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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 第12章《圓錐曲線》學(xué)案 滬教版 圓錐曲線 第 第一 二定 定義 義 標準方程 的關(guān)系 橢 圓 性質(zhì) 對稱性 焦點 頂點 離心率 準線 焦半徑 直線與橢圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 第 第一 二定 定義 義 標準方程 的關(guān)系 雙曲線 性質(zhì) 對稱性 焦點 頂點 離心率 準線 焦半徑 直線與雙曲線的位置關(guān)系 相交 相切 相離 漸近線 拋物線 定義 標準方程 性質(zhì) 對稱性 焦點 頂點 離心率 準線 焦半徑 直線與拋物線的位置關(guān)系 相交 相切 相離 【知識網(wǎng)絡(luò)】 3．1 橢圓 【考點透視】 一、考綱指要 1．熟練掌握橢圓的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程． 2．考查橢圓的離心率，直線的方程，平面向量的坐標表示，方程思想等數(shù)學(xué)思想方法和綜合解題能力. 二、命題落點 圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，高考中主要出現(xiàn)三種類型的試題：①考查圓錐曲線的概念與性質(zhì)；②求曲線方程和軌跡；③關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，主要考查直線方程,平面向量及橢圓的幾何性質(zhì)等基本知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題以及推理能力. 【典例精析】 例1：（xx全國1）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值． 解析:（1）設(shè)橢圓方程為,則直線AB的方程代入,化簡得． 令,則． 由與共線, 得　　,又， ． 即,所以 ，， 故離心率． （2）由（１）知,所以橢圓可化為 設(shè),由已知得， 在橢圓上,， 即 ① 由（1）知， 又代入①，得． 故為定值,定值為1 ． 例2：（xx上海）如圖，點、分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，． （1）求點P的坐標； （2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值． 解析:（1）由已知可得點A（－6，0），F(xiàn)（4，0） 設(shè)點P的坐標是 ， 由已知得 由于 （2）直線AP的方程是 設(shè)點M的坐標是（m，0），則M到直線AP的距離是， 于是橢圓上的點到點M的距離d，有 由于 例3：（xx福建）已知方向向量為的直線l過點（）和橢圓的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. （1）求橢圓C的方程； O E （2）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由. 解析:（1）直線， ① 過原點垂直的直線方程為， ② 解①②得 ∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③ （2）設(shè)M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 O E M N O E M N 點O到直線MN的距離． 即 即 整理得 當直線m垂直x軸時，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為 或或 【常見誤區(qū)】 解析幾何問題，基本上都與方程思想相結(jié)合，因而要注意直線方程與曲線方程聯(lián)立起來，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有關(guān)方法的練習(xí)、歸納，要注意運算的優(yōu)化，要注意利用數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含性質(zhì),這也是考生思維的一個障礙點. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx廣東) 若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則m= （ ） A． B． C． D． 2．(xx福建) 設(shè)的最小值是 （ ） A． B． C．－3 D． 3．(xx全國3) 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 （　　） A． B． C． 　 D． 4．(xx江蘇) 點在橢圓的左準線上，過點P且方向為的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為 （ ） A． B． C． D． 5．（xx重慶）已知是圓為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為 . 6．如圖所示, 底面直徑為的圓柱被與底面成的平面所截， 其截口是一個橢圓，則這個橢圓的長軸長 ， 短軸長 ，離心率為 ． 7．(xx遼寧) Ｑ y x O P 已知橢圓的左、右焦點分別是 、，是橢圓外的動點，滿足， 點Ｐ是線段與該橢圓的交點，點Ｔ在線段上，并且 滿足． （1）設(shè)為點Ｐ的橫坐標，證明 ； （2）求點Ｔ的軌跡Ｃ的方程； （3）試問：在點Ｔ的軌跡Ｃ上，是否存在點Ｍ，使△的面積．若存在，求∠的正切值；若不存在，請說明理由． 8．(xx湖南) ．