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1、第43講：機(jī)械振動 簡諧運(yùn)動的基本概念 內(nèi)容：14-1, 14—2 1 .簡諧運(yùn)動 （50分鐘） 2 .描述簡諧運(yùn)動的物理量 （50分鐘） 要求： 1 .掌握描述簡諧運(yùn)動的特征量 一一振幅、周期、頻率、相位的物理意義, 并能熟練地確定振動系統(tǒng)的特征量，從而建立簡諧運(yùn)動方程； 2 .掌握描述簡諧運(yùn)動的旋轉(zhuǎn)矢量方法與圖示法的特點(diǎn)， 并會應(yīng)用于簡諧 運(yùn)動規(guī)律的討論與分析。 重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1 .簡諧運(yùn)動的動力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)方程； 2 .振幅與初相位的確定； 作業(yè)： 問題：P35: 1, 2, 7, 8 習(xí)題：P37: 2, 5, 8, 11 預(yù)習(xí)： 14-3, 14

2、-4, 14-5 第43講 機(jī)械振動一一簡諧振動的基本概念 第十四章機(jī)械振動 引言： 1 .什么是振動(Vibration) 振動是自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域常見的一種運(yùn)動，廣泛存在于機(jī)械運(yùn)動、電 磁運(yùn)動、熱運(yùn)動、原子運(yùn)動等運(yùn)動形式之中。從狹義上說，通常把具有時間周 期性的運(yùn)動稱為振動。如鐘擺、發(fā)聲體、開動的機(jī)器、行駛中的交通工具都有 機(jī)械振動。廣義地說，任何一個物理量在某一數(shù)值附近作周期性的變化，都稱 為振動。變化的物理量稱為振動量，它可以是力學(xué)量，電學(xué)量或其它物理量。 例如：交流電壓、電流的變化、無線電波電磁場的變化等等。 2 .什么是機(jī)械振動(Mechanical Vibra

3、tion) 機(jī)械振動是最直觀的振動，它是物體在一定位置附近的來回往復(fù)的運(yùn)動， 如活塞的運(yùn)動，鐘擺的擺動等都是機(jī)械振動。 3 .研究機(jī)械振動的意義 不同類型的振動雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是僅就振動過程而言，振動量 隨時間的變化關(guān)系，往往遵循相同的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而使得不同本質(zhì)的 振動具有相同的描述方法。 振動是自然界及人類生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常發(fā)生的一種普遍運(yùn)動形式，研究 機(jī)械振動的規(guī)律也是學(xué)習(xí)和研究其它形式的振動以及波動、無線電技 術(shù)、波動光學(xué)的基礎(chǔ)。 4 .機(jī)械振動的特點(diǎn) (1)有平衡點(diǎn)。 (2)且具有重復(fù)性，即具有周期性。 5 .機(jī)械振動的分類 (1)按振動規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機(jī)振動

4、。 (2)按產(chǎn)生振動原因分： 自由、受迫、自激、參變振動。 (3)按自由度分： 單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。 (4)按振動位移分：角振動、線振動。 (5)按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動。 簡諧振動是最基本的振動，存在于許多物理現(xiàn)象中。本章主要研究簡諧振 動的規(guī)律，也簡單介紹阻尼振動、受迫振動、共振等。 本章內(nèi)容有： 14—1簡諧運(yùn)動 14-2簡諧運(yùn)動的振幅、周期(頻率)與相位 14—3旋轉(zhuǎn)矢量 14 — 4單擺與復(fù)擺 14—5簡諧運(yùn)動的能量 14—6簡諧運(yùn)動的合成 14—7阻尼振動、受迫振動、共振 14- 1簡諧運(yùn)動 Simple Harmonic V

