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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點難點講解 三個“二次”及關(guān)系教案 舊人教版 三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān).本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法. ●難點磁場 已知對于x的所有實數(shù)值，二次函數(shù)f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程=|a－1|+2的根的取值范圍. ●案例探究 ［例1］已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B； (2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍. 命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運用能力.屬于★★★★★題目. 知識依托：解答本題的閃光點是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合. 錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”. 技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化. (1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0 Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點. (2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=. |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－) ∵的對稱軸方程是. ∈(－2,－)時，為減函數(shù) ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(). ［例2］已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍. (2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍. 命題意圖：本題重點考查方程的根的分布問題，屬★★★★級題目. 知識依托：解答本題的閃光點是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義. 錯解分析：用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進行限制時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點. 技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制. 解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得 ∴. (2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組 (這里0<－m<1是因為對稱軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過) ●錦囊妙計 1.二次函數(shù)的基本性質(zhì) (1)二次函數(shù)的三種表示法： y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n. (2)當(dāng)a>0,f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q). 若－0時，f(α) |β+|; (3)當(dāng)a>0時，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立或 (4)f(x)>0恒成立 ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是( ) A.(－∞,2 B.－2,2 C.(－2,2 D.(－∞,－2) 2.(★★★★)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m－1)的值為( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非負(fù)數(shù) D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能 二、填空題 3.(★★★★★)已知二次函數(shù)f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在區(qū)間［－1，1］內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是_________. 4.(★★★★★)二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為正，且對任意實數(shù)x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表達式； (2)若x∈(0,2時，y有最小值8，求a和x的值. 6.(★★★★)如果二次函數(shù)y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍. 7.(★★★★★)二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證： (1)pf()<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解. 8.(★★★★)一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元. (1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？ (2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？ 參考答案 難點磁場 解：由條件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2 (1)當(dāng)－≤a＜1時，原方程化為：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－)2+. ∴a=－時，xmin=,a=時，xmax=. ∴≤x≤. (2)當(dāng)1≤a≤2時，x=a2+3a+2=(a+)2－ ∴當(dāng)a=1時，xmin=6,當(dāng)a=2時，xmax=12,∴6≤x≤12. 綜上所述,≤x≤12. 殲滅難點訓(xùn)練 一、1.解析：當(dāng)a－2=0即a=2時,不等式為－4＜0,恒成立.∴a=2,當(dāng)a－2≠0時，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2. 答案：C 2.解析：∵f(x)=x2－x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1), ∴m－1＜0,∴f(m－1)>0. 答案：A 二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ). 答案：(－3，） 4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小， ∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0. 答案：－2＜x＜0 三、5.解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta 由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=, ∴l(xiāng)ogay=x2－3x+3，即y=a (x≠0). (2)令u=x2－3x+3=(x－)2+ (x≠0),則y=au ①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8， 則u=(x－)2+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值. ②若a>1,要使y=au有最小值8，則u=(x－)2+,x∈(0,2應(yīng)有最小值 ∴當(dāng)x=時，umin=,ymin= 由=8得a=16.∴所求a=16,x=. 6.解：∵f(0)=1>0 (1)當(dāng)m＜0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意. (2）當(dāng)m>0時，則解得0＜m≤1 綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}. 7.證明：(1) ,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0. (2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r ①當(dāng)p＜0時，由(1）知f()＜0 若r>0,則f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解; 若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0, 又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解. ②當(dāng)p＜0時同理可證. 8.解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得 y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500 由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300 ∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45 ∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元. (2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5 ∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元， ∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.