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2019-2020 年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第七講第一節(jié)選擇題的解題策略 （1） 文 高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種思想方法，體現(xiàn)以考查 “三基”為重點的導(dǎo)向，題量一般為 10 到 12 個，能否在選擇題上獲取高分，對高考數(shù)學(xué)成 績影響重大.解答選擇題的基本要求是四個字——準(zhǔn)確、迅速. 選擇題主要考查基礎(chǔ)知識的理解、接本技能的熟練、基本運算的準(zhǔn)確、基本方法的運用、 考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面.解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設(shè)和選 項兩方面提供的信息作出判斷.一般說來，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量計算；能 使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；對于明顯可以否定的選項應(yīng)及早排除，以縮小選 擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選最簡單解法等.解題時應(yīng)仔細審題、深入分析、 正確推理、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗，確保準(zhǔn)確. 解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分為直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基 本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許， 甚至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法. 填空題是將一個數(shù)學(xué)真命題，寫成其中缺少一些語句的不完整形式，要求學(xué)生在指定空 位上將缺少的語句填寫清楚、準(zhǔn)確. 它是一個不完整的陳述句形式，填寫的可以是一個詞語、 數(shù)字、符號、數(shù)學(xué)語句等. 填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟知 的題目或基本題型. 填空題不需過程，不設(shè)中間分值，更易失分，因而在解答過程中應(yīng)力求 準(zhǔn)確無誤. 根據(jù)填空時所填寫的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類型： 一是定量型，要求考生填寫數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式解集、函數(shù) 的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等. 由于填空題和選擇題相比， 缺少選擇的信息，所以高考題多數(shù)是以定量型問題出現(xiàn). 二是定性型，要求填寫的是具有某種性質(zhì)的對象或者填寫給定數(shù)學(xué)對象的某種性質(zhì)，如： 給定二次曲線的焦點坐標(biāo)、離心率等等. 近幾年出現(xiàn)了定性型的具有多重選擇性的填空題. 填空題缺少選擇的信息，故解答題的求解思路可以原封不動地移植到填空題上. 但填空 題既不用說明理由，又無需書寫過程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時也適合于填空題. 填空題雖題小，但跨度大，覆蓋面廣，形式靈活，可以有目的、和諧地結(jié)合一些問題， 突出訓(xùn)練學(xué)生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活地運用知識的能力和基本運算能力，突出以圖助算、 列表分析、精算與估算相結(jié)合等計算能力. 想要又快又準(zhǔn)地答好填空題，除直接推理計算外， 還要講究一些解題策略，盡量避開常規(guī)解法. 解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求比解答題更高、更嚴(yán) 格. 《 考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”. 為此在解填空 題時要做到：快——運算要快，力戒小題大作；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；全——答 案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意. 第一節(jié) 選擇題的解題策略（1） 【解法一】直接法： 直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的推 理和準(zhǔn)確的運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出選項“對號入座” ，作出相應(yīng) 的選擇. 涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法. 例 1 雙曲線方程為，則它的右焦點坐標(biāo)為 （ ） A. B. C. D. 