5、ibration 在一切振動中，最簡單和最基本的振動稱為簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動量按正弦函 數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化。任何復(fù)雜的運(yùn)動都可以看成是若干簡諧運(yùn)動 的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡諧運(yùn)動的特征及其運(yùn)動規(guī)律。 一、簡諧運(yùn)動的基本概念： 1M 1 .彈簧振子： 輕質(zhì)彈簧（質(zhì)量不計）一端固定， 另一端系一質(zhì)量為 m的物體，置于光 ㈤ 滑的水平面上。物體所受的阻力忽略 ’ 不計。設(shè)在 。點(diǎn)彈簧沒有形變，此處 物體所受的合力為零，稱 。點(diǎn)為平衡 位置。系統(tǒng)一經(jīng)觸發(fā)，就繞平衡位置 作來回往復(fù)的周期性運(yùn)動。這樣的運(yùn) 動系統(tǒng)叫做彈簧振子（harmonic Oscillator 2 .

6、彈簧振子運(yùn)動的定性分析： 考慮物體的慣性和作用在物體上的彈性力: B 一。彈性力向左，加速度向左，加速， O 一 C:彈性力向右，加速度向右，減速， C 一。彈性力向右，加速度向右，加速， O 一 B:彈性力向左，加速度向左，減速， 物體在B、C之間來回往復(fù)運(yùn)動。 結(jié)論：物體作簡諧運(yùn)動的條件： [ I I ? 4 ! 1 1 ）,它是一個理想化的模型。 。點(diǎn)，加速度為零，速度最大; C點(diǎn)，加速度最大，速度為零; 。點(diǎn)，加速度為零，速度最大; B點(diǎn)，加速度最大，速度為零。 物體的慣性 阻止系統(tǒng)停留在平衡位置 9 作用在物體上的彈性力一一驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置 二、

7、彈簧振子的動力學(xué)特征： 1 .線性回復(fù)力 IAWvW 分析彈簧振子的受力情況。 取平衡位置。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為X軸 的正方向。由胡克定律可知，物體m （可視為質(zhì)點(diǎn)）在坐標(biāo)為x （即相對于。點(diǎn)的 位移）的位置時所受彈簧的作用力 為 f=-kx 式中的比例系數(shù) k為彈簧的勁度 系數(shù)（Stiffness）,它反映彈簧的固 有性質(zhì)，負(fù)號表示力的方向與位移 的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位 置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運(yùn)動。這種始終指向平衡位置的力稱為回復(fù)力。 2 .動力學(xué)方程及其解 根據(jù)牛頓第二定律， f=ma 可得物體的加速度為 對于給定

8、的彈簧振子, 2— k m 則上式可以改寫為 a m和k均為正值常量，令 2x d 2x dt2 2x d2x dt2 2x = 0 這就是簡諧運(yùn)動的微分方程。 三、簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征: 1 .簡諧振動的表達(dá)式(運(yùn)動學(xué)方程) 簡諧運(yùn)動的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦 函數(shù)形式，即 x Acos( t ) 這就是簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程，式中 A和。是積分常數(shù)。 說明： 1)簡諧運(yùn)動不僅是周期性的， 而且是有界的，只有正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)或 它們的組合才具有這種性質(zhì)，這里我們采用余弦函數(shù)。 2)考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 ei cos

9、 i sin ，則x Aei( ‘)。用 復(fù)數(shù)表示簡諧運(yùn)動，其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算比較簡單。 減速 加速 減速 加速 2 .簡諧振動物體的速度和加速度 將簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程分別對 時間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡諧運(yùn) 動的速度和加速度為 dx v Asin( t ) dt d 2x 2 A ,,、 a ——2 A cos( t ) dt 說明： 物體在簡諧運(yùn)動時，其位移、速度、加速度都是周期性變化的。 簡諧運(yùn)動不僅是周期性的，而且是有界的 一一只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或 它們的組合才具有這種性質(zhì)一一采用余弦函數(shù)。 二、簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)： 1 .從受力角度來看一一動力學(xué)特征 合

