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1、,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,1.,電場力、磁場力、洛倫茲力,4.,微分形式的麥克斯韋方程,重點,：,第,2,章,電場、磁場與麥克斯韋方程,3.,麥克斯韋方程的導(dǎo)出及意義,2.,電磁場中的三種電流以及電流連續(xù)性原理,7.,電磁場的能量與坡印廷矢量,5.,積分形式的麥克斯韋方程,6.,時諧形式的麥克斯韋方程,網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺,http:/202.114.88.53/eol2005/homepage/whut/,2.1,電場力、磁場力與洛倫茲力,1.,電場力,庫侖定律,適用條件,兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力,;,無限大真空情況,(,

2、式中,F/m),可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中,結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理,當(dāng)真空中引入第三個點電荷 時，試問 與 相互間的作用力改變嗎,?,為什么,？,庫侖定律還可以換一種方式來闡述：,假定電荷,q=1C,，,于是電場力 即為,q,1,對單位電荷的作用,力,我們將這個特定大小的電場力 稱為電場強(qiáng)度矢量,由電場強(qiáng)度矢量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電荷之間的作用力，所以電場強(qiáng)度表示了電場力。,結(jié)論,2.,磁場力,當(dāng)電荷之間存在相對運(yùn)動，比如兩根載流導(dǎo)線，會發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運(yùn)動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力。,假定一個電荷,q,以速度 在磁場中運(yùn)動，則它所

3、受到磁場力為,這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度 來描述。,3.,洛倫茲力,當(dāng)一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。,我們也可以用這個表達(dá)式作為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的定義式。,即,麥克斯韋方程組,靜電場：庫侖定律、高斯定理、無旋,穩(wěn)恒磁場：洛倫茲力、安培環(huán)路定律、無源,變化的電場與磁場的規(guī)律是怎樣呢？,變化的磁場激發(fā)電場（法拉第電磁感應(yīng)定律）,變化的電場激發(fā)磁場？（位移電流假設(shè)）,麥克斯韋方程組,形式,兩個公式：高斯定律、斯托克斯定律,2.2,由電通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第一方程,定義,穿過一個單位有向面積,dS,的力線的條數(shù)為,

4、電通密度,(electric flux density),，,用 表示。,在自由空間中，穿過閉合 面積,S,的電通量為,在一個閉合曲面上，根據(jù)高斯定律 有,可得,麥克斯韋第一方程：,或,又,稱為電感強(qiáng)度、電位移矢量,2.3,由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律,導(dǎo)出麥克斯韋第二方程,法拉第電磁感應(yīng)定律,可得,麥克斯韋第二方程：,感應(yīng)電動勢,閉合路徑所包圍的磁通,根據(jù)斯托克斯定律,麥克斯韋第二方程,電磁感應(yīng)的實質(zhì)是變化的磁場在其周圍空間中激發(fā)電場，這是電場和磁場內(nèi)部矛盾運(yùn)動的一個方面。,感應(yīng)電場是有旋度的，與靜電場不一樣。,2.4,由磁通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第三方程,磁通連續(xù)性原理,可得,麥克

5、斯韋第三方程：,穿過開表面積,S,的磁通,根據(jù)高斯定律,1.,傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流,此式說明傳導(dǎo)電流密度服從于歐姆定律,(ohms law),，,并且傳導(dǎo)電流為,自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則運(yùn)動而形成,傳導(dǎo)電流,2.5,由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律,導(dǎo)出麥克斯韋第四方程,傳導(dǎo)電流的電流密度,與電場強(qiáng)度 的關(guān)系為：,形成運(yùn)流電流的電荷在運(yùn)動時并不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機(jī)率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運(yùn)流電流不服從于歐姆定律。,電荷在無阻力空間作有規(guī)則運(yùn)動而形成,運(yùn)流電流,假設(shè)存在一個電荷體密度為 的區(qū)域，在電場作用下，電荷以平均速度 運(yùn)動，則運(yùn)動電荷垂直穿過面積,S

6、,的運(yùn)流電流為,式中運(yùn)流電流密度為,通常，傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流并不同時存在。,2.,電流連續(xù)性原理,或,通過界面流出的總電流應(yīng)等于,S,面內(nèi)自由電量,q,的減小率,在時變電磁場空間，圍繞著通電導(dǎo)體作一閉合面,S,，,則穿出的傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流應(yīng)等于,S,面內(nèi)自由電量,q,的,減小率，即,于是可得,此式稱為電流連續(xù)性方程,-,微分形式,其中,3.,磁場強(qiáng)度與安培環(huán)路定律,靜電場的環(huán)流為零,穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？,說明靜電場是保守場；,對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的通量和環(huán)流。,對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。,安培環(huán)路定理,與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正,。,在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中