點撥：此題是有關(guān)圓錐曲線的基礎(chǔ)題，將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)的關(guān)系求出，繼 而求出右焦點的坐標(biāo). 解：，所以右焦點坐標(biāo)為，答案選 C. 易錯點：（1）忽視雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，錯誤認(rèn)為；（2）混淆橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的關(guān)系，在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中. 例 2 閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 點撥：此題是程序框圖與數(shù)列求和的簡單綜合題. 解：由程序框圖可知，該框圖的功能是輸出使和 12321iS????????? 時的的值加 1，因為， ，所以當(dāng)時，計算到故輸出的是 4，答案選 C. 易錯點：沒有注意到的位置，錯解.實際上 使得后加 1 再 輸出，所以輸出的是 4. 變式與引申： 根據(jù)所示的程序框圖（其中表示不大于的最大整數(shù)） ，輸出（ ）. A. B. C.2 D. 例 3 正方體-中，與平面所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 點撥：此題考查立體幾何線面角的求解.通過平行直線與同一 平面所成角相等的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化后，只需求點到面的距離. 解：因為∥,所以與平面所成角和與平面所 成角相等,設(shè)⊥平面，由等體積法得, 即 .設(shè)=,則1 133ACDACDSOS????? ,.1 22 21 31sin60(),2 ACDaSa?????A 所以 記與平面所成角為,1 32ACDS??? 則,所以,故答案選 D. 易錯點：考慮直接找與平面所成角，沒有注意到角的轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致思路受阻. 點評：直接法是解答選擇題最常用的基本方法.直接法適用的范圍很廣，只要運算正確必 能得出正確的答案.平時練習(xí)中應(yīng)不斷提高直接法解選擇題的能力.準(zhǔn)確把握題目的特點，用 簡便的方法巧解選擇題，是建立在扎實掌握“三基”的基礎(chǔ)上，否則一味求快則會快中出錯. 【解法二】 特例法： 用特殊值代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判 斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等. 例 4：在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知△ABC 的頂點 A(－4，0) 和 C(4，0)，且頂點 B 在橢 圓上，則（ ） A. B. C.1 D. 點撥：此題是橢圓性質(zhì)與三角形的簡單綜合題，可根據(jù)性質(zhì)直接求解，但正弦定理的使用不 易想到，可根據(jù)性質(zhì)用取特殊值的方法求解. 解：根據(jù) B 在橢圓上，令 B 在短軸頂點處，即可得答案選 A. 例 5 已知函數(shù)= 若均不相等，且，則的取值范圍是 lg,01162xx????????? （ ） A.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24) 點撥：此題是函數(shù)綜合題，涉及分段函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，函數(shù)圖像變換，可結(jié)合圖像，利用方 程與函數(shù)的思想直接求解，但變量多，關(guān)系復(fù)雜，直接求解較繁，采用特例法卻可以很快得 出答案. 解：不妨設(shè)，取特例，如取，則易得，從而，故答案選 C． 另解：不妨設(shè)，則由，再根據(jù)圖像易得.實際上中較小的兩個數(shù)互為倒數(shù). 例 6 記實數(shù)…中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知的三邊邊長為、 、 （）,定義它的傾斜度為 ，則“”是“為等邊三角形”的（ ）max{,}in{,}bcabct?? A. 充分布不必要的條件 B.必要而不充分的條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要的條件 點撥：此題引入新定義，需根據(jù)新信息進行解題，必要性容易判斷. 解：若△為等邊三角形時 、 即，則 則 t=1；若△為等腰三max{,}1in{,}bcabc? 角形，如時，則 ，此時 t=1 仍成立但△不為等邊三角形, 32max,,in,23bcabc?????????????? 所以答案選 B. 點評：當(dāng)正確的選擇對象在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值（取的越簡單越好）進 行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是 解答本類選擇題的最佳策略. 【解法三】 排除法： 充分運用選擇題中單選的特征（即有且只有一個正確選項） ，通過分析、推理、計算、 判斷，逐一排除，最終達到目的. 例 7 下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 點撥：此題考查三角函數(shù)的周期和單調(diào)性. 解：C、D 中函數(shù)周期為 2，所以錯誤.