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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 考生須知： 1． 本試卷共6頁，分第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分。 2． 答題前考生務(wù)必將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試編號(hào)用黑色字跡的簽字筆填寫。 3． 答題卡上第I卷(選擇題)必須用2B鉛筆作答，第II卷(非選擇題)必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時(shí)可以使用2B鉛筆。請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)內(nèi)作答，未在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答或超出答題區(qū)域作答的均不得分。 4． 修改時(shí)，選擇題部分用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標(biāo)記。 5． 考試結(jié)束后，考生務(wù)必將答題卡交監(jiān)考老師收回，試卷自己妥善保存。 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． （1）設(shè)集合，則等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,所以，選C. （2）“”是“直線垂直”的 A. 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C. 充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若直線垂直，則有，即，所以。所以“”是“直線垂直”的充分不必要條件，選A. （3）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 A.（0,1） B. （1,2） C. （2,3） D. （3,4） 【答案】B 【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以。因?yàn)?，，所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.選B. （4）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到直線的距離大于2的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切蜠EF,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離等于2，所以要使點(diǎn)D到直線的距離大于2，則點(diǎn)D應(yīng)在三角形BCF中。各點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以 ,根據(jù)幾何概型可知所求概率為,選D. （5）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，則等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，即，所以，選C. （6）在高三（1）班進(jìn)行的演講比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連續(xù)出場(chǎng)，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為 A. 24 B. 36 C. 48 D.60 【答案】D 【解析】先排3個(gè)女生，三個(gè)女生之間有4個(gè)空，從四個(gè)空中選兩個(gè)排男生，共有種，若女生甲排在第一個(gè)，則三個(gè)女生之間有3個(gè)空，從3個(gè)空中選兩個(gè)排男生，有，所以滿足條件的出錯(cuò)順序有種排法，選D. （7）已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的全面積為 A. B． C. D. 【答案】B 【解析】 根據(jù)三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角梯形，一條側(cè)棱垂直直角梯形的直角頂點(diǎn)的四棱錐 其中ABCD是直角梯形，AB⊥AD， AB=AD=2，BC=4，即PA⊥平面ABCD，PA=2。且,，,,,,底面梯形的面積為，,,,側(cè)面三角形中的高， 所以，所以該幾何體的總面積為，選B. （8）已知函數(shù)：①，②，③.則以下四個(gè)命題對(duì)已知的三個(gè)函數(shù)都能成立的是 命題是奇函數(shù)； 命題在上是增函數(shù)； 命題； 命題的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 A．命題 B．命題 C．命題 D．命題 【答案】C 【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題不能使三個(gè)函數(shù)都成立，排除A,D. ①成立；②成立；③成立，所以命題能使三個(gè)函數(shù)都成立，所以選C. 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． （9）若，其中是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)的值是____________. 【答案】 【解析】由得，所以。 （10）以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 _____. 【答案】 【解析】雙曲線的漸近線為，不妨取，即。雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓心到直線的距離為，即圓的半徑為4，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 （11）在中，若,，，則= . 【答案】3 【解析】由，知，得，，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍去）。 （12）已知某算法的流程圖如圖所示，則程序運(yùn)行結(jié)束時(shí)輸出的結(jié)果為 ． 【答案】4 【解析】第一次循環(huán)有；第二次循環(huán)有；第三次循環(huán)有；第四次循環(huán)有；此時(shí)滿足條件，輸出。 (13)在中，，，是的中點(diǎn)，那么 ____________;若是的中點(diǎn)，是（包括邊界）內(nèi)任一點(diǎn)．則的取值范圍是___________. 【答案】2; 【解析】. 將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，則,設(shè)，則，令，則，做直線，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，但此時(shí)最小，當(dāng)直線 經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最大。即的最下值為，最大值為，即。的取值范圍是。 （14）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn),之間的“折線距離”. 則 ① 到坐標(biāo)原點(diǎn)的“折線距離”不超過2的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是_________; ② 坐標(biāo)原點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是_____________. 【答案】 【解析】①根據(jù)定義可知,如圖：則圖象的面積為。②與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè),則，所以O(shè)P的折線距離為，作出分段函數(shù)的圖象如圖，由函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為。 