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角 知識精要 概念 定義1：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊. 定義2：角由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形，處于初始位置的那條射線叫做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊. (1) 如果角的終邊是由角的始邊旋轉(zhuǎn)半周而得到，這樣的角叫平角. (2) 如果角的終邊是由角的始邊旋轉(zhuǎn)一周而得到，這樣的角叫周角. （3）兩個角可以相加（或相減），它們的和（或差）也是一個角，它的度數(shù)等于這個角的度數(shù)的和（或差）. 表示方法 表示方法 用三個大寫字母來表示 用一個大寫字母來表示 用數(shù)字來 表示角 用希臘字母來 表示角 圖示 角平分線: 從一個角的頂點出發(fā)，把它分成兩個相等角的射線叫做這個角的平分線. 互余：如果兩個角的度數(shù)和是，那么這兩個角叫做互為余角，簡稱互余。（其中一個角稱為另一個角的余角。) 互補：如果兩個角的度數(shù)的和是，那么這兩個角叫做互為補角，簡稱互補。（其中一個角稱為另一個角的補角。） （注：同角（或等角）的余角和補角相等。） 角的度量單位換算： 熱身練習 一、判斷題 1、一條直線是一個平角；（ ⅹ ） 2、小于鈍角的角都是銳角；（√ ） 3、如果和兩角互補，和兩角互余，那么；（√ ） 4、互補的兩個角中一定有一個角是銳角。（ⅹ ） 5、有公共端點的兩條射線叫做角 。（ ⅹ ） 6、角的邊的長短，決定了角的大小。（ ⅹ ） 7、互余且相等的兩個角都是45的角。（ √ ） 8、若兩個角互補，則其中一定有一個角是鈍角。（ ⅹ ） 二、選擇題 1、鐘表上的時間指示為兩點半，這時時針和分針之間所形的成的（小于平角）角的度數(shù)（B）。 A. B. C.D. 2、一個銳角的余角加上，就等于（C ） A.這個銳角的兩倍數(shù) B.這個銳角的余角 C.這個銳角的補角 D.這個銳角加上 3、已知、都是鈍角，甲、乙、丙、丁四人計算的結果依次是30、35、60、75，其中恰有正確結果．這個正確結果是（ C ） A.30 B.35 C.60 D.75 4、如圖，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝30．圖中互補的角有（ B ） A.10對 B.4對 C.3對 D.14對 5、下列說法中正確的是（ A ） A. 角是由一條射線旋轉(zhuǎn)而成的 B. 角的兩邊可以度量 C. 一條直線就是一個平角 D. 平角的兩邊可以看成一條直線 6、下列四個圖形中，能用∠，∠O，∠AOB三種方式正確表示同一個角的圖形是（ C ） A B C D 7、下列說法中正確的是（ C ） A. 一個角的補角一定比這個角大 B. 一個銳角的補角是銳角 C. 一個直角的補角是直角 D. 一個銳角和一個鈍角一定互為補角 三、填空題 1、如圖1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____,∠AOC=______,∠AOC___>___∠BOC. 2、如圖2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=__∠AOC____-______= _____-________. 3、OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線,若∠AOC=________,則OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分線,則_________=2∠AOC. 4、填寫適當?shù)姆謹?shù)：=____直角=____平角=____周角。 5、計算：=____；=____。 6、由2點30分到2點55分，時鐘的時針旋轉(zhuǎn)了___12.5_____度，分針旋轉(zhuǎn)了___150_____度，此刻時針與分針的夾角是___117.5_____度． 7、如圖,直線AB、CD相交于點O,OE平分∠COD,則∠BOD的余角______, ∠COE的補角是_______,∠AOC的補角是___________. ∠a 與它的余角相等，∠b與它的補角相等，則∠a＋∠b＝__135__． 