當(dāng)時， ，函數(shù)為減函數(shù),而函數(shù)為增函數(shù)，所以答案選 A. 例 8 函數(shù)的圖像大致是（ ） 點撥：此題考查函數(shù)圖像，需要結(jié)合函數(shù)特點進行分析,考慮觀察零點. 解：因為當(dāng) 2 或 4 時， ，所以排除 B、C；當(dāng)-2 時， ，故排除 D，所以答案選 A. 易錯點：易利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性不清導(dǎo)致錯誤. 例 9 設(shè)函數(shù) ， 若, 則實數(shù)的取值范圍是（ ）?? 21log0()xfx???????? A. B. C. D. 點撥：此題是分段函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，解不等式的綜合題，需要結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，對數(shù)運算性 質(zhì)進行分析，分類討論，解對數(shù)不等式，運算較復(fù)雜，運用排除法較易得出答案. 解：取驗證滿足題意，排除 A、D. 取驗證不滿足題意, 排除 B.所以答案選 C. 易錯點：直接求解利用函數(shù)解析時，若忽略自變量應(yīng)符合相應(yīng)的范圍，易解錯 點評：排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根 據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選項范圍 內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選 擇題, 尤其是選項為范圍的選擇題的常用方法. 【解法四】 驗證法： 將選項中給出的答案代入題干逐一檢驗，從而確定正確答案. 例 10 將函數(shù)的圖像向左平移個單位.若所得圖像與原圖像重合，則的值不可能等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.12 點撥：此題考查三角函數(shù)圖像變換及誘導(dǎo)公式，的值有很多可能，用驗證較易得出答案. 解：逐項代入驗證即可得答案選 B. 實際上，函數(shù)的圖像向左平移個單位所得函數(shù)為 ()sin[()]2fx?????? ，此函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像重合，即，于是為 4 的倍數(shù). 易錯點：的圖像向左平移個單位所得函數(shù)解析式，應(yīng)將原解析式中的變?yōu)?，圖像左右平移或 軸的伸縮變換均只對產(chǎn)生影響，其中平移符合左加右減原則，這一點需要對圖像變換有深刻 的理解. 例 11 設(shè)數(shù)列中， ， 則通項是（ ） A． B． C． D． 點撥：此題考查數(shù)列的通項公式，直接求，不好求，宜用驗證法. 解：把代入遞推公式得：，再把各項逐一代入驗證可知，答案選 D. 易錯點：利用遞推公式直接推導(dǎo)，運算量大，不容易求解. 例 12 下列雙曲線中離心率為的是（ ） A. B. C. D. 點撥：此題考查雙曲線的性質(zhì)，沒有確定形式，只能根據(jù)選項驗證得出答案. 解：依據(jù)雙曲線的離心率，逐一驗證可知選 B. 易錯點：雙曲線中，與橢圓中混淆，錯選 D. 變式與引申：下列曲線中離心率為的是（ ） A. B. C. D. 答案：選 B 點評：驗證法適用于題設(shè)復(fù)雜，但結(jié)論簡單的選擇題. 若能根據(jù)題意確定代入順序則能 較大提高解題速度. 習(xí)題 7-1 1. 已知直線與直線平行， ，則是的 A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 2．某人要制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，則此人能（ ） A.不能作出這樣的三角形 B.作出一個銳角三角形 C.作出一個直角三角形 D.作出一個鈍角三角形 3.設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項、前項、與前項和分別為，則下列等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 4.定義在 R 上的奇函數(shù)為減函數(shù)，設(shè)，給出下列不等式：①；②；③ ④ ，其()()fabfafb????()()fabfafb???? 中正確的不等序號是（ ） A.①②④ B.①④ C.②③ D.①③ 5.如圖，在棱柱的側(cè)棱和上各有一動點滿足，過三點的截面把棱柱分成 兩部分，則其體積之比為（ ） A.3：1 B.2：1 C.4：1 D. 6.已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓 C 的方程為（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A．向右平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向左平移個單位 【答案】 習(xí)題 7-1 3. D. 提示：法一：（直接法）設(shè)等比數(shù)列公比為則 2,nnnYXqZXq??????? 即.2,nnYXqXZq?????? 法二：（特例法）取等比數(shù)列,令得代入驗算、只有選項 D 滿足. 4. B. 提示：法一：（直接法）根據(jù)為奇函數(shù)知 ， 由知()=(,)=(fafbf?? ， ，再根據(jù)為減函數(shù)可得 ，故①④正確.(),fab? 法二：（特例法）取，逐項檢驗可得. 5.B.