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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第七講第四節(jié)填空題的解題策略（2） 文 【題型一】多選型 給出若干個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足題意的命題或結(jié)論. 這類題不論多選還是少選都是不能得分的，相當(dāng)于多項(xiàng)選擇題.它的思維要求不同于一般的演繹推理，而是要求從結(jié)論出發(fā)逆向探究條件，且結(jié)論不唯一.此類問題多涉及定理、概念、符號(hào)語言、圖形語言.因此，要求同學(xué)們有扎實(shí)的基本功，能夠準(zhǔn)確的閱讀數(shù)學(xué)材料，讀懂題意，根據(jù)新的情景，探究使結(jié)論成立的充分條件.判斷命題是真命題必須通過推理證明，而判斷命題是假命題，舉反例是最有效的方法. 例1一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_______(填入所有可能的幾何體前的編號(hào)) ①三棱錐 ②四棱錐 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圓錐 ⑥圓柱 點(diǎn)撥：此題考查立體圖形的三視圖，多選題，應(yīng)逐個(gè)驗(yàn)證，由于幾何體擺放的位置不同，正視圖不同，驗(yàn)證時(shí)應(yīng)考慮全面. 解：如下圖所示，三棱錐、四棱錐、三棱柱、圓錐四種幾何體的正視圖都可能是三角形，所以應(yīng)填①②③⑤． 易錯(cuò)點(diǎn)：忽略三棱柱可以倒置，底面正對視線，易漏選③ 例2甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）. ①； ②； ③事件與事件相互獨(dú)立； ④是兩兩互斥的事件； ⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān). 點(diǎn)撥：此題考查概率有關(guān)知識(shí)，涉及獨(dú)立事件，互斥事件的概念.題型為多選型，應(yīng)根據(jù)題意及概念逐個(gè)判斷. 解：易見是兩兩互斥的事件，事件的發(fā)生受到事件的影響，所以這兩事件不是相互獨(dú)立的.而. 所以答案②④. 易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽略事件的發(fā)生受到事件的影響，在求事件發(fā)生的概率時(shí)沒有分情況考慮而導(dǎo)致求解錯(cuò)誤. 【題型二】探索型 從問題給定的題設(shè)中探究其相應(yīng)的結(jié)論，或從給定題斷要求中探究其相應(yīng)的必須具備的條件.常見有：規(guī)律探索、條件探索、問題探索、結(jié)論探索等幾個(gè)類型.如果是條件探索型命題，解題時(shí)要求學(xué)生要善于從所給的題斷出發(fā)，逆向追索，逐步探尋，推理得出應(yīng)具備的條件，進(jìn)而施行填空；如果是結(jié)論探索型命題，解題時(shí)要求學(xué)生充分利用已知條件或圖形的特征進(jìn)行大膽猜想、透徹分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論. 例3觀察下列等式： ①; ②; ③; ④ ⑤ 可以推測， . 點(diǎn)撥：此題給出多個(gè)等式，出現(xiàn)的系數(shù)存在規(guī)律，需對此規(guī)律進(jìn)行探索，猜測，推理得出答案. 解：因?yàn)樗?；觀察可得，，所以. 例4觀察下列等式： ，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為. 點(diǎn)撥：此題給出多個(gè)等式，需尋找規(guī)律，探索答案. 解：（方法一）∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1,2；1,2,3；1,2,3,4…，右邊的底數(shù)依次分別為3,6,10…（注意：這里），∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個(gè)等式左邊的底數(shù)為，右邊的底數(shù)為. 又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個(gè)等式為 . （方法二）∵易知第五個(gè)等式的左邊為，且化簡后等于，而，故易知第五個(gè)等式為 【題型三】新定義型 定義新情景，給出一定容量的新信息（考生未見過），要求考生依據(jù)新信息進(jìn)行解題.這樣必須緊扣新信息的意義，將所給信息轉(zhuǎn)化成高中所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)模型，然后再用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型求解，最后回到材料的問題中給出解答.此類問題多涉及給出新定義的運(yùn)算、新的背景知識(shí)、新的理論體系，要求同學(xué)有較強(qiáng)的分析轉(zhuǎn)化能力，不過此類題的求解較為簡單. 例5對于平面上的點(diǎn)集，如果連接中任意兩點(diǎn)的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下（陰影區(qū)域及其邊界）： 其中為凸集的是 （寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào)）. 點(diǎn)撥：此題給出凸集這樣一個(gè)新概念，需對此新定義理解，對照定義驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng). 解：在各個(gè)圖形中任選兩點(diǎn)構(gòu)成線段，看此線段是否包含于此圖形，可以在邊界上，故選②③. 易錯(cuò)點(diǎn)：忽略④是由兩個(gè)圓構(gòu)成一個(gè)整體圖形，從兩個(gè)圓上各取一點(diǎn)構(gòu)成的線段不包含于此圖形，易誤選④. 例6若數(shù)列滿足：對任意的，只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立，記這樣的的個(gè)數(shù)為，則得到一個(gè)新數(shù)列．