互為余角兩角之差是35，則較大角的補角是__62.5___． 10、鐘表在12時15分時刻的時針與分針所成的角是__82.5___． 四、解答題 1、如圖,已知∠1,∠2,畫出一個角,使它等于3∠1-∠2. 解：略 2、讀句畫圖填空（每空1分，共10分） （1）畫∠AOB＝60． （2）畫∠AOB的平分線OC，則∠BOC＝∠_AOC___＝∠_AOB___＝_30___． （3）畫OB的反向延長線OD，則∠AOD＝∠_BOD___－∠AOB＝__120___． （4）畫∠AOD的平分線OE，則∠AOE＝∠__DOE__＝__60___，∠COE＝__90___． （5）以O為頂點，OB為一邊作∠AOB的余角∠BOF，則∠EOF＝__150__，射線OC、OB將∠__AOF__三等分． 五、計算 1．3728′＋4449′； 2．10818′－5230″； 3．2536′4； 4．4040′3． 答案：1,83 17′ 2,55 48′ 3,102 24′ 4,13′ 精解名題 例1、已知∠，∠，∠，畫∠AOB，使∠AOB＝2∠＋∠－∠g ． 【提示】方法一：先量、后算、再畫； 方法二：疊加法，逐步畫出． 【答案】方法一： 量得∠＝25，∠＝54，∠＝105， ∠AOB＝2∠a ＋∠b －∠g ＝225＋54－105 ＝50＋54－35 ＝69． 畫∠AOB＝69，則∠AOB就是所要畫的角． 方法二： 畫法： （1）畫∠AOC＝∠a ， （2）以O為頂點，OC為一邊在∠AOC的外部畫∠COD＝∠a ． （3）以O為頂點，OD為一邊在∠AOD的外部畫∠DOE＝∠b ． （4）以O為頂點，OE為一邊在∠EOA的內(nèi)部畫∠EOB＝∠g ． 則∠AOB就是所要畫的角． 例2、 若一個角的余角與這個角的補角之比是2∶7，求這個角的補角． 解：這個角的補角為 例3、如圖,已知直線AB和CD相交于O點,∠COE是直角,OF 平分∠AOE, ∠COF=34,求∠BOD的度數(shù). 解：角∠BOD的度數(shù)為。 例4、如圖，OA的方向是北偏東15,OB的方向是西偏北50。 （1）若∠AOC=∠AOB，則OC的方向是__東偏北_________； （2）OD是OB的反向延長線,OD的方向是___南偏東______； （3）∠BOD可看作是OB繞點O逆時針方向至OD, 作∠BOD的平分線OE,并用方位角表示OE的方向是____西偏南_________。 （4）在(1)、（2）、（3）的條件下，求∠COE。 答：∠COE的度數(shù) 備選例題： 例1、如圖,三角形ABC中,AB=AC,延長CA,用量角器量∠B、∠C、∠BAD。 (1)你能得出什么結論,猜想∠BAD、∠B、∠C的關系(可多畫幾個類似圖形嘗試) (2)用你得出的結論和猜想的關系解決下列問題: 一暗礁邊緣有一標志C在燈塔B北偏西80的方向上,與燈塔B的距離為30海里, 輪船從燈塔正南方30海里的A處出發(fā),若航行方向是北偏西45, 輪船能避開暗礁嗎?說明理由. 解：（1）∠BAD=∠B+∠C （2）能避開，因為AB=BC，如果避不開根據(jù)（1）得到的信息 則C應該在燈塔北偏西。 鞏固練習 1、下列說法錯誤的是( D ) A.角的大小與角的邊畫出部分的長短沒有關系； B.角的大小與它們的度數(shù)大小是一致的； C.角的和差倍分的度數(shù)等于它們的度數(shù)的和差倍分； D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。 2、用一副三角板不能畫出( C ) A.75角 B.135角 C.160角 D.105角 3、如圖8,直線a、b相交,∠1=130,則∠2+∠3=( B ) A.50 B.100 C.130 C.180 4、如圖9,三條直線相交于O點,則圖中相等的角(平角除外)有( C )對 A.3對 B.4對 C.6對 D.8對 5、輪船航行到C處觀測小島A的方向是北偏西48,那么從A同時觀測輪船在C處的方向是( A ) A.南偏東48 B.東偏北48 C.東偏南48 D.南偏東42 6、如圖，,,點B、O、D在同一直線上，則的度數(shù)為（C ） A. B. C. D. 7、設時鐘的時針與分針所成角是，則正確的說法是（ B ） A.九點一刻時，∠是平角　　　　B.十點五分時，∠是銳角 C.十一點十分時，∠是鈍角　　　D.