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2019-2020 年高中數(shù)學 拋物線與圓錐曲線的統(tǒng)一定義知識精講 理 蘇教 版選修 2-1 【本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 拋物線與圓錐曲線的統(tǒng)一定義 二、本周教學目標： 1、掌握拋物線的標準方程，能根據(jù)已知條件求拋物線的標準方程。 2、掌握拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，能根據(jù)拋物線方程解決簡單的應用問題。 3、了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線的準線方程的方法。 4、了解曲線方程的概念，能根據(jù)曲線方程的概念解決一些簡單的問題。 三、本周知識要點： （一）拋物線 1、拋物線定義： 平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線定點 F 叫做拋物 線的焦點，定直線叫做拋物線的準線 圖 形 x yOlyl 方 程 焦 點 準 線 不同點：（1）圖形關(guān)于 x 軸對稱時，x 為一次項，y 為二次項，方程右端為、左端為； 圖形關(guān)于 y 軸對稱時，x 為二次項，y 為一次項，方程右端為，左端為（2）開口方向在 x 軸（或 y 軸）正向時，焦點在 x 軸（或 y 軸）的正半軸上，方程右端取正號；開口在 x 軸 （或 y 軸）負向時，焦點在 x 軸（或 y 軸）負半軸時，方程右端取負號 2、拋物線的幾何性質(zhì) （1）范圍 因為 p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點 M 的坐標（x，y）滿足不等式 x≥0，所以 這條拋物線在 y 軸的右側(cè)；當 x 的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方 無限延伸． （2）對稱性 以－y 代 y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋 物線的軸． （3）頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當 y=0 時，x=0，因此拋物線的 xyOl 頂點就是坐標原點． （4）離心率 拋物線上的點 M 與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用 e 表 示．由拋物線的定義可知，e=1． （二）圓錐曲線的統(tǒng)一定義 1、橢圓的第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內(nèi)的常數(shù)， 那么這個點的軌跡叫做橢圓 其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數(shù)就是離心率 橢圓的準線方程：橢圓的準線方程有兩條，這兩條準線在橢圓外部，與短軸平行，且 關(guān)于短軸對稱 對于，左準線；右準線 對于，下準線；上準線 K2F2F1N1K1 N2P B2B1 A2A1 xO y K2F 2F 1 N1K1 N2P B2B1A2A1 xO y 2、雙曲線的第二定義：一動點到定點 F 的距離與到一條定直線的距離之比是一個內(nèi)的常 數(shù)，那么這個點的軌跡叫做雙曲線 其中定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準 線常數(shù) e 是雙曲線的離心率 準線方程： A2A1 F2F1 xOy A2A1F2F1 xOy 對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線； 對于來說，相對于上焦點對應著上準線；相對于下焦點對應著下準線 三、曲線與方程 1、曲線方程 在直角坐標系中，如果某曲線 C 上的點的坐標都是這個方程的解且的解為坐標的點都 是曲線上的點，那么，方程叫做曲線 C 的方程；曲線 C 叫做方程的曲線 2、求簡單的曲線方程的一般步驟： （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點 M 的坐標； （2）寫出適合條件 P 的點 M 的集合； （3）用坐標表示條件 P（ M） ，列出方程； （4）化方程為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點． 求簡單的曲線方程的一般步驟（5）可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當予以說明 另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（2） ，直接列出曲線方程． 【典型例題】 例 1. （1）已知拋物線標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程 （2）已知拋物線的焦點坐標是 F（0，－2） ，求它的標準方程 分析：（1）在標準方程下焦點坐標和準線方程都是用 p 的代數(shù)式表示的，所以只要求 出 p 即可； （2）求的是標準方程，因此所指拋物線應過原點，結(jié)合焦點坐標求出 p，問題易解。 