例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是．已知對任意的，，則 ， ． 點(diǎn)撥：此題定義了一個(gè)新數(shù)列，應(yīng)透過復(fù)雜的符號(hào)理解簡單的定義，并嚴(yán)格依照定義進(jìn)行正確推理，尋找規(guī)律，大膽猜想. 解：因?yàn)?，而，所以m=1,2,所以2. 因?yàn)? 所以＝1, ＝4，＝9，＝16， 猜想. 易錯(cuò)點(diǎn)：容易對定義不理解導(dǎo)致思路受阻，或理解錯(cuò)誤導(dǎo)致解錯(cuò). 【題型四】組合型 給出若干個(gè)論斷要求學(xué)生將其重新組合，使其構(gòu)成符合題意的命題.解這類題，就要求學(xué)生對所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系有透徹的理解和掌握，通過對題目的閱讀、理解、分析、比較、綜合、抽象和概括，用歸納、演繹、類比等推理方法準(zhǔn)確地闡述自己的觀點(diǎn)，理清思路，進(jìn)而完成組合順序. 例7是兩個(gè)不同的平面，是平面及之外的兩條不同直線，給出下列四個(gè)論斷： （1）,（2）,（3）（4），若以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________________________. 點(diǎn)撥：此題是開放性填空題，只需填一個(gè)正確的答案，考查的是線面關(guān)系. 解：通過線面關(guān)系，不難得出正確的命題有： （1）,,；（2）,,. 所以可以填,, (或,,). 三 減少填空題失分的檢驗(yàn)方法 【方法一】回顧檢驗(yàn)：解答之后再回顧，即再審題，避免審題上帶來某些明顯的錯(cuò)誤，這是最起碼的一個(gè)環(huán)節(jié). 【方法二】賦值檢驗(yàn)：若答案是無限的、一般性結(jié)論，可賦予一個(gè)或幾個(gè)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免知識(shí)性錯(cuò)誤. 【方法三】估算檢驗(yàn)：當(dāng)解題過程是否等價(jià)變形難以把握時(shí)，可用估算的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免忽視充要條件而產(chǎn)生邏輯性錯(cuò)誤. 【方法四】作圖檢驗(yàn)：當(dāng)問題具有幾何背景時(shí)，可通過作圖進(jìn)行檢驗(yàn)即數(shù)形結(jié)合，一避免一些脫離事實(shí)而主觀臆斷導(dǎo)致錯(cuò)誤. 【方法五】變法檢驗(yàn)：一種方法解答之后，再用其他方法解之，看它們的結(jié)果是否一致，從而可避免方法單一造成的策略性錯(cuò)誤. 【方法六】極端檢驗(yàn)：當(dāng)難以確定端點(diǎn)處是否成立時(shí)，可直接取其端點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免考慮不周全的錯(cuò)誤. 點(diǎn)評： 填空題是介于選擇題和解答題之間的一種題型. 它既有選擇題的小、活、廣，又有解答題的推理運(yùn)算嚴(yán)謹(jǐn)，考查全面的特點(diǎn). 因此，在解題過程中可靈活選用選擇題、解答題的有效方法靈活解題，以達(dá)到正確、合理、迅速的目的. 因此在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： ① 注意對一些特殊題型結(jié)構(gòu)與解法的總結(jié)，以找到規(guī)律性的東西； ② 注意對知識(shí)的聯(lián)想、遷移、類比、歸納的應(yīng)用，以快速得到提示與啟發(fā)； ③ 注意從不同角度、不同方法對題目的“再解答”，以保證解答的正確性. 習(xí)題7-4 1. 已知命題“若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則”現(xiàn)已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，若類比上述結(jié)論，則可得到 . 2.設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對任意， 都有，則稱S為封閉集.下列命題： ①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集. 其中真命題是 （寫出所有真命題的序號(hào)） 3., 有以下三個(gè)論斷：①；②；③.若以其中兩個(gè)為條件，余下一個(gè)為結(jié)論，寫出所有正確的命題：_______________________________________________________. 4. 若規(guī)定的子集為的第個(gè)子集，其中 ，則 （1）是E的第_________個(gè)子集；（2）E的第211個(gè)子集是____________. 5. ①在中，的充分必要條件是； ②函數(shù)的最小值是； ③數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列是等差數(shù)列； ④空間中，垂直于同一直線的兩直線平行； ⑤直線分圓所成的兩部分弧長之差的絕對值為. 其中正確的結(jié)論的序號(hào)為：___________. 6．平面幾何中的射影定理為：直角中， 則有，如圖1；將此結(jié)論類比到空間：在三棱錐中，AB、AC、AD三邊兩兩互相垂直，在面的射影為點(diǎn)，則得到的類比的結(jié)論中 有怎樣的關(guān)系 . 【答案】 習(xí)題7-4 1. 提示：（新定義型）（1）根據(jù)新定義.（2）要使得，需，即要使得分別為1，2，16，64，128，故分別為1，2，5，7，8. 5.①②⑤.提示：（多選型）①利用正弦定理邊化角可證明正確.②不滿足均值不等式條件，考慮對鉤函數(shù)單調(diào)性證明正確.③等差數(shù)列前項(xiàng)和為關(guān)于的二次式，且常數(shù)項(xiàng)為0.④由正方體從一個(gè)定點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直可知錯(cuò)誤⑤圓心到直線的距離，半徑，劣弧所對圓心角為. 6． 提示：（探索型）類比猜測答案. 實(shí)際上，延長交于，則⊥,⊥. 而 直角中， 故 來源：