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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 難點(diǎn)2.12 推理與新定義問題教學(xué)案 文 隨著新課標(biāo)的深入實(shí)施，素質(zhì)教育要求不斷提高，全國各地的高考試卷都相繼推出了以能力立意為目標(biāo)，以增大思維容量為特色，具有相當(dāng)濃度和明確導(dǎo)向的創(chuàng)新題型脫穎而出，為高考試題增添了活力．縱觀近年各地高考的創(chuàng)新題型，不難發(fā)現(xiàn)，推理與“新定義”型這種題目是高考試題的一大熱點(diǎn)．所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些新概念、新運(yùn)算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有的知識、能力進(jìn)行理解，并根據(jù)新的定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型．這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點(diǎn)，由于它構(gòu)思巧妙，題意新穎，是考察學(xué)生綜合素質(zhì)和能力、挖掘?qū)W生潛力的較佳題型，因而它受到的青睞． 一．新定義 以新課標(biāo)內(nèi)容為背景，這種類型的問題很多，一般是以新課標(biāo)教材內(nèi)容為背景，給出某種新概念、新運(yùn)算（符號）、新法則（公式）等，學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新運(yùn)算（符號）、新法則（公式）之后，運(yùn)用新課標(biāo)學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等尋求問題解決．縱觀這幾年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)，“新定義”型問題按其命題背景可分為三種類型：以新課標(biāo)內(nèi)容為背景、以高等數(shù)學(xué)為背景、以跨學(xué)科為背景．現(xiàn)就相關(guān)類型作探討： 1．新定義集合 所謂“新定義集合”，給出集合元素滿足的性質(zhì)，探討集合中的元素屬性，要求有較高的抽象思維和邏輯推理能力．由于此類題目編制角度新穎，突出能力立意，突出學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查，特別能夠考查學(xué)生“現(xiàn)場做題”的能力，并且在近幾年高考模擬試題和高考試題中出現(xiàn)頻繁出現(xiàn)．下面選取幾例進(jìn)行分類歸納，解題時應(yīng)時刻牢記集合元素的三要素：確定性，互異性，無序性． 例1．已知集合，若對于任意，存在，使得成立，則稱集合是“理想集合”.給出下列4個集合：①；②；③；④.其中所有“理想集合”的序號是（ ） A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】B 的點(diǎn)都能找到對應(yīng)的點(diǎn),使得成立，故正確；③項(xiàng)由圖象可得，直角始終存在，故正確；④項(xiàng)，由圖象可知，點(diǎn)在曲線上不存在另外一個點(diǎn)，使得成立，故錯誤；綜合②③正確，所以選B. 點(diǎn)評：本題主要考查的是平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，元素與集合的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的思想，推理分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題，此類新定義問題最主要是弄明白問題的實(shí)質(zhì)是什么，對于此題而言，通過可得出就是在函數(shù)的曲線上找任意一個點(diǎn)都能找到一個點(diǎn),使得成立，找到新定義的含義了，剩余的選項(xiàng)中都是我們所熟知的基本初等函數(shù)，可通過數(shù)形結(jié)合分析即可求解，所以對新定義的轉(zhuǎn)化能力是解這類問題的關(guān)鍵. 2．新定義函數(shù) 例2．【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若f（x）滿足條件：存在[a，b]?D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍是（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 點(diǎn)評：定義新函數(shù)的定義域與值域相同，先判定函數(shù)的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程根的情況，本題的關(guān)鍵也是能否轉(zhuǎn)化為函數(shù)根的問題，然后求解. 例3．若函數(shù)在區(qū)間上，，，，，，均可為一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查考生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題.解答本題首先通過給出的定義把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到最小值，通過比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值求出最大值，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，進(jìn)而求得其范圍. 3．新定義數(shù)列 例4. 【上海市靜安區(qū)xx屆質(zhì)檢】設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③ ．設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說， 是數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3． （1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請寫出數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和； （3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和． 思路分析：（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列；（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得： ，由對數(shù)的運(yùn)算對分類討論求出伴隨數(shù)列的前100項(xiàng)以及它們的和；（3）由題意和與的關(guān)系式求出，代入得，并求出伴隨數(shù)列的各項(xiàng)，再對分類討論，分別求出伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和． （3）∵ ∴ ，當(dāng)時， ，∴ ，由得： ，∵使得成立的的最大值為，∴ ，當(dāng)時： ，當(dāng)時： ，當(dāng)時： ，∴ 點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題． 4． 定義新運(yùn)算型 例5．【四川省成都市xx屆12月月考】定義一種運(yùn)算，若，當(dāng)有5個不同的零點(diǎn)時，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 點(diǎn)評：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題 . 5． 定義新法則型 例6．一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?），已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為：．現(xiàn)已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第 位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 ． 