十二點一刻時，∠是直角 8、如圖，由點O引射線OA、OB、OC，則這三條射線 組成___3____個角，分別是_∠AOB,∠AOC,∠BOC__，其中∠AOB用數(shù) 字表示為___1_____，∠2用三個字母表示為____∠AOC__。 9、3841′的角的余角等于________,12359′的角的補角等于________. 10、如果∠1的補角是∠2,且∠1>∠2,那么∠2的余角是_∠1-_(用含∠1 的式子表示). 11、如果∠α與∠β互補,且∠α:∠β=5:4,那么,∠α=_______,∠β=_________. 12、；（） ；（） ；（） ；（） 13、一個角是它補角的一半,則這個角的余角是__30_______. 14、如圖，O是直線AB上的一點，∠AOC=900，∠DOE=900，圖中互余的角共有 ____4_____對.互補的角有____3___對。 O A B E D C 15、已知∠AOB=300,以點O為端點,畫射線OC,使∠AOC與∠AOB互余,這樣的射線OC能畫出幾條?在圖中畫出符合要求的射線OC. 答：略 16、一個銳角的一半與這個銳角的余角及這個銳角的補角的和等于平角，求這個銳角的度數(shù)． 解:這個銳角是 17、已知：如圖∠ABC＝30，∠CBD＝70BE是∠ABD的平分線，求∠DBE的度數(shù)。 解：角∠DBE的度數(shù)為。 已知∠a與∠b 互為補角，且∠b 的比∠a大15，求∠a的余角． 解：17 19、如圖，∠AOB是直角，∠AOC等于46，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)． 解：35 自我檢測 一、判斷 1.所有的直角都相等.( √ ) 2.大于直角的角都是鈍角.( ⅹ) 3.如圖1,∠1也可以用∠AOB或∠O來表示.( √ ) 4.由同一端點出發(fā)的兩條直線組成的圖形叫做角.(ⅹ ) 5.一個銳角和一個鈍角的和等于一個平角.( ⅹ) 6.一個角的補角大于這個角.( ⅹ ) 7.一個鈍角減去一個銳角必然得到一個銳角.( ⅹ ) 8.一個角的補角減去這個角的余角是一個直角.(√ ) 9.同角或等角的余角相等,補角也相等.( √ ) 10.若有一個公共頂點和一條公共邊的兩個角互補,則這兩個角的另一邊必在同一直線上.( ⅹ ) 二、選擇題 1、下列語句正確的是 （ B ） A、兩條直線相交組成的圖形叫角； B、一條直線可以看成一個平角； C、一個平角的兩邊可以看成一條直線； D、周角就是一條射線 2、下列四個圖形中，能同時用∠1，∠ABC，∠B三種方法表示同一個角的圖形是（ B ） 3、若∠1= ∠2= 則∠1與∠2的大小關系是（ C ） A、∠1=∠2 B、∠1＞∠2 C、∠1＜∠2 D、無法確定 4、時鐘顯示為8：30時，時針與分針所夾角度是（ C ） A、 B、 C、 D、 5、已知∠MON=30,∠NOP=15,則∠MOP=( C).  A.45 B.15 C.45或15 D.無法確定 6、用一副三角板的內(nèi)角(其中一個三角板的內(nèi)角是45,45,90,另一個是30,60,90)可以畫出大于0且小于176的不同度數(shù)的角共有( D )  A.8種 B.9種 C.10種 D.11種 三、填空題 1、互為補角的兩個角可以都是___直角____角,或者一個是___銳角___角,一個是__鈍__角.(填“鈍角”、“銳角”、“直角”) 2、從1時5分到1時35分，時鐘的分針轉(zhuǎn)了____180____。時針轉(zhuǎn)了___15____。 3、8232′5″+__9727′55″____=180. 4、一個角和它的余角的比是5：4，則這個角的補角是 。 5、如圖，已知AOB是一條直線，∠1=∠2，∠3=∠4，OF⊥AB．則 （1）∠AOC的補角是 ； （2） 是∠AOC的余角； （3）∠DOC的余角是 ； （4）∠COF的補角是 ． 第（5）題 第（6）題 如圖,∠BOC=60,OE,OD分別為∠AOC,∠BOC的角平分線,則∠EOD=_______,∠COE=_______,∠BOE的角平分線是___OC____. 四、解答題 1、用三角板畫出下列圖形:(1)畫∠AOB=105;(2)以OB為始邊,在∠AOB內(nèi)部畫∠AOC=15.(保留作圖痕跡,并寫出作法) 答、略 2、如果一個角的補角與余角的和，比它的補角與余角的差大，求這個角的余角度數(shù)． 答：這個角的余角度數(shù)為 3、如圖，點A、O、E在同一直線上，∠AOB=40，∠EOD=2846’，OD平分∠COE， 求∠COB的度數(shù) 解：∠COB的度數(shù)為