已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)＝λ. （1）證明：λ＝1－e2； （2）若，△PF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程； （3）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 9．(xx湖北) 設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （1）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （2）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. 3．2 雙曲線 【考點透視】 一、考綱指要 熟練掌握雙曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)． 二、命題落點 1．考查了圓錐曲線中雙曲線的漸近線方程與準線方程，以及標準方程中a,b,c之間的關(guān)系,兩漸近線間的夾角的求法，如例1. 2．雙曲線的第一、第二定義在解題中的靈活運用,如例2; 3．考查等邊三角形的性質(zhì)，焦點三角形公式及離心率公式，靈活運用焦點三角形公式避免了繁瑣的運算，突出觀察研究能力的考查，如例3. 【典例精析】 例1： (xx湖南) 已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，△OAF的面積為（O為原點），則兩條漸近線的夾角（ ）　 A．30　 B．45　 C．60　 D．90 解析:雙曲線的右焦點F(c,0)，右準線方程為x=,一條漸近線方程為y=x，可得點A的坐標（，），△OAF的面積S△OAF=OF│YA│=c=ab,又題意已知S△OAF=a2,所以a=b,兩條漸近線間的夾角為900 . 答案： D 例2：(xx全國3)已知雙曲線的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且則點M到x軸的距離為 （　?。? A． B． C． D． 解析: 設(shè)M到x軸的距離為h，∵， 又∵， 由雙曲線定義得， 再由，∴. 答案： C 例3：（xx福建）已知F1、F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是( ) A． B． C． D． 解析:令，邊MF1交雙曲線于點N，連結(jié)N易知 答案： D 例4.（xx山東）設(shè)雙曲線的右焦點為，右準線與兩條漸近線交于P、兩點，如果是直角三角形，則雙曲線的離心率. 解析:如圖所示， 且， ,在中， ．　　　① 　?、凇　　、? 將②③代入①式化簡得： 答案: 【常見誤區(qū)】 1．對雙曲線離心率、雙曲線漸近線等基本知識考察時, 應(yīng)想法利用已知曲線構(gòu)造等式,從而解出的比值,即雙曲線的離心率.這一點考生常不能注意到,致使離心率求解出錯,如例3、例4. 2．解題過程中,特別是客觀題中,應(yīng)注意雙曲線第一第二定義的應(yīng)用,此問題考生常會忽視,如例1、例2. 【基礎(chǔ)演練】 1．（xx廣東）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于 （ ） A． B． C．2 D． 4 2． (xx天津) 設(shè)雙曲線以橢圓長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為 （ ） A． B． C． D． 3．平面內(nèi)有兩個定點和一動點，設(shè)命題甲，是定值，命題乙：點的軌跡是雙曲線，則命題甲是命題乙的 （ ） A．充分但不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4．雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率分別為，則應(yīng)滿足的關(guān)系是 （ ?。? A． B． C． D． 5．(xx浙江) 過雙曲線(a＞0，b＞0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_________． 6．(xx江西) 以下幾個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；②設(shè)定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若則動點P的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線與橢圓有相同的焦點.其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號） 7．已知雙曲線的左右焦點分別為，左準線為，能否在雙曲線的左支上求一點，使是到的距離與的等比中項？若能，求出的坐標，若不能，說明理由． 8．過雙曲線的右焦點作雙曲線在第一、第三象限的漸近線的垂線，垂足為， 與雙曲線的左、右支的交點分別為． （1）求證：在雙曲線的右準線上； （2）求雙曲線離心率的取值范圍． 9．是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由． （1）漸近線方程為， （2）點到雙曲線上動點的距離最小值為． 3．3 拋物線 【考點透視】 一、考綱指要 掌握拋物線的定義、標準方程和簡單的幾何性質(zhì)． 二、命題落點 1．考察拋物線過焦點的性質(zhì),如例1; 2．拋物線上張直角問題的探究, 考察拋物線上互相垂直的弦的應(yīng)用，如例2; 3．定值及定點問題是解幾問題研究的重點內(nèi)容,此類問題在各類考試中是一個熱點，如例3. 【典例精析】 例1：(xx全國3) 設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線， （1）當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論； （2）當直線的斜率為2時，求在y軸上截距的取值范圍. 