7、，磁感應(yīng)強(qiáng)度,沿任意閉合曲線的線積分（也稱 的環(huán)流）,等于穿過該閉合曲線的所有電流強(qiáng)度 （即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強(qiáng)度）的代數(shù)和的,0,倍。,磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流只與環(huán)路內(nèi)的電流有關(guān)，但環(huán)路,上一點的磁感應(yīng)強(qiáng)度是由環(huán)路內(nèi)、外電流共同產(chǎn)生的。,安培環(huán)路定理揭示了磁場的基本性質(zhì)之一，磁場是有旋,場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。,討論,當(dāng)電流呈體分布時,定義自由空間用磁場強(qiáng)度,表示的磁通密度為,則安培環(huán)路定律可寫成,4.,麥克斯韋第四方程,在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電流，即,其中,則,由斯托克斯定律得,即,因為,為了解決這一矛盾，麥克斯韋提出位移電流假說,麥克

8、斯韋位移電流假說,麥克斯韋假設(shè),其中 稱為位移電流，并把式（*）改為,因為,所以,位移電流表示,變化的電場,麥克斯韋第四方程,麥克斯韋第四方程,或,由,麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的存在。,揭示了不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。,位移電流,位移電流,電流連續(xù)性方程,可以,改寫,為,或,電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，在傳導(dǎo)電流中斷處必有運(yùn)流電流或位移電流接續(xù)。,解：忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場,位移電流密度,位移電流,例,:,已知平板電容器的面積為,S,相距為,d,介質(zhì)的介電常數(shù),極板間電壓為,u(t),。,試求位移電流,i,D,；,傳導(dǎo)電流,i,C,與,i,D,的關(guān)系是什么,?,電

9、場,傳導(dǎo)電流與位移電流,2.6,微分形式的麥克斯韋方程組,將上面推導(dǎo)出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組,。,或,將電場與其場源,電荷密度聯(lián)系了起來，實際上，它是庫侖定律的另一種形式。,第一方程,表明了隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場,這是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式。,第二方程,表明了在形成磁場的源中，不存在“點磁荷,磁力線始終閉合。,第三方程,表明了產(chǎn)生磁場的源是電流或變化的電場,安培定律的另一種表現(xiàn)形式。,第四方程,2.7,積分形式的麥克斯韋方程組,根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。,轉(zhuǎn)化為,其中引出了三個媒質(zhì)特性方程,

10、以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整”方程組，是因為方程組全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面電場與磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的規(guī)律，和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。,電流連續(xù)性方程,2.8,麥克斯韋方程的時諧形式,時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（,time,harmonic field,）,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的點都將產(chǎn)生隨時間按照同樣

11、規(guī)律（正弦）變化的場。對于時諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,微分形式的時諧表示,積分形式的時諧表示,2.9,電磁場的能量與坡印廷矢量,電磁能量符合自然界物質(zhì)運(yùn)動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律,坡印亭定理，,坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。,由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出電磁場能量的守恒方程，該方程中包含了這樣一項，它可以用電磁場中任何一點處的能量流動速率來表示。,麥克斯韋方程組如下,因此,此式稱為,坡印廷定理,定義式中，,稱其為坡印廷矢量,坡印廷定理,可寫成,用 點乘方程（,4,）,根據(jù),P19,頁的,矢量規(guī)則,3,坡印廷定理的意義,1,由,洛侖茲力公式知場對電荷做功的功率

12、密度為（,W/m,3,）,分別為電場和磁場能量密度（,J/m,3,）,的,物理意義呢？對（*）在一封閉曲面內(nèi)積分，看其結(jié)果,:,場對電荷做功的功率,電磁場儲能增加率（,W,）,？,坡印廷定理的意義,2,定義下式為能量密度（,J/m,3,）,坡印廷定理可改寫為,場對電荷做功的功率（,W,）,電磁場儲能增加率（,W,）,單位時間內(nèi)通過界面流入封閉曲面的能量,(W).,所以 的單位,W/m,2,又被,稱為能流密度，表示單位時間內(nèi)流過單位面積的能量,坡印亭定理是,電磁場能量的守恒方程,。,對于正弦電磁場，計算一個周期內(nèi)的時間平均值更有實際意義，,坡印廷矢量,的時間平均值即平均坡印廷矢量定義為,前面的坡

