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2019年高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 課時跟蹤檢測（十二）函數(shù)模型及其應用 文 一抓基礎，多練小題做到眼疾手快 1．某種商品進價為4元/件，當日均零售價為6元/件，日均銷售100件，當單價每增加1元，日均銷量減少10件，試計算該商品在銷售過程中，若每天固定成本為20元，則預計單價為________元/件時，利潤最大． 解析：設單價為6＋x，日均銷售量為100－10x，則日利潤y＝(6＋x－4)(100－10x)－20 ＝－10x2＋80x＋180 ＝－10(x－4)2＋340(0＜x＜10)． 所以當x＝4時，ymax＝340. 即單價為10元/件，利潤最大． 答案：10 2．(xx鄭集中學檢測)“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝a(a為常數(shù))，廣告效應為D＝R－A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應，投入廣告費應為________．(用常數(shù)a表示) 解析：D＝R－A＝a－A，令t＝(t＞0)，則A＝t2，所以D＝at－t2＝－2＋a2.所以當t＝a，即A＝a2時，D取得最大值． 答案：a2 3．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km. 解析：設出租車行駛x km時，付費y元， 則y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 4．(xx蘇州調(diào)研)世界人口在過去40年內(nèi)翻了一番，則每年人口平均增長率是________．(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017) 解析：設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%. 答案：1.7% 5．已知某矩形廣場的面積為4萬平方米，則其周長至少為________． 解析：設這個廣場的長為x米， 則寬為米． 所以其周長為l＝2≥800， 當且僅當x＝200時取等號． 答案：800 6．有一位商人，從北京向上海的家中打電話，通話m分鐘的電話費由函數(shù)f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)(元)決定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數(shù)．則從北京到上海通話時間為5.5分鐘的電話費為________元． 解析：因為m＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函數(shù)解析式，得f(5.5)＝1.06(0.56＋1)＝4.24. 答案：4.24 二保高考，全練題型做到高考達標 1.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間t(分鐘)與電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差________元． 解析：依題意可設sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt， 又sA(100)＝sB(100)， 所以100k＋20＝100m， 得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(－0.2)＝－10， 即兩種方式電話費相差10元． 答案：10 2．某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件，根據(jù)市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件________元． 解析：設售價提高x元，利潤為y元，則依題意得y＝(1 000－5x)(100＋x)－801 000＝－5x2＋500x＋20 000＝－5(x－50)2＋32 500，故當x＝50時，ymax＝32 500，此時售價為每件150元． 答案：150 3．(xx海安中學檢測)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司xx全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是________． (參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 解析：設xx后的第n年，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，兩邊取常用對數(shù)，得n＞≈＝3.8，所以n≥4，所以從2021年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元． 答案：2021年 4．(xx啟東中學檢測)某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項費用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站________千米處． 解析：由題意設倉庫在離車站x千米處，則y1＝，y2＝k2x，其中x>0，由得，即y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，當且僅當＝x，即x＝5時等號成立． 答案：5 5．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m分鐘甲桶中的水只有，則m＝________. 解析：根據(jù)題意知＝e5n， 令a＝aent，即＝ent， 因為＝e5n，故＝e15n， 比較知t＝15，m＝15－5＝10. 答案：10 6．一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費外其他費用為每小時96元．當速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元．若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為________海里/小時時，總費用最?。? 解析：設每小時的總費用為y元，則y＝kv2＋96， 又當v＝10時，k102＝6，解得k＝0.06， 所以每小時的總費用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時間為小時，故總費用為W＝y(tǒng)＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，當且僅當0.6v＝， 即v＝40時等號成立．故總費用最小時輪船的速度為40海里/小時． 答案：40 7.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為________． 解析：依題意知：＝，即x＝(24－y)， 所以陰影部分的面積S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)＝－(y－12)2＋180. 所以當y＝12時，S有最大值為180. 答案：180 8．某公司為了業(yè)務發(fā)展制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元．銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元．若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應為______(萬元)． 解析：依題意得 即解得a＝2，b＝－2. 所以y＝2log4x－2，當y＝8時，即2log4x－2＝8. x＝1 024(萬元)． 答案：1 024 9.如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上． (1)設MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． 解：(1)作PQ⊥AF于Q， 所以PQ＝(8－y)米， EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， 所以＝，即＝. 所以y＝－x＋10， 定義域為{x|4≤x≤8}． (2)設矩形BNPM的面積為S平方米， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調(diào)遞增． 所以當x＝8米時，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米． 10．(xx常州期末)某輛汽車以x km/h的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要求60≤x≤120)時，每小時的油耗為L，其中k為常數(shù)，且60≤k≤100. (1)若汽車以120 km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過9 L，求x的取值范圍； (2) 求該汽車行駛100 km的油耗的最小值． 解：(1)由題意，當x＝120時，＝11.5，所以k＝100. 由≤9，得x2－145x＋4 500≤0，所以45≤x≤100. 又因為60≤x≤120，所以x的取值范圍是[60,100]． (2)設該汽車行駛100 km的油耗為y L，則 y＝＝20－＋(60≤x≤120)． 令t＝，則t∈， 所以y＝90 000t2－20kt＋20＝90 0002＋20－， 對稱軸t＝，因為60≤k≤100，所以∈. ①若≤≤，即75≤k≤100， 則當t＝，即x＝時，ymin＝20－； ②若≤＜，即60≤k＜75， 則當t＝，即x＝120時，ymin＝－. 答：當75≤k≤100時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為20－；當60≤k＜75時，該汽車行駛100 km的油耗的最小值為－. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．(xx揚州模擬)某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100 kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表： 時間t 60 100 180 種植成本Q 116 84 116 根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系． Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝abt，Q＝alogbt. 利用你選取的函數(shù)，求得： (1)西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是________． (2)最低種植成本是________(元/100 kg)． 解析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)不單調(diào)，所以Q＝at2＋bt＋c，且開口向上，對稱軸t＝－＝＝120， 代入數(shù)據(jù)解得 所以西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是120， 最低種植成本是14 400a＋120b＋c＝14 4000.01＋120(－2.4)＋224＝80. 答案：(1)120　(2)80 2．(xx蘇州高三期中調(diào)研)如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB為2 m，梯形的高為1 m，CD為3 m，上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點．MN是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿(橫桿面積可忽略不計)，且滑動過程中始終保持和CD平行．當MN位于CD下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形MNGH(陰影部分均不通風)． (1)設MN與AB之間的距離為xm，試將通風窗的通風面積S(m2)表示成關(guān)于x的函數(shù)y＝S(x)； (2)當MN與AB之間的距離為多少m時，通風窗的通風面積S取得最大值？ 解：(1)當0≤x<1時，過A作AK⊥CD于K(如圖)， 則AK＝1，DK＝＝，HM＝1－x， 由＝＝2，得DH＝＝， 所以HG＝3－2DH＝2＋x， 所以S(x)＝HMHG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2； 當12，所以S(x)的最大值為， 故當MN與AB之間的距離為m時，通風窗的通風面積S取得最大值．