解析:（1）∵拋物線，即，∴， ∴焦點為 （i）直線的斜率不存在時，顯然有=0; （ii）直線的斜率存在時，設(shè)為k， 截距為b, 即直線：y=kx+B． 由已知得： 即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點 所以當且僅當=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F （2）設(shè)在y軸上截距為b， 即直線：y=2x+b，AB：．由得， ∴，且， ∴， ∴． 所以在y軸上截距的取值范圍為 例2：（xx廣東）x y O A B 在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足（如圖所示） （1）求得重心（即三角形三條中線的交點） 的軌跡方程； （2）的面積是否存在最小值？若存在，請求出 最小值；若不存在，請說明理由． 解析:?。?）∵直線的斜率顯然存在， ∴設(shè)直線的方程為， ，依題意得 ，① ∴，②　 ③ ∵，∴，即 ，④ 由③④得，，∴ ∴設(shè)直線的方程為 ∴①可化為 ，∴ ⑤， 設(shè)的重心G為，則 ⑥ ， ⑦， 由⑥⑦得 ，即，這就是的重心的軌跡方程． （2）由弦長公式得 把②⑤代入上式，得 ， 設(shè)點到直線的距離為，則， ∴ ， ∴ 當，有最小值， ∴的面積存在最小值，最小值是 ． 例3：(xx江西) M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB． （1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動點，且∠EMF=90，求△EMF的重心G的軌跡方程. 解析：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(k>0)， 則直線MF的斜率為－k，方程為 ∴由，消， 解得， ∴(定值)． 所以直線EF的斜率為定值． （2）直線ME的方程為 由得 同理可得 設(shè)重心G（x, y），則有 消去參數(shù)得 【常見誤區(qū)】 1．運算正確率太低, 這是考生在解解析幾何問題中常出現(xiàn)的問題, 即會而不對. 2．拋物線中的焦點坐標與準線方程求解過程中常誤求出二倍關(guān)系; 3．定點與定值問題總體思路不能定位,引入?yún)⒆兞窟^多,沒有求簡意識,使問題復(fù)雜化. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx湖北) 雙曲線的離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為 （　　） A． B． C． D． 2． (xx遼寧) 已知雙曲線的中心在原點，離心率為．若它的一條準線與拋物線 的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 （ ） A． B． C． D．21 3．（xx全國1）已知雙曲線的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線的離心率為 （ ） A． B． C． D． 4．(xx江蘇) 拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是（ ） A． B． C． D．0 5．（xx上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線 條. 6． (xx重慶) 連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是 （填寫所有正確選項的序號）. ①菱形 ②有3條邊相等的四邊形 ③梯形 ④平行四邊形 ⑤有一組對角相等的四邊形 7．拋物線以軸為準線，且過點，證明：不論點在坐標平面內(nèi)的位置如何變化，拋物線頂點的軌跡的離心率是定值． 8. 已知拋物線，過動點且斜率為的直線與該拋物線交于不同兩點，， （1）求取值范圍； （2）若線段垂直平分線交軸于點，求面積的最大值 9．(xx北京春,理22)已知動圓過定點P(1,0),且與定直線相切,點C在l上. （1）求動圓圓心的軌跡M的方程； （2）設(shè)過點P,且斜率為－的直線與曲線M相交于A,B兩點. (i)問：△ABC能否為正三角形？若能,求點C的坐標；若不能,說明理由； (ii)當△ABC為鈍角三角形時,求這種點C的縱坐標的取值范圍. 3．4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題； 2．會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變量，將交點問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系及判別式解決問題; 3．能利用弦長公式解決直線與圓錐曲線相交所得的弦長的有關(guān)問題，會運用圓錐曲線的第二定義求焦點弦長； 4．體會“設(shè)而不求”、“方程思想”和“待定系數(shù)”等方法. 二、命題落點 1．考查直線與橢圓相切、直線方程、直線到直線的距離等知識，如例1; 2．考查直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系.處理直線與曲線的位置關(guān)系的一般方法是方程思想:由直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組,通過判別式△確定解的個數(shù)(交點個數(shù)),而直線與圓可以用圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系進行判定,如例2; 3．考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程，兩條直線的夾角、點的坐標等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，如例3. 