13、印廷矢量和坡印廷定理都是瞬時的，所以又稱 為瞬時坡印廷矢量，,瞬時坡印廷定理,*簡諧情況下，能量密度和能流密度是場的二次式，故不能將場的復(fù)數(shù)形式直接代入，只能帶入瞬時值。下面給出一個二次式平均值公式,復(fù)數(shù)坡印廷矢量,1,瞬時形式,復(fù)數(shù)形式,平均值,而,即,所以,復(fù)數(shù)坡印廷矢量,2,為此定義復(fù)數(shù)坡印廷矢量為,則,電磁能量的傳輸,在電磁波情況下，能量在場中傳播。,在電路中物理系統(tǒng)的能量包括導(dǎo)線內(nèi)電子運(yùn)動的動能和導(dǎo)線周圍空間中的電磁場能量。,電子動能不是供給負(fù)載消耗的能量。負(fù)載消耗的能量在場中傳輸?shù)?導(dǎo)線內(nèi)的電流密度為,一般導(dǎo)體內(nèi),n=10,23,/,厘米,3,，若電流密度為,1,安,/,毫米,2,

14、，即,10,6,安,/,米,2,，而,e=1.6*10,-19,庫。代入上式可得,v,的平均值約為,6,10,-5,米,/,秒，由此可見導(dǎo)線內(nèi)的電子速度很小，相應(yīng)的動能也很小。,電流和電磁場相互作用，引導(dǎo)電磁能量在場中沿一定方向傳輸,電磁能量傳輸中，一部分進(jìn)入電線內(nèi)部成為焦耳熱損耗，一部分供給負(fù)載消耗。,例題：同軸電纜的能量計算,例：同軸電纜內(nèi)導(dǎo)線半徑為,a,，,外導(dǎo)線半徑為,b,，,兩導(dǎo)線間為均勻絕緣介質(zhì)。導(dǎo)線載有電流為,I,，,兩導(dǎo)線間的電壓為,U,。,（,1,）,忽略導(dǎo)線的電阻，計算介質(zhì)中的能流密度,S,和傳輸功率,P,。,（,2,）,考慮導(dǎo)線的電阻，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線的電導(dǎo)率為,，,計算通過內(nèi)導(dǎo)

15、體表面進(jìn)入導(dǎo)體內(nèi)的能流，證明它等于導(dǎo)線的損耗功率。,圖,同軸電纜中的電磁能流,解,（,1,）,由安培環(huán)路定律知,導(dǎo)線表面一般帶有電荷，設(shè)內(nèi)電線單位長度的電荷為,，由,高斯定理得,單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面,A,的總能量為,由上式求得,，,代入,E,中得,能流密度為,兩導(dǎo)線間的電壓為,即為電路中的功率表達(dá)式，這個功率是在場中傳輸?shù)?解,（,2,）,由歐姆定律知在導(dǎo)線內(nèi)部有,由于電場切向連續(xù)，因此緊貼內(nèi)導(dǎo)線表面的介質(zhì)內(nèi)，電場除了有徑向分量外，還有切向分量，即,因此能流,S,除了沿,Z,軸傳輸?shù)姆至客猓€有沿徑向進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)線內(nèi)的分量，大小為,流進(jìn)長度為 的導(dǎo)線內(nèi)的功率為,上式表示的即為該段導(dǎo)線中

16、的損耗功率，,R,為該段導(dǎo)線的電阻。,本章要點,Page 4951,本章要點,麥克斯韋方程的形式與意義,？各個方程的意義,？微分形式如何變換成積分形式,？無源時的形式是怎樣,？靜態(tài)場的方程是怎樣,本章要點,無源時的,麥克斯韋方程的形式,本章要點,靜態(tài)場的,麥克斯韋方程的形式,本章要點,麥克斯韋方程的時諧形式,？,-,i,w,和,+,i,w,的區(qū)別,答：是一種約定。,本章要點,使用麥克斯韋方程求解電磁場,？積分中的待定系數(shù),C,是什么，如何處理,本章要點,使用麥克斯韋方程求解電磁場,？積分中的待定系數(shù),C,是什么，如何處理,本章要點,使用麥克斯韋方程求解電磁場,？積分中的待定系數(shù),C,是什么，如何處理,答：待定系數(shù),C,對應(yīng)的是靜待場，無源時做零處理；非無源時，,C,由靜電荷和穩(wěn)恒電流決定，采用靜態(tài)方程求解；,一般時,C,由初始條件確定。,