思路分析：根據(jù)二元碼及新定義，分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算求得. 【答案】． 點(diǎn)評：本題以二元碼為背景考查新定義問題，解決時候要耐心讀題，并分析新定義的特點(diǎn)，按照所給的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問題的目的．對于新法則，關(guān)鍵在于找到元素之間的對應(yīng)關(guān)系，我們可以借助圖表等方法尋找它們之間的對應(yīng)關(guān)系，利用對應(yīng)關(guān)系列方程． 6． 以高等數(shù)學(xué)為背景 本類型的題目通常是以高等數(shù)學(xué)符號、概念直接出現(xiàn)或以高等數(shù)學(xué)概念、定理作為依托融于初等數(shù)學(xué)知識中．此類問題的設(shè)計(jì)雖來源于高等數(shù)學(xué)，但一般是起點(diǎn)高，落點(diǎn)低，它的解決的方法還是運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能．這要求學(xué)生認(rèn)真閱讀相關(guān)定義或方法，在充分理解題意的基礎(chǔ)上，結(jié)合已有的知識進(jìn)行解題． 例7．對于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值－1，稱為函數(shù)的“下確界”，若的“下確界”為 A、8 B、6 C、 4 D、1 【思路分析】根據(jù)“下確界”的定義，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值. 【解析】由且，，即，從而，由“下確界”的定義得“下確界”為８． 點(diǎn)評：本題要充分理解題意，準(zhǔn)確把握“下確界”的實(shí)質(zhì)是什么？從而轉(zhuǎn)化求的最小值的問題，運(yùn)用學(xué)過的知識，便能求出相應(yīng)函數(shù)的最值． 3 以跨學(xué)科為背景 本類型的題目，主要是介紹數(shù)學(xué)知識在其他學(xué)科或領(lǐng)域的運(yùn)用，一般都會介紹運(yùn)用時的知識背景、數(shù)學(xué)模型，因而題中文字、信息較多．學(xué)生必須準(zhǔn)確地把握題意、理順線索、分析相應(yīng)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)合學(xué)生已有的知識和能力進(jìn)行推理、運(yùn)算． 例8．設(shè)數(shù)列A： ， ,… ().如果對小于()的每個正整數(shù)都有 ＜ ，則稱是數(shù)列A的一個“G時刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時刻”組成的集合. （1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素； （2）證明：若數(shù)列A中存在使得>，則 ； （3）證明：若數(shù)列A滿足- ≤1（n=2,3, …,N）,則的元素個數(shù)不小于 -. 思路分析：（1）關(guān)鍵是理解G時刻的定義，根據(jù)定義即可寫出的所有元素；（2）要證，即證中含有一元素即可；（3）當(dāng)時，結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時仍然成立即可. 點(diǎn)評：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等. 由上各例可見，“新定義”型的問題，通常是選取合適的數(shù)學(xué)背景，把新定義、新運(yùn)算、新符號等巧妙的融入高考試題中來，雖然它的構(gòu)思巧妙、題意新穎、隱蔽性強(qiáng)，到處都體現(xiàn)出新意，但是，它考查的還是基本知識和基本技能，解題的關(guān)鍵在于全面準(zhǔn)確理解題意，科學(xué)合理的推理運(yùn)算．因此，“新題”不一定是“難題”，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握好雙基，以不變應(yīng)萬變才是我們?nèi)俚姆▽殻? 二．推理問題 最近幾年,在高考數(shù)學(xué)命題中,在考查考生對基礎(chǔ)知識掌握情況的同時,也逐漸加大了對學(xué)生綜合應(yīng)用能力的考查.合情推理創(chuàng)新題型的考查力度增大,要求考生在推理過程中具備獨(dú)特的方法和技巧.這類題型在高考試題中的位置較為特殊,尤其是“類比推理”和“歸納推理”題型. 1．類比推理 類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和已知其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.類比推理在具體實(shí)施過程中，關(guān)鍵是找到兩類對象之間可以確切表述的相似特征.然后，用一類對象的已知特征，去推測另一類對象的特征，從而得到一個猜想，最后檢驗(yàn)這個猜想.它是數(shù)學(xué)的重要方法之一.要找到類比，往往需要一點(diǎn)想象力和創(chuàng)新精神，在高中階段類比方向主要集中在等差數(shù)列與等比數(shù)列，平面幾何與立體幾何，平面向量與空間向量等. 例9．已知是的三邊，若滿足，即，為直角三角形，類比此結(jié)論：若滿足時，的形狀為________．（填“銳角三角形”，“直角三角形”或“鈍角三角形”）． 思路分析：本題考查解三角形、類比推理，涉及分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先判斷得最大，則角最大， ，故該三角形為銳角三角形. 【答案】銳角三角形 ，故該三角形為銳角三角形. 點(diǎn)評：類比推理是合情推理中的一類重要推理，強(qiáng)調(diào)的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質(zhì)上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起．當(dāng)然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比．一般來說，高考中的類比問題多發(fā)生在橫向與縱向類比上，如圓錐曲線中橢圓與雙曲線等的橫向類比以及平面與空間中三角形與三棱錐的縱向類比等． 2．歸納推理 例10．觀察如下數(shù)表的規(guī)律（仿楊輝三角：下一行的數(shù)等于上一行肩上相鄰兩數(shù)的和）： 該數(shù)表最后一行只有一個數(shù)，則這個數(shù)是______. 思路分析：本題主要考查了歸納推理委托，著重考查了由數(shù)表探究數(shù)列的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的排布規(guī)律，計(jì)算數(shù)表數(shù)列問題，以及等差數(shù)列的應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，對于歸納推理問題解答的關(guān)鍵在于根據(jù)給定的數(shù)表數(shù)列，尋找數(shù)字的排布規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答. 【答案】 點(diǎn)評：歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后予以證明，這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是“觀察——?dú)w納——猜想——證明”，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想． 由上各例可見，在進(jìn)行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論.在進(jìn)行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對象的性質(zhì).歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性. 即合情推理的關(guān)鍵是尋求規(guī)律，明確已知結(jié)論的性質(zhì)或特征.高考中此類問題的指向性很強(qiáng)，要得到正確結(jié)論的歸納或類比.