【典例精析】 例1：(xx山東) 設(shè)直線關(guān)于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 解析:如右圖,根據(jù)題意易得 與關(guān)系O對稱 設(shè)過圓上一點且平行與的直線方程為 聯(lián)立得： 若與橢圓相切則可求得： 即,到的最小距離為　?、? 到的最大距離為　　　　② ，（為P到AB的距離），，． 由①②式可知滿足條件的點有兩個. 答案: B 例2：(xx北京春)若直線mx+ ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點,則m,n滿足的關(guān)系式為_______;以(m,n)為點P的坐標,過點P的一條直線與橢圓的公共點有____個. 解析: ∵直線mx+ny-3=0與圓x2+y2=3沒有公共點,∴>,解得00)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B． （1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍; （2）設(shè)直線l與y軸的交點為P,且求a的值. 8．（xx重慶）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為 （1）求雙曲線C的方程； （2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）. 求k的取值范圍. 9． (xx全國３)設(shè)橢圓的兩個焦點是F1(-c,0)與F2(c,0)(c>0),且橢圓上存在點P,使得直線PF1與直線PF2垂直. （1）求實數(shù)m的取值范圍； （2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點F2的準線,直線PF2與L相交于點Q.若,求直線PF2的方程. 3．5 軌跡方程的求法 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握求軌跡方程的兩種基本方法——直接法和定義法； 2．掌握直接法求軌跡方程的基本步驟; 3．掌握求軌跡方程的另幾種方法——相關(guān)點法（代入法）、參數(shù)法（交軌法）； 4．學(xué)會用適當?shù)膮?shù)去表示動點的軌跡，掌握常見的消參法． 二、命題落點 1．運用向量坐標運算考察軌跡方程的求解，如例1; 2．考查橢圓與拋物線的基礎(chǔ)知識,即標準方程與圖形的基本關(guān)系,同時,考查代數(shù)式的恒等變形及簡單的邏輯推理能力,如例2; 3．考查圓錐曲線的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點坐標公式的應(yīng)用,考查考生的推理能力和運算能力.如例3求直線l的斜率,要充分利用條件“”實施幾何特征向數(shù)量 關(guān)系的轉(zhuǎn)化：首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點坐標問題,但要注意內(nèi)、外分點兩種情形的討論；其次設(shè)直線斜率為k,用k、m表示出Q點的坐標；最后由Q點在橢圓上,列方程即可求解. 【典例精析】 例1：(xx遼寧,6)已知點A(-2,0)、B(3,0),動點P(x,y)滿足,則點P的軌跡是（ ） A．圓　 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 ∵=(x+2,y),=(x-3,y),∴=(x+2)(x-3)+y2=x2,化簡,得y2=x+6. 答案：D 例2：(xx北京春)在同一坐標系中,方程與　的曲線大致是（ ） A B C D 解析:將方程與轉(zhuǎn)化為標準方程：,．因為,因此,所以有：橢圓的焦點在y軸,拋物線的開口向左,得D選項． 答案: D 例3：(xx江蘇)已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是F(-m,0)(m是大于0的常數(shù)). （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)Q是橢圓上的一點,且過點F、Q的直線與y軸交于點M.若,求直線的斜率. 解析：(1)設(shè)所求橢圓方程為(a>b>0).由已知條件,得c=m, ,所以a=2m, b=m, 故所求橢圓方程是. （2）設(shè)Q(x0,y0),直線l:y=k(x+m),則點M(0,km).　當時,由于F(-m,0),M(0,km),由定比分點坐標公式,得 x0=, y0=. 又點Q在橢圓上,∴,解得 k=2. 當時,x0=, y0=. 于是 ,解得 k=0.故直線l的斜率是0或2. 【常見誤區(qū)】 1．曲線的定義是定義法求軌跡方程的關(guān)鍵, 但考生在解題中常忽略定義法求軌跡,致使簡易的軌跡方程求法變得復(fù)雜; 2．軌跡與軌跡方程是不同的概念, 求軌跡時需要將軌跡的方程及具體形狀焦點等位置關(guān)系說清楚,軌跡方程則需要注明一些帶有限制條件的點,或方程求解過程中忽略的一些軌跡,這一點要切記. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx京皖春)到兩個坐標軸距離相等的點的軌跡方程是 （ ） A．x-y=0 B．x+y=0 C．|x|-y=0 D．|x|-|y|=0 2．(xx全國４)已知橢圓的中心在原點,離心率e=,且它的一個焦點與拋物線y2=-4x的焦點重合,則此橢圓方程為 （ ） A． B． C． D． 3．(xx浙江)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是 （ ） A．y2=8-4x 　 B．y2=4x-8 C．y2=16-4x D．y2=4x-16 4．(xx京皖春,3)已知橢圓的焦點是F1,F2,P是橢圓上的一個動點,如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是 （ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 5．