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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,解排列組合問題的常用策略,從,n,個不同元素中,任取,m,個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從,n,個不同元素中取出,m,個元素的一個排列,.,2.,組合的定義,:,從,n,個不同元素中,任取,m,個元素,并成一組,叫做從,n,個不同元素中取出,m,個元素的一個組合,.,3.,排列數(shù)公式,:,4.,組合數(shù)公式,:,1.,排列的定義,:,排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系,:,與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題,.,一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字,五

2、位奇數(shù).,解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安,排,以免不合要求的元素占了這兩個位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,由分步計數(shù)原理得,=288,位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。,7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里,，,問有多少不同的種法？,練習(xí)題,二.相鄰元素捆綁策略,例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相,鄰,共有多少種不同的排法.,甲,乙,丙,丁,由分步計數(shù)原理可得共有,種不同的排法,=480,解：,要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用,捆綁法來解決問題.,練習(xí)題,5,個男生,3,

3、個女生排成一排,3,個女生,要排在一起,有多少種不同的排法,?,共有,=4320,種不同的排法,.,三.不相鄰問題插空策略,例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個,獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出,場順序有多少種？,解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共,有,種，,第二步將4舞蹈插入第一步排,好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有,種,不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的,不同順序共有,種,相,相,獨,獨,獨,元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端,某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目

4、單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）,30,練習(xí)題,四.定序問題倍縮空位插入策略,例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多,少種不同的排法,解:,（,空位法,）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外,的四人就坐共有,種方法，其余的三個,位置甲乙丙共有,種坐法，則共有,種,方法,1,思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?,（,插入法,)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再,把其余4四人,依次,插入共有,方法,4*5*6*7,練習(xí)題,期中安排考試科目,9,門,語文要在數(shù)學(xué)之前,考,有多少種不同的安排順序,?,(,倍縮法,)對于某幾個元素順序一定的排列,問題,可先把這幾個元素與其他元素一起,進行排列,然

5、后用總排列數(shù)除以,這幾個元,素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù),是：,定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插,入模型處理,五.重排問題求冪策略,例5.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有,多少種不同的分法,解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配,到車間有,種分法.,7,把第二名實習(xí)生分配,到車間也有7種分法，,依此類推,由分步計,數(shù)原理共有 種不同的排法,一般地,n,不同的元素沒有限制地安排在,m,個位置上的排列數(shù)為 種,n,m,某,8,層大樓一樓電梯上來,8,名乘客人,他們,到各自的一層下電梯,下電梯的方法,（）,練習(xí)題,六.排列組合混合問題先選后排策略,例,6.,有5個不同的小球,裝入

6、4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝,法.,解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共,有_種方法.再把5個元素(包含一個復(fù)合,元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_種方法.,根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_,解決排列組合混合問題,先選后排是最基本,的指導(dǎo)思想.,練習(xí)題,一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人,現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人,完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人,參加,則不同的選法有_ 種,192,七.元素相同問題隔板策略,例,7.,有10個運動員名額，在分給7個班，每,班至少一個,有多少種分配方案？,解：因為10個名額沒有差別，把它們排成,一排。相鄰名額之間形成個空隙。

7、,在個空檔中選個位置插個隔板，,可把名額分成份，對應(yīng)地分給個,班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法,共有_種分法。,一班,二班,三班,四班,五班,六班,七班,將,n,個相同的元素分成,m,份（,n，m,為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用 塊隔板，插入,n,個元素排成一排的 個空隙中，所有分法數(shù)為,m-1,n-1,練習(xí)題,10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一個，有多少裝法？,八.平均分組問題除法策略,例,8.6,本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有,多少分法？,解:分三步取書得 種方法,但這里出現(xiàn),重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為,ABCDEF,若第一步取,AB,第二步取,CD,第三步取,EF,該分

8、法記為(,AB,CD,EF),則 中還有,(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 種取法,而,這些分法僅是(,AB,CD,EF),一種分法,故共,有 種分法。,平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 (,n,為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。,1,.,將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4,個隊,有多少分法？,2.,某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_,練習(xí)題,九.合理分類與分步策略,例,9.,在一次演唱會上共

9、10名演員,其中8人能,夠唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱,歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?,解：,10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞,3人為全能演員。,以只會唱歌的5人是否,選上唱歌人員為標準進行研究,只會唱,的,5人中沒有人選上唱歌人員共有_,種,只會唱的,5人中只有1人選上唱歌人,員_種,只會唱的,5人中只有2人,選上唱歌人員有_ 種，由分類計數(shù),原理共有_種。,+,+,本題還有如下分類標準：,*,以3個全能演員是否選上唱歌人員為標準,*,以3個全能演員是否選上跳舞人員為標準,*,以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標準,都可經(jīng)得到正確結(jié)果,解含有約束條件的排列組合問題，可按元素

10、,的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分,步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不,漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的,始終。,從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_,34,練習(xí)題,十.構(gòu)造模型策略,例1,0.,馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的,九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān),掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2,盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？,解：把此問題當作一個排隊模型在6盞,亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈,有_ 種,一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為,非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊,模

11、型，裝盒模型等，可使問題直觀解決,練習(xí)題,某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右,兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？,120,小結(jié)：,解排列組合的常用策略,作業(yè)：,課時作業(yè),小結(jié),本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。排列組合歷來是學(xué)習(xí)中的難點，通過我們平時做的練習(xí)題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦,，,不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用把復(fù)雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

12、,十一.實際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號,1,2,3,4,5,的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五,個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且,恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,有多少投法,解：,從5個球中取出2個與盒子對號有_種,還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，,利用實際,操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒,3,號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,3號盒,4號盒,5號盒,3,4,5,十一.實際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號,1,2,3,4,5,的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五,個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且,恰好

13、有兩個球的編號與盒子的編號相同,.,有多少投法,解：,從5個球中取出2個與盒子對號有_種,還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，,利用實際,操作法，如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒,3,號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理,3,號球裝5號盒時,4,5號球有也,只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有,2,種,對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用,公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀,圖會收到意想不到的結(jié)果,練習(xí)題,同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張,賀年卡不同的分配方式有多少種？,(9),2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū),域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則,不同的著色方法有_種,2,1,3,4,5,72,我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、,副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的,抽法有多少種?,練習(xí)題,1.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座 談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_,34,練習(xí)題,2.,3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2,號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x,2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.,27,