值為0，1，2， 且，，， 所以的分布列為 0 1 2 17．（1）分布列見解析；（2）． 【解析】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為，，，，從而； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值為19． 老師：“楚向陽同學(xué)，你認(rèn)為太陽和月亮哪個更重要？” 楚陽向：“月亮更重要。” 老師：“為什么呢？” 楚陽向：“月亮能給黑夜帶來光明，而太陽好像沒什么用，總是在大白天出來．”