(xx成都調(diào)研)在直角坐標系中,到兩個坐標軸的距離之和為定值1的點的軌跡是 . 6．(xx南通三模)設(shè)雙曲線 (a,b＞0)兩焦點為F1、、F2,點Q為雙曲線上除頂點外的任一點,過焦點F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則P點軌跡是 . 7．(xx北京春)已知點A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在 拋物線y2=2px上,△ABC的重心與此拋物線的焦點F重 合(如圖) （1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標; （2）求線段BC中點M的坐標; （3）求BC所在直線的方程. 8．(xx遼寧) 設(shè)橢圓方程為,過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B,O是坐標原點,點P滿足,點N的坐標為,當l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求： （1）動點P的軌跡方程； （2）的最小值與最大值. 9．(xx重慶) 設(shè)是一常數(shù),過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B,以線段AB為直徑作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程. 3．6 圓錐曲線的應(yīng)用 【考點透視】 一、考綱指要 1．會按條件建立目標函數(shù)研究變量的最值問題及變量的取值范圍問題，注意運用“數(shù)形結(jié)合”、“幾何法”求某些量的最值． 2．進一步鞏固用圓錐曲線的定義和性質(zhì)解決有關(guān)應(yīng)用問題的方法． 二、命題落點 1．考查地理位置等特殊背景下圓錐曲線方程的應(yīng)用,修建公路費用問題轉(zhuǎn)化為距離最值問題數(shù)學(xué)模型求解，如例1; 2．考查直線、拋物線等基本知識,考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力，如例2; 3．考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力，如例3. B A Q P C M 東 北 【典例精析】 例1：(xx福建)如圖,B地在A地的正東方向4km處,C地在B地的北偏東300方向2km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km.現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算,從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2a萬元/km,那么修建這兩條公路的總費用最低是（ ） A．(2-2)a萬元 B．5a萬元 B A Q P C M 東 北 E G H D C． (2+1)a萬元 D．(2+3)a萬元 解析:設(shè)總費用為y萬元,則y=aMB+2aMC ∵河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比到B的距離遠2km., ∴曲線PG是雙曲線的一支,B為焦點,且a=1,c=2. 過M作雙曲線的焦點B對應(yīng)的準線l的垂線,垂足為D(如圖).由雙曲線的第二定義,得=e,即MB=2MD． ∴y= a2MD+ 2aMC=2a(MD+MC)≥2aCE.(其中CE是點C到準線l的垂線段). ∵CE=GB+BH=(c-)+BCcos600=(2-)+2=. ∴y≥5a(萬元). 答案:B． 例2：(xx北京,理17)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1，y1),B(x2，y2). （1）求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離; （2）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時, 求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù). 解析:(１)當y=時,x=. 又拋物線y2=2px的準線方程為x=-,由拋物線定義得, 所求距離為. （2）設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB． 由y12=2px1,y02=2px0,相減得:, 故.同理可得, 由PA、PB傾斜角互補知 , 即, 所以, 故. 設(shè)直線AB的斜率為kAB, 由,,相減得 , 所以. 將代入得, 所以kAB是非零常數(shù). 例3：(xx廣東)某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響,正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m,試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/s,相關(guān)各點均在同一平面上) x y O C P A A BN 解析：如圖,以接報中心為原點O,正東、正北方向為x軸、y軸正向,建立直角坐標系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點,則A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020). 設(shè)P(x,y)為巨響發(fā)生點,由A、C同時聽到巨響聲,得|PA|=|PC|, 故P在AC的垂直平分線PO上,PO的方程為y=－x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲,故|PB|－|PA|=3404=1360. 