10、外力f=-kx與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相 反，并且總是指向平衡位置的。此合外力又稱為線形回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力。 2 .從加速度角度來看一一運(yùn)動學(xué)特征 加速度a 2x與物體相對于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方 向相反，并且總是指向平衡位置的。 3 .從位移角度來看： Wx~~Acos( t )是時間的周期性函數(shù)。 說明： 1)要證明一個物體是否作簡諧運(yùn)動， 只要證明上面三個式子中的一個即可， 且 由其中的一個可以推出另外兩個； 2)要證明一個物體是否作簡諧運(yùn)動最簡單的方法就是受力方析， 得到物體所受 的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。 例題：一個輕質(zhì)彈

11、簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為 m的物體。今將物體向下拉一 段距離后再放開，證明物體將作簡諧運(yùn)動。 證明：取物體平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為 x軸的正方向，如 圖所示。物體在平衡位置時所受的合力為零，即 mg-kl=0 (1) 其中mg為物體的重力，l為物體平衡時彈簧的伸長量。 在任一位置x處，物體所受的合力為 F=mg-k(x+l) (2) 比較(1)、(2)可得 F=-kx (3) 可見物體所受的合外力與位移成正比， 而方向相反，所以該物體將 作簡諧運(yùn)動。 14-2簡諧運(yùn)動的振幅、周期和相位 Amplitude , Period and Frequency , Ph

12、ase of Simple harmonic Vibration 現(xiàn)在我們討論簡諧振動運(yùn)動學(xué)方程 x=Acos( 31+())中的A、3、cot+ j ())的 物理意義。它們分別是描述諧振動的特征量： 振幅、頻率和周期、相位和初相。 振幅、周期和相位等都是描述簡諧運(yùn)動的物理量。 一、振幅A(Amplitude)一反映振動幅度的大小 引入：在簡諧運(yùn)動的表達(dá)式中，因?yàn)橛嘞一蛘液瘮?shù)的絕對值不能大于 1, 所以物體的振動范圍為 +A與-A之間。 定義：作簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。 說明：(1)A恒為正值，單位為米(m); (2)振幅的大小與振動系統(tǒng)的能量有關(guān)，

13、由系統(tǒng)的初始條件確定。 二、周期T(Period)與頻率(Frequency)一反映振動的快慢 1.周期 Period 定義：物體作一次完全振動所需的時間，用 T表示，單位為秒(s)o x Acos( t ) Acos[ (t T) ] 考慮到余弦函數(shù)的周期性，有 T=2 2 因而有 T —— 2 .頻率 Frequency 定義：單位時間內(nèi)物體所作的完全振動的次數(shù)，用V表示，單位為赫茲 (Hz)。 1 T 2 3 .圓頻率 Angular Frequency 定義：物體在2兀秒時間內(nèi)所作的完全振動的次數(shù)，用3表示，單位為弧度 /秒 (rad. s-1 或 s-1)

14、。 2 2 T 說明： 1)簡諧運(yùn)動的基本特性是它的周期性； 2)周期、頻率或圓頻率均有振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，故稱之為固有周期、 固有頻率或固有圓頻率。 3) 對于彈簧振子， , T 2 m 2 m ■ k 4)簡諧運(yùn)動的表達(dá)式可以表示為 2 x Acos( t ) Acos(—t ) Acos(2 t ) 三、相位(Phase)一反映振動的狀態(tài) 1.相位 質(zhì)點(diǎn)在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)可以用該時刻的位置和速度來描述。對于作簡 諧運(yùn)動的物體來說，位置和速度分別為 x=Acos( t+ 汴Dv=-coAsin( t+ ),當(dāng)振 幅A和圓頻率3給定時，物

15、體在t時刻的位置和速度完全由 t+來確定。即t+ 是確定簡諧運(yùn)動狀態(tài)的物理量，稱之為相位。 相位(墳+ 4)是決定諧振子運(yùn)動狀態(tài)的重要物理量 cot+ 4和A, 3 一起 決定t時刻物體運(yùn)動狀態(tài)，即位移 X,速度V,和加速度a. 在一次全振動中，諧振子有不同的運(yùn)動狀態(tài)， 分別與0?2內(nèi)的一個相位 值對應(yīng)。例如： t x V t+ 0 A 0 T/4 A T/2 A T A 0 2 在t=0時，相位為 也稱為初相位，簡稱初相，它是決定初始時刻物體運(yùn) 動狀態(tài)的物理量。對于一個簡諧運(yùn)動來說，開始計時的時刻不同，初始狀態(tài)就 不同，與之對

