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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 《數(shù)學(xué)歸納法解題》教案 滬教版 教學(xué)目標(biāo) 1.了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3.抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) （一）引入 師：從今天開始，我們來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢?應(yīng)該從認(rèn)識(shí)什么是歸納法 開始． （板書課題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法） （二）什么是歸納法（板書） 師：請(qǐng)看下面幾個(gè)問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)．問題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請(qǐng)問怎么辦? （可準(zhǔn)備一袋白球．問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好） 生：把它例出來(lái)看一看就可以了． 師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做? 生：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)． 師：對(duì)．問題的結(jié)果是什么呢? （演示操作過(guò)程） 第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，……，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白 球． 問題2：在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先計(jì)算a2，a3，a4的值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出） 生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）． 師：同學(xué)們解決以上兩個(gè)問題用的都是歸納法，你能說(shuō)說(shuō)什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn) 嗎? 生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點(diǎn)是由特殊 一般（板書）． 師：很好!其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們?cè)缇徒佑|到了．例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它 的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué) 習(xí)還會(huì)看到歸納法的運(yùn)用． 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史 資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法． 還應(yīng)該指出，問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個(gè)球，全看了， 由此而得了結(jié)論．這種把研究對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對(duì)于問題2，由于自然有無(wú)數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測(cè)，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法． （三）歸納法的認(rèn)識(shí)（板書） 歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）． 師；用不完全歸納法既然要推測(cè)，推測(cè)是要有點(diǎn)勇氣的，請(qǐng)大家鼓起勇氣研究問題3． 問題3：對(duì)于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大?。▎栴}由小黑板或投影幻燈片給 出） （給學(xué)生一定的計(jì)算、思考時(shí)間） 生：經(jīng)過(guò)計(jì)算，我的結(jié)論是：對(duì)任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）． 師：你計(jì)算了幾個(gè)數(shù)得到的結(jié)論? 生：4個(gè)． 師：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4這4個(gè)數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧? 生：對(duì)． 師：有沒有不同意見? 生：我驗(yàn)了n＝8，這時(shí)有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對(duì)吧! 師：那你的結(jié)論是什么呢? （動(dòng)員大家思考，糾正） 生：我的結(jié)論是： 當(dāng)n＝1，2，3，4，5時(shí)，7n-3＜6（7n+9）； 當(dāng)n＝6，7，8，…時(shí)，7n-3＞6（7n+9）． 師：由以上的研究過(guò)程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)? 首先要仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)，就作推測(cè)．請(qǐng)把你們計(jì)算結(jié)果填入下表 內(nèi)： 師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測(cè)，決不是亂猜．要注意對(duì)數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析．由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，…變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加，而6（7n+9） 相應(yīng)值的增長(zhǎng)速度還不到2倍．完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-3＞6（7n+9）會(huì)成立的． 師：對(duì)問題3推測(cè)有誤的同學(xué)完全不必過(guò)于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了．其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，一 些世界級(jí)的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過(guò)失誤． 資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀） 費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對(duì)微積分的創(chuàng)立 作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的的創(chuàng)始者之一，他對(duì)數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)． 但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N+時(shí)， +1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對(duì)n＝0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的． 18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了+1＝4 294 967 297＝6 700 417641 ，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)． 師：有的同學(xué)說(shuō)，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢?今天我們是無(wú)法回答的．但是要告訴同學(xué) 們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上! 再請(qǐng)看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料（仍由學(xué)生閱讀）： 資料2 f（n）＝n2+n+41,當(dāng)n∈N+時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)? f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61, f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131, f（10）＝151，… f（39）＝1 601． 但f（40）＝1 681＝412是合數(shù)． 師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行!我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說(shuō)世界級(jí)大師還出錯(cuò) ，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說(shuō)歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原 因，并研究出對(duì)策來(lái)師：歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢? 生：完全歸納法不會(huì)出錯(cuò)． 師：對(duì)!但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會(huì)出錯(cuò)呢? 生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測(cè)的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢? 生：應(yīng)該予以證明． 師：大家同意吧?