由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上, 依題意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=53402, 故雙曲線方程為.用y=－x代入上式,得x=680, ∵|PB|>|PA|,∴x=-680,y=680,　即P(-680,680),　故PO=680. 答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680 m處. 【常見誤區(qū)】 1．圓錐曲線實際應(yīng)用問題多帶有一定的實際生活背景, 考生在數(shù)學(xué)建模及解模上均不同程度地存在著一定的困難, 回到定義去, 將實際問題與之相互聯(lián)系,靈活轉(zhuǎn)化是解決此類難題的關(guān)鍵; 2．圓錐曲線的定點、定量、定值等問題是隱藏在曲線方程中的固定不變的性質(zhì), 考生往往只能浮于表面分析問題,而不能總結(jié)出其實質(zhì)性的結(jié)論,致使問題研究徘徊不前,此類問題解決需注意可以從特殊到一般去逐步歸納,并設(shè)法推導(dǎo)論證. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx重慶) 若動點（）在曲線上變化，則的最大值為 （ ） A． B． C． D．2 2．(xx全國)設(shè),則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 3．(xx精華教育三模)一個酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分,它 的方程是x2＝2y,y∈[0,10] 在杯內(nèi)放入一個清潔球,要求清潔球能 擦凈酒杯的最底部(如圖),則清潔球的最大半徑為（ ） A． B．1 C． D．2 4． (xx泰州三模)在橢圓上有一點P,F1、F2是橢圓的左右焦點,△F1PF2為直角三角形,則這樣的點P有 （ ） A．2個 B．4個 C．6個 D．8個 5．(xx湖南) 設(shè)F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 . 6．(xx上海) 教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 . 7．(xx浙江)已知雙曲線的中心在原點, 右頂點為A(1,0),點P、Q在雙曲線的右支上, 點M(m,0)到直線AP的距離為1, （1）若直線AP的斜率為k,且|k|[], 求實數(shù)m的取值范圍； （2）當m=+1時,△APQ的內(nèi)心恰好是點M, 求此雙曲線的方程. 8． (xx上海) 如圖, 直線y=x與拋物 線y=x2-4交于A、B兩點, 線段AB的垂直平 分線與直線y=-5交于Q點. （1）求點Q的坐標； （2）當P為拋物線上位于線段AB下方 (含A、B) 的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值. 9．(xx北京春) 2003年10月15日9時,“神舟”五號載人飛船發(fā)射升空,于9時9分50秒準確進入預(yù)定軌道,開始巡天飛行.該軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓.選取坐標系如圖所示,橢圓中心在原點.近地點A距地面200km,遠地點B距地面350km.已知地球半徑R＝6371km. （1）求飛船飛行的橢圓軌道的方程; （2）飛船繞地球飛行了十四圈后,于16日5時59分返回艙與推進艙分離,結(jié)束巡天飛行,飛船共巡天飛行了約,問飛船巡 天飛行的平均速度是多少km/s？(結(jié)果精確 到1km/s)(注:km/s即千米/秒) 本章測試題 一、選擇題（每小題5分，共60分．） 1．如果三點在同一條直線上，那么的值是 （　　） A．－6 B．－7 C．－8 D．－9 2．有5輛6噸的汽車和4輛4噸的汽車，要運送最多貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標 函數(shù)是 （　?。? A． B． C． D． 3．曲線與曲線一定有 （　　） A．相等的長軸 B．相等的焦距 C．相等的離心率 D．相同的準線 4．將直線繞著它與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)的角后，在軸上的截距是 （　　） A． B． C． D． 5．在同一坐標系中，方程的曲線大致是 （ 　 ） 6．雙曲線的漸近線為,且過點,則此雙曲線的共軛雙曲線的方程為 （　 ） A． B． C． D． 7．已知直線相切，則三條邊長分別為的三角形 （　?。? A．是銳角三角形 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在 8．一動圓圓心在拋物線上,且動圓恒與直線相切,則動圓必過定點（　 ） A． B． C． D． 9．翰林匯已知,直線：，直線： ，與的位置關(guān)系是 （　?。? A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 10．橢圓的兩個焦點三等分它的兩條準線間的距離，那么它的離心率是 （　?。? A． B． C． D． 11．已知拋物線的焦點弦的兩端點為,,則式子 的值一定等于 （　?。? A． B． C． D． 12．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為直線與其相交于M、N兩點， MN中點的橫坐標為則此雙曲線的方程是 （　?。? A． B． C． D． 二、填空題（每小題4分，共16分．） 13．拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線 上，則此拋物線方程為__________________. 14．