16、應(yīng)的初相位就不同，即初相位與時間零點(diǎn)的選擇有關(guān)。 結(jié)論：對于一個簡諧運(yùn)動，若 A、3、。已知，就可以寫出完整的運(yùn)動方程， 即掌握了該運(yùn)動的全部信息。因此，我們把 A、3、。叫做描述簡諧運(yùn)動的三 個特征量。 3.相位差： 定義：兩個振動在同一時刻的相位之差或同一振動在不同時刻的相位之差。 對于同頻率簡諧運(yùn)動、同時刻的相位差 x1 A1cos( t 1) x2 A2 cos( t 2) 相位差 =(t 2)( t 1) 2 1 即兩個同頻率的簡諧運(yùn)動在任意時刻的相位差是恒定的。且始終等于它們的初 始相位差。 說明： 1) 0 質(zhì)點(diǎn)2的振動超前質(zhì)點(diǎn)1的振動 0 質(zhì)點(diǎn)2的振

17、動落后質(zhì)點(diǎn)1的振動 2) 2k ,k 0,1,2,...., 同相(步調(diào)相同) (2k 1) ,k 0,1,2,...., 反相(步調(diào)相反) 小結(jié)：對于一個簡諧運(yùn)動，若振幅、周期和初相位已知，就可以寫出完整的運(yùn) 動方程，即掌握了該運(yùn)動的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做描 述簡諧運(yùn)動的三個特征量。 四、積分常數(shù)A和。的確定： 簡諧運(yùn)動運(yùn)動學(xué)方程為 x=Acos( t+ ) 其中圓頻率是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定的， 積分常數(shù)A和。是求解簡諧運(yùn)動 的微分方程是引入的，其值有初始條件(即在 t=0時物體的位移與速度)來確 定。將t=0代入位移和速度的公式， 即得物體在初始時刻的位

18、移 X0和初速度V0： x0 Acos v0 A sin 由此可解得 2 Vo tg Vo Xo （或o和2兀）之間; ,般來說有兩個值，還要有初始條件來判斷應(yīng) 說明： 1） 一般來說 。的取值在一兀和兀 2）在應(yīng)用上面的式子求。時， 該取哪個值； 3）常用方法：由A= |x； Vo 然后由 xo Acos 兩者的共同 Vo A sin k=o.72N/m o.o4m處釋放。 ,物體的質(zhì)量為m=2og。 求振動方程。 部分求力。 例1： 一彈簧振子系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為 今將物體從平衡位置沿桌面

19、向右拉長到 解：要確定彈簧振子系統(tǒng)的振動方程，只要確定 由題可知，k=o.72N/m , m=2og=o.o2kg , xo=o.o4m , vo= o, 代入公式可得 _ k o.72 , 1 6rad s ,m , o.o2 “2 o2 ” o.o42 2 oQ4m 62 又因?yàn)閤o為正，初速度 因而簡諧運(yùn)動的方程為： vo = o,可得 o x o.o4cos(6t) (m) 例2.已知某質(zhì)點(diǎn)作簡諧運(yùn)動, 振動曲線如圖所示, 試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動表達(dá)式。 解：設(shè)振動表達(dá)式為 x Acos（ t ） 由圖可見：A=2m ,當(dāng)t=o時，有 xo 2 cos Vo 2 sin (1) (2) 由（1）可得 (2)可知sin o,所以只能取 當(dāng)t=1s時, Xi 2 cos 一 4 (3) 由（3）可得 Vi 2 sin (4) 一，由（4） 2 sin o,取 一一,因而 4 2 3 可得 — 4 所以振動方程為 x 2 cos(3 4 (m)