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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 抽象函數(shù)知識梳理2 蘇教版 考情說明： 函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)的綜合運用是高考對函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中函數(shù)單調(diào)性與奇偶性是高考命題的必考內(nèi)容之一，有具體函數(shù)，還會涉及抽象函數(shù)掌握抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法等等。要善于挖掘抽象函數(shù)定義內(nèi)涵，研究抽象函數(shù)的一些性質(zhì)。會利用單調(diào)性、奇偶性解抽象函數(shù)值域問題，解抽象不等式等。 知識點說明： 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)的定義域，解析遞推式，特定點的函數(shù)值，特定的運算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點，也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由于此類試題既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受的青睞，那么，怎樣求解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題， 歸納梳理： 1.抽象函數(shù)與它的代表函數(shù) 抽象函數(shù)滿足條件 代表函數(shù) （） 或 或 或 經(jīng)典講練： 【1.定義域：】解決抽象函數(shù)的定義域問題——明確定義、等價轉(zhuǎn)換。 例：若函數(shù)的定義域為，求函數(shù)的定義域。 解析：由的定義域為，知中的，從而，對函數(shù)而言，有，解之得：。 所以函數(shù)的定義域為. 總結(jié)：函數(shù)的定義域是指自變量的取值范圍，求抽象函數(shù)的定義域的關(guān)鍵是括號內(nèi)式子的地位等同（即同一對應(yīng)法則后括號內(nèi)的式子具有相同的取值范圍），如本題中的與的范圍等同。 【2.值域：】解決抽象函數(shù)的值域問題——定義域、對應(yīng)法則決定. 例：若函數(shù)的值域為，求函數(shù)的值域。 解析：函數(shù)中定義域與對應(yīng)法則與函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則完全相同，故函數(shù)的值域也為. 總結(jié)：當(dāng)函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則不變時，函數(shù)的值域也不會改變。 【3.周期性：】解決抽象函數(shù)的周期性問題——充分理解與運用相關(guān)的抽象式是關(guān)鍵。 例：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱。證明是周期函數(shù)。 證明：由的圖象關(guān)于直線對稱，得， 又是定義在R上的奇函數(shù)，所以 ，則 由周期函數(shù)的定義可知4是它的一個周期。 總結(jié)：一般地，,均可斷定函數(shù)的周期為2T。 【4.奇偶性：】解決抽象函數(shù)的奇偶性問題——緊扣定義、合理賦值。 例：已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：。判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論。 解析：令 ，則，得； 令 ，則，得； 令 ，得，得 因此函數(shù)為奇函數(shù)。 總結(jié)：賦值是解決多變量抽象函數(shù)的重要手段。 【5.單調(diào)性：】解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問題——緊密結(jié)合定義、適當(dāng)加以配湊。 例：設(shè)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且對于任意的，當(dāng)時，都有：。若，試比較與的大小。 解析：， ，，又， ，即。 總結(jié)：本題實質(zhì)上是證明函數(shù)的單調(diào)性，有時也用到（或）來判斷。抽象函數(shù)的單調(diào)性，一般不用導(dǎo)數(shù)判斷。 【6.可解性：】由抽象式求解析式問題——視為未知數(shù)，構(gòu)造方程（組）。 例：設(shè)函數(shù)滿足……①，求。 解析：以代，得，………… ② 以代，得， ………… ③ ①+③-②得： 所以 總結(jié)：在所給的抽象式中緊緊圍繞，將其余的式子替換成，構(gòu)造一個或幾個方程，然后設(shè)法求解。 經(jīng)典訓(xùn)練： 1.已知的定義域為，則的定義域為 . 2.函數(shù)的值域，則的值域為 ．（第7屆希望杯） 3.【南通四星高中10押題】14. 己知：函數(shù)滿足，又．則函數(shù)的解析式為 ★ .2 4.【唐山一中】若奇函數(shù)f(x)為滿足，且，則 . -2 5.已知函數(shù)對任意實數(shù)，均有．且當(dāng)＞０時，＞０，試判斷的單調(diào)性，并說明理由. 【判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性，若能從“源頭”入手，設(shè)法找出此類函數(shù)的原型函數(shù)．據(jù)原型函數(shù)的單調(diào)性先作出判斷，再類比其論證方法，即可輕松獲解．】 6.設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足，若，則= . 7.【啟東市08高三階段第一次調(diào)研】21．（本題滿分16分）求出所有的實數(shù)集到其本身的映射，使得對于任意的實數(shù)，均有 （1）求證：為奇函數(shù)； （2）求證：； （3）求的表達(dá)式。 8.已知中，且則= .-3 *9.設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足” (Ⅰ)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由； (Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根； (Ⅲ)設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中的任意的，當(dāng)且時， ***10.已知函數(shù)滿足下列條件： ① 函數(shù)的定義域為[0，1]； ② 對于任意； ③ 對于滿足條件的任意兩個數(shù) （1）證明：對于任意的； （2）證明：于任意的； （3）不等式對于一切x∈[0，1]都成立嗎？試說明理由.