解析：（1） p＝3，焦點坐標是（，0）準線方程是 x＝－． （2）焦點在 y 軸負半軸上，＝2， 所以所求拋物線的標準方程是． 例 2. 已知拋物線的標準方程是（1） y2＝12 x， （2） y＝12 x2，求它的焦點坐標和準線方 程． 分析：這是關(guān)于拋物線標準方程的基本例題，關(guān)鍵是（1）根據(jù)示意圖確定屬于哪類標 準形式， （2）求出參數(shù) p 的值． 解：（1） p＝6，焦點坐標是（3，0） ，準線方程是 x＝－3． （2）先化為標準方程， ，焦點坐標是（0， ） ， 準線方程是 y＝－. 例 3. 求下列橢圓的準線方程：（1） （2） 解：（1）方程可化為 ，是焦點在軸上且，的橢圓 所以此橢圓的準線方程為 （2）方程是焦點在軸上且，的橢圓 所以此橢圓的準線方程為 例 4. 橢圓上有一點 P，它到橢圓的左準線距離為 10，求點 P 到橢圓的右焦點的距離 解：橢圓的離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義得，點 P 到橢圓的左焦點距離為 再根據(jù)橢圓的第一定義得，點 P 到橢圓的右焦點的距離為 20－8＝12 例 5. 設 A、B 兩點的坐標是（1，0） 、 （-1，0） ，若，求動點 M 的軌跡方程． 解：設 M 的坐標為，M 屬于集合 P=｛Ｍ｜｝.由斜率公式，點 M 所適合的條件可表示為 ， 整理后得 （≠1） 下面證明 （ x≠1）是點 M 的軌跡方程 （1）由求方程的過程可知， M 的坐標都是方程 （ x≠1）的解； （2）設點的坐標是方程 （ x≠1）的解，即)1(),1(212????????xyyx ， ∴ 由上述證明可知，方程 （ x≠1）是點 M 的軌跡方程 說明：所求的方程后面應加上條件 ｘ ≠１。 例 6. 已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一個點到 A（0，2）的距離減去它到軸的距 離的差都是 2，求這條曲線的方程 分析：這條曲線是到 A 點的距離與其到軸的距離的差是 2 的點的集合或軌跡的一部分。 解：設點是曲線上任意一點， MB⊥軸，垂足是 B，那么點 M 屬于集合 P={M｜｜ MA｜- ｜ MB｜=2}． 即 =2． 整理得 ， ∴． 因為曲線在軸的上方，所以 y＞0，雖然原點 O 的坐標（0，0）是這個方程的解，但不 屬于已知曲線，所以曲線的方程應是： （≠0） ． 它的圖形是關(guān)于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點． 例 7. 點 P（x，y）與定點 F2（c，0）的距離與到的距離之比為常數(shù)，求 P 的軌跡方程 解：設 d 是點 P 到直線的距離．根據(jù)題意得 acxy???||)(2 化簡，得 （） 這是雙曲線的標準方程 【模擬試題】 （答題時間：40 分鐘） 1. 雙曲線 16x2―9 y2=―144 的實軸長、虛軸長、離心率分別為（ ） （A）4， 3， （B）8， 6， （C）8， 6， （D）4， 3， 2. 頂點在 x 軸上，兩頂點間的距離為 8， e=的雙曲線的標準方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 3. 雙曲線的兩條準線間的距離等于（ ） （A） （B） （C） （D） 4. 拋物線方程為 y＝ ax2（ a＞0） ，則其準線方程為（ ） （A） （B） （C） （D） 5. 線（ m≠0）的焦點坐標是（ ） （A） （0， ）或（0， ） （B） （0， ） （C） （0， ）或（0， ） （D） （0， ） 6. 在直線 3x－4 y－12＝0 上的拋物線標準方程是（ ） （A） y2＝16 x 或 x2＝16 y （B） y2＝16 x 或 x2＝12 y （C） x2＝－12 y 或 y2＝16 x （D） x2＝16 y 或 y2＝－12 x 7. 已知點 A（-3，0） ， B（0， ） ， C（4，-） ， D（3sec θ ， tanθ ） ，其中在曲線上的點的 個數(shù)為（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 8. 求下列橢圓的焦點坐標與準線方程 （1） （2） 9. 根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程 （1）焦點是 F（－2，0） （2）準線方程是． （3）焦點到準線的距離是 4，焦點在 y 軸上 （4）經(jīng)過點 A（6，－2） ． 10. 求點 P 到點 F（4，0）的距離比它到直線+5=0 的距離小 1 的點的軌跡方程． 11. 已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點，求它的標準方程． 【試題答案】 1、C 2、A 3、A 4、D 5、B 6、C 7、B 8、答案：（1）焦點坐標；準線方程 （2）焦點坐標；準線方程 9、 （1） y2＝－8 x （2） x2＝－ y （3） x2＝8 y 或 x2＝－8 y （4） 或 10、解：設 P 為所求軌跡上任意一點， ∵點 P 到 F 的距離比它到直線+5=0 的距離小 1. 故點 P 到 F（4，0）的距離與點 P 到直線+4=0 的距離｜ PD｜相等 ∴｜ PF｜=｜ PD｜ ∴=｜-（-4）｜ ∴ 11、解：由題意，可設拋物線方程為，因為它過點， 所以 ，即 因此，所求的拋物線方程為．