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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.2 四種命題的相互關(guān)系教案 北師大版選修2-1 （一）教學(xué)目標(biāo) ◆知識(shí)與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關(guān)系，會(huì)用等價(jià)命題判斷四種命題的真假． ◆過(guò)程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫(xiě)出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、有創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力． ◆情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． （二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：（1）會(huì)寫(xiě)四種命題并會(huì)判斷命題的真假；（2）四種命題之間的相互關(guān)系． 難點(diǎn)：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別； （2）寫(xiě)出原命題的逆命題、否命題和逆否命題； （3）分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假． 教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 教學(xué)設(shè)想：通過(guò)學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． （三）教學(xué)過(guò)程 學(xué)生探究過(guò)程： １．復(fù)習(xí)引入 初中已學(xué)過(guò)命題與逆命題的知識(shí)，請(qǐng)同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命題？ 2．思考、分析 問(wèn)題1：下列四個(gè)命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？ （1）若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)． （2）若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)． （3）若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)．（4）若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)． ３．歸納總結(jié) 問(wèn)題一通過(guò)學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論．緊接結(jié)合此例給出四個(gè)命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。 ４．抽象概括 定義１：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆命題． 讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。 定義２：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的否命題． 讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。 定義３：一般地，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆否命題． 讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。 小結(jié)： (1) 交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題： (2) 同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題； (3) 交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題就是它的逆否命題． 強(qiáng)調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對(duì)的。 ５．四種命題的形式 讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考： 若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應(yīng)分別寫(xiě)成什么形式？ 學(xué)生通過(guò)思考、分析、比較，總結(jié)如下： 原命題：若P，則q．則： 逆命題：若q，則P． 否命題：若￢P，則￢q．（說(shuō)明符號(hào)“￢”的含義：符號(hào)“￢”叫做否定符號(hào)．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p） 逆否命題：若￢q，則￢P． ６．鞏固練習(xí) 寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假： （１） 若一個(gè)三角形的兩條邊相等，則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等； （２） 若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是０，則這個(gè)整數(shù)能被５整除； （３） 若x2=1,則x=1； （４） 若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù)。 ７．思考、分析 結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)系？ 通過(guò)此問(wèn)，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)： ①原命題為真，它的逆命題不一定為真。 ②原命題為真，它的否命題不一定為真。 ③原命題為真，它的逆否命題一定為真。 原命題為假時(shí)類似。 結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格： 原 命 題 逆 命 題 否 命 題 逆 否 命 題 真 真 假 真 假 真 假 假 由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性． 由此會(huì)引起我們的思考： 一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關(guān)系呢？ 讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關(guān)系． 學(xué)生通過(guò)分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示： ８．總結(jié)歸納 若P，則q． 若q，則P． 原命題 互 逆 逆命題 互 否 互 為 否 逆 互 否 為 互 逆 否 否命題 逆否命題 互 逆 若￢P，則￢q． 若￢q，則￢P． 由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關(guān)系如下： （1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； （2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系． 由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困難時(shí)，可以通過(guò)證明它的逆否命題為真命題，來(lái)間接地證明原命題為真命題． ９．例題分析 例4： 證明：若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2． 分析：如果直接證明這個(gè)命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對(duì)它的逆否命題的證明。 將“若p2 ＋ q2 ＝2，則p ＋ q ≤ 2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p + q ＞2，則p2 + q2 ≠2”為真命題，從而達(dá)到證明原命題為真命題的目的． 證明：若p ＋ q ＞2，則 　　p2 ＋ q2　?。剑郏╬ －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞２２＝２ 所以p2 ＋ q2≠2． 這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。 練習(xí)鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１． １０：教學(xué)反思 （１）逆命題、否命題與逆否命題的概念； （２）兩個(gè)命題互為逆否命題，他們有相同的真假性； （３）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒(méi)有關(guān)系； （４）原命題與它的逆否命題等價(jià)；否命題與逆命題等價(jià)．