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點， 點P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則 的值是 . 15．若直線沿軸負方向平移3個單位，再沿軸正方向平移一個單位后，又回到原來的位置，那么直線的斜率為. 16．給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距 離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學(xué)生的解答如下： 雙曲線的實軸長為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi). ___________________________________________________________________________. 三、解答題（本題共74分．） 17．（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點為和，直線是橢圓的一條準線. （1）求橢圓的方程； （2）又設(shè)在此橢圓上，且，求的值. 18．（本小題滿分12分）已知圓， （1）若為圓上任一點，，求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值. 19．（本小題滿分12分）已知點、，為坐標原點. （1）若點在線段上，且，求的面積； （2）若原點關(guān)于直線的對稱點為，延長到，且.已知直線：經(jīng)過點，求直線的傾斜角. 20．（本小題滿分12分）如圖，為拋物線的焦點，為拋物線內(nèi)一定點，為拋物線上一動點，且的最小值為8. （1）求該拋物線方程； P （2）如果過的直線交拋物線于、兩點， A 且，求直線傾斜角的取值范圍. O F 21．（本題滿分1２分） 如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀. （1）若最大拱高為6米，則隧道設(shè)計的拱 寬是多少？ （2）若最大拱高不小于6米，則應(yīng)如何設(shè) 計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的 土方工程量最小？ （半個橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.） 22．（本題滿分14分）在以為原點的直角坐標系中，點為的直角頂點.已知，且點的縱坐標大于零. （1）求向量的坐標； （2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程； （3）是否存在實數(shù)，使拋物線上總有關(guān)于直線對稱的兩個點？若不存 在，說明理由：若存在，求的取值范圍. 參考答案 3．1 橢圓 1. B 2. C 3. D 4. A 5. 6. 7. Ｑ y x O P （1）設(shè)點P的坐標為 由P在橢圓上，得 由，所以 （2）設(shè)點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上. 當|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是 ③ ④ （3）C上存在點M（）使S=的充要條件是 由④得 上式代入③得 于是，當時，存在點M，使S=；當時，不存在滿足條件的點M. 當時，記，由知 ，所以 8. （1）因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別 . 所以點M的坐標是（）. 由 即 （2）當時，，所以 由△MF1F2的周長為6，得所以 橢圓方程為 （3） 因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點F1到l的距離為d，由得 所以即當△PF1F2為等腰三角形. 9. （1）依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得 ① 設(shè)①的兩個不同的根， ②　是線段AB的中點，得解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為 （2）代入橢圓方程，整理得 ③ ③的兩根， 于是由弦長公式可得 ④ 將直線AB的方程 ⑤ 同理可得 ⑥ 假設(shè)在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上. 3．2 雙曲線 1.C 2. C 3. B 4. D 5. 2 6. ③④ 7. ∵雙曲線中，，∴，設(shè)滿足條件，則，得， ，與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾．不存在滿足條件的點． 8. 雙曲線在第一、第三象限的漸近線方程為： ① 設(shè)方程為．∵在上，∴， 方程為 ②， 聯(lián)立①②得，即在雙曲線的右準線上． （2）由，得， 與雙曲線的左、右支的交點分別為， ， ，，∴，∴． 9. 由雙曲線漸近線方程設(shè)雙曲線方程為，∴，設(shè)， ∵， 當時，有，當時，有， ①當時，，，， ②當時，，，無解， ③當時，，，， 所求雙曲線方程為． 3．3 拋物線 1. A 2. B 3. D 4. B 5. 有且僅有兩條 6. ②③⑤ 7. 設(shè)拋物線的焦點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義可知，點到點 的距離等于點到軸的距離，則① 又設(shè)拋物線頂點的坐標為，∵為線段的中點，則, 代入①得， 即拋物線的頂點的軌跡方程為：， ∵，∴拋物線頂點的軌跡是橢圓，其中長半軸長為，短半軸長為， 則半焦距，所以它的離心率為定值. 8. （1）由題知的方程為，設(shè)， 由，得， ∴，得， ∵， ∴，， 得，∴取值范圍． （2）的中點，∴線段垂直平分線方程：， ∴， ， 當時面積的最大值． 