對(duì)于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn) ，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對(duì)于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明． （四）歸納與證明（板書） 師：怎么證明呢?請(qǐng)結(jié)合以下問題1思考． 生：?jiǎn)栴}1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了． 師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱這種 證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想． 師：如果這里不是12個(gè)球，而是無(wú)數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那 么怎么證明呢? （稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來(lái)） 師：這類問題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個(gè)正式 研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明． 結(jié)合問題1來(lái)說(shuō)，他首先確 定第一次拿出來(lái)的是白球． 然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來(lái)的是白球”，結(jié)論是“下 一次拿出來(lái)的也是白球”． 這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性． 大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢? 生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第 四次、……拿出的都是白球． 師：對(duì)．它使一個(gè)原來(lái)無(wú)法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明． 生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來(lái)嗎? 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會(huì)倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲． （有條件可放一段此種游戲的錄相） 師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠?jī)蓷l： （1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒； （2）第一張牌被推倒． 用這種思想設(shè)計(jì)出來(lái)的，用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué) 歸納法． （五）數(shù)學(xué)歸納法（板書） 師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上推測(cè)問題而得的命題，應(yīng)該證明什么呢? 生：先證n＝1時(shí)，公式成立（第一步）； 再證明：若對(duì)某個(gè)自然數(shù)（n＝k）公式成立，則對(duì)下一個(gè)自然數(shù)（n＝k+1）公式也成立（第 二步）． 師：這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎?請(qǐng)先證明第一步． 生：當(dāng)n＝1時(shí)，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此時(shí)公式成立． （應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)） 師：再證明第二步．先明確要證明什么? 生：設(shè)n＝k時(shí)，公式成立，即ak＝．以此為條件來(lái)證明n＝k+1時(shí)，公式也成立，即ak+1＝也成立．師：應(yīng)注意，這里是證明遞推關(guān)系成立，證明ak+1＝成立時(shí)，必須用到ak＝這個(gè)條件 生：依已知條件，ak+1＝． 師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行的證明的基本要求． 師：請(qǐng)小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說(shuō)，教師板書）： （1）n＝1時(shí)，命題成立； （2）設(shè)n＝k時(shí)命題成立，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，命題也成立． 師：其實(shí)第一步一般來(lái)說(shuō)，是證明開頭者命題成立．例如，對(duì)于問題3推測(cè)得的命題：當(dāng)n＝6，7，8，…時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．第一步應(yīng)證明n＝6時(shí)，不等式成立． （若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無(wú)時(shí)間可布置學(xué)生課下思考） （六）小結(jié) 師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下： （1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法． （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種． （3）由于不完全歸納法中推測(cè)所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸 納法進(jìn)行． （4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必 須是二步． 數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí)． （七）課外作業(yè) （1）閱讀課本 （2）書面作業(yè)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 1.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡(jiǎn)單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對(duì)方法作簡(jiǎn)單的灌輸，學(xué)生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢?于是教師反復(fù)舉例，說(shuō)明二步缺一不可．你怎么知道n＝k時(shí)命題成立呢?教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來(lái)的問題，等等．為此，我們?cè)O(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對(duì)歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來(lái)．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)． 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過(guò)程分二個(gè)階段，第一階段從對(duì)歸納法的認(rèn)識(shí)開始，到對(duì)不完全歸納法的 認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對(duì)策醞釀，從介紹遞 推思想開始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束． 把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對(duì)理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來(lái)指導(dǎo)意義 ，也是在教學(xué)過(guò)程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試． 2.在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng) 學(xué)生對(duì)教學(xué)過(guò)程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引 導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求， 讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來(lái)，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分 明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究?jī)?nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用 已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究． 3.理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n＝k+1命題成立時(shí)必須用到n ＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件． 例如用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n∈N+）時(shí)，其中第二步采用下 面證法： 設(shè)n＝k時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)n＝k+1時(shí)， ， 即n＝k+1時(shí)等式也成立． 這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n＝k，n＝k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n＝k時(shí)命題成立作為條件能否保證n＝k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為 以下理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過(guò)程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維 方向．