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． （15）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （Ⅰ）求的定義域及最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最值. (16) （本小題滿分14分）在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：∥平面； （Ⅱ）求證：； （Ⅲ）若在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由． （17）（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品的質(zhì)量，從兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取各10件，測(cè)量產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）.下表是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖： 甲廠 乙廠 9 0 3 9 6 5 8 1 8 4 5 6 9 0 3 1 5 0 3 2 1 0 3 規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量滿足≥18毫克時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品. （Ⅰ）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率； （Ⅱ）從乙廠抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望； （Ⅲ）從上述樣品中，各隨機(jī)抽取3件，逐一選取，取后有放回，求抽到的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率． （18）（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）. （Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)P（1，）處的切線的傾斜角為，求在上的最小值； （Ⅱ）若存在，使，求a的取值范圍． （19）（本小題滿分13分）已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸, 離心率為且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中點(diǎn)P在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn). 求點(diǎn)到直線的距離的最小值． （20）（本小題滿分14分） 已知每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，其中等于的項(xiàng)有個(gè)，設(shè)， （Ⅰ）設(shè)數(shù)列，求； （Ⅱ）若中最大的項(xiàng)為50， 比較的大??； （Ⅲ）若，求函數(shù)的最小值． 數(shù) 學(xué) 試卷 參考答案（理科） 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．) 題 號(hào) （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 C A B D C D B C 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．） （9） （10） （11） 3 （12）4 （13） 2; [-9,9] （14） 三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．) （15）(本小題滿分13分) 解：（Ⅰ）由得(Z)， 故的定義域?yàn)镽Z}．…………………2分 因?yàn)? ，………………………………6分 所以的最小正周期．…………………7分 （II）由 …………..9分 當(dāng)，…………….11分 當(dāng).……………….13分 （16）(本小題滿分14分) 解：（I）連接. 由是正方形可知,點(diǎn)為中點(diǎn). 又為的中點(diǎn)， 所以∥………………….2分 又 所以∥平面………….4分 (II) 證明：由 所以 由是正方形可知, 又 所以………………………………..8分 又 所以…………………………………………..9分 (III)解法一： 在線段上存在點(diǎn)，使. 理由如下： 如圖，取中點(diǎn)，連接. 在四棱錐中，， 所以.…………………………………………………………………..11分 由（II）可知，而 所以， 因?yàn)? 所以…………………………………………………………. 13分 故在線段上存在點(diǎn)，使. 由為中點(diǎn)，得…………………………………………… 14分 解法二： 由且底面是正方形，如圖， 建立空間直角坐標(biāo)系 由已知設(shè)， 則 設(shè)為線段上一點(diǎn)，且，則 …………………………..12分 由題意，若線段上存在點(diǎn)，使，則，. 所以，， 故在線段上存在點(diǎn)，使，且…………………… 14分 （17）(本小題滿分13分) 解：（I）甲廠抽取的樣本中優(yōu)等品有6件，優(yōu)等品率為 乙廠抽取的樣本中優(yōu)等品有5件，優(yōu)等品率為………………..2分 （II）的取值為0，1，2，3. 所以的分布列為 0 1 2 3 故……………………9分 (III) 抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件包括2個(gè)事件，即A=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠2件，乙廠0件”，B=“抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠3件，乙廠1件” 抽取的優(yōu)等品數(shù)甲廠恰比乙廠多2件的概率為…13分 （18）(本小題滿分13分) 解：（I） …………………………. ……………1分 根據(jù)題意， …………………3分 此時(shí)，,則. 令 - + ↘ ↗ …………………………………………………………………………………………. 6分 ∴當(dāng)時(shí)，最小值為. ………………………7分 （II） ①若上單調(diào)遞減. 又 …………………………………………..10分 ②若 從而在（0，上單調(diào)遞增，在（，+上單調(diào)遞減. 根據(jù)題意， …………….............................. 13分 綜上，的取值范圍是. （19）(本小題滿分13分) 解：（I）由已知拋物線的焦點(diǎn)為,故設(shè)橢圓方程為， 則所以橢圓的方程為……5分 （II）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為， 則由 消去得，， …………………6分 ， ①…………7分 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則： ，…………8分 由于點(diǎn)在橢圓上，所以 . ……… 9分 從而，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式. ………10分 又點(diǎn)到直線的距離為： ………11分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 ………12分 當(dāng)直線無斜率時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)一定在軸上， 從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為1 . 所以點(diǎn)到直線的距離最小值為 . ………13分 （20）(本小題滿分14分) 解: (I) 因?yàn)閿?shù)列， 所以， 所以 …………………4分 (II) 一方面，， 根據(jù)的含義知， 故，即 ， ① 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 因?yàn)橹凶畲蟮捻?xiàng)為50，所以當(dāng)時(shí)必有， 所以 即當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，有 …9分 （III）設(shè)為中的最大值. 由（II）可以知道，的最小值為. 根據(jù)題意， 下面計(jì)算的值. ， ∵ ， ∴， ∴最小值為. ………………………………………….14分