9. (1)依題意,曲線M是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線,所以曲線M的方程為. (2)(i)由題意得,直線AB的方程為 消y得 所以A點坐標為,B點坐標為(3,), 假設(shè)存在點C(－1,y),使△ABC為正三角形, 則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|, 即 由①－②得 但不符合①,所以由①,②組成的方程組無解. 因此,直線l上不存在點C,使得△ABC是正三角形. (ii)設(shè)C(－1,y)使△ABC成鈍角三角形,由, 即當點C的坐標為(－1,)時,A,B,C三點共線,故. 又, , . 當,即,即為鈍角. 當,即,即為鈍角.又 ,即 ,即 . 該不等式無解,所以∠ACB不可能為鈍角. 因此,當△ABC為鈍角三角形時,點C的縱坐標y的取值范圍是. 3．4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1. C 2. C 3. B 4. A 5. (-∞,-) 6. [-1,3] 7. (1)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組 有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得 (1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ① 雙曲線的離心率 （2）設(shè) 由于x1，x2都是方程①的根， 且1-a2≠0, 8. （1）設(shè)雙曲線方程為 由已知得 故雙曲線C的方程為 （2）將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得 即 ① 設(shè)，則 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范圍為 9. (1)由題設(shè)有m>0,c=.設(shè)點P的坐標為(x0,y0),由PF1⊥PF2,得 化簡得 x02+y02=m. ①; 將①與聯(lián)立,解得由 所以m的取值范圍是m≥1. (2)準線L的方程為設(shè)點Q的坐標為(x1,y1),則 ∴ ② 將 代入②,化簡得 由題設(shè),得 , 無解. 將 代入②，化簡得 由題設(shè),得 . 解得m=2. 從而,得到PF2的方程 3．5 軌跡方程的求法 1. D 2. A 3. C 4. A 5. 正方形 6. 圓的一部分 7. (1)由點A(2,8)在拋物線上,有 解得 所以拋物線方程為,焦點F的坐標為(8,0) (2)如圖,由F(8,0)是的重心,M是BC的中點,所以F是線段AM的定比分點,且，設(shè)點M的坐標為,則． 解得,所以點M的坐標為． (3)由于線段BC的中點M不在x軸上,所以BC所在的直線不垂直于x軸. 設(shè)BC所成直線的方程為 由消x得 所以. 由(２)的結(jié)論得, 解得. 因此BC所在直線的方程為 ,即. 8. (1)直線l過點M(0,1)設(shè)其斜率為k,則l的方程為記、由題設(shè)可得點A、B的坐標、是方程組 的解. 將①代入②并化簡得,,所以于是＝＝．設(shè)點P的坐標為則消去參數(shù)k得 ③ 當k不存在時,A、B中點為坐標原點(0,0),也滿足方程③,所以點P的軌跡方程為 (2)由點P的軌跡方程知所以＝＝ ＝,故當,取得最小值,最小值為時,取得最大值,最大值為 9. 由題意,直線AB不能是水平線, 故可設(shè)直線方程為：. 又設(shè),則其坐標滿足 消去x得 , 由此得, 因此. 即OA⊥OB． 故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H()是AB的中點, 故, 由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且. 從而當k=0時,圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小. 此時,直線AB的方程為：x=2p. 8．6 圓錐曲線的應(yīng)用 1. A 2. D 3. B 4. A 5. 6. 用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)． 7. (1)由條件得直線AP的方程即 因為點M到直線AP的距離為1, ∴ 即. ∵∴ 解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-. ∴m的取值范圍是 (2)可設(shè)雙曲線方程為由得.又因為M是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此,(不妨設(shè)P在第一象限)直線PQ方程為.直線AP的方程y=x-1,∴解得P的坐標是(2+,1+),將P點坐標代入得,,所以所求雙曲線方程為 即 8. ⑴解方程組,得或,即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).由kAB=,直線AB的垂直平分線方程y－1=-2(x－2).令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)P(x, x2－4).∵點P到直線OQ的距離d==, ,∴SΔOPQ＝＝.∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上, ∴－4≤x<4－4或4－40,得v=8,故=（6，8）. （2）由=（10，5），得B（10，5），于是直線OB方程： 由條件可知圓的標準方程為：(x－3)2+(y+1)2=10, 得圓心（3，－1），半徑為.設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x ,y）則 故所求圓的方程為(x－1)2+(y－3)2=10. （3）設(shè)P (x1,y1), Q (