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圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡單應(yīng)用

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1、單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,復(fù)習(xí)目標(biāo),*,課前演練,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,知識要點(diǎn),單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,典例精講,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,方法提煉,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第

2、,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,走進(jìn)高考,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,高中新課標(biāo)總復(fù)習(xí)(第,1,輪),文科數(shù)學(xué),湖南,人教版,*,本節(jié)完,謝謝聆聽,立足教育,開創(chuàng)未來,Copyright 2004-2009,版權(quán)所有 盜版必究,新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第十單元,幾何證明選講,第,69,講,圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡單應(yīng)用,1.,了解平行投影的含義,通過圓柱與平面的位置關(guān)系,體會平行投影;會證明平面與圓柱截線是橢圓(特殊情形是圓),.,2.,通過觀察平面截圓錐的情境,體會下面定理:在空間中,取直線,l,為軸,直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn),其夾角為,l

3、,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn),,l,為母線的圓錐面,任取平面,,若它與軸,l,交角為,(,當(dāng),與,l,平行時,記,=0),,,則,(1),,平面,與圓錐的交線為橢圓;(,2,),=,,平面,與圓錐的交線為拋物線;(,3,),,平面,與圓錐的交線為雙曲線,.,3.,通過丹迪林雙球探求橢圓的性質(zhì),加深對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識,理解平面與空間的統(tǒng)一關(guān)系,.,1.,下列對于半徑為,4,的圓在已知平面,上的射影的說法錯誤的是,(),D,A.,射影為線段時,其長度為,8,B.,射影為橢圓時,其短軸長小于,8,C.,射影為橢圓時,其長軸長為,8,D.,射影為圓時,其直徑為,10,利用射影的概念推理可知,A

4、,、,B,、,C,均正確,而,D,選項,射影為圓時,其直徑為,8,故選,D.,2.,如果一個三角形的平行投影還是一個三角形,則下列結(jié)論正確的是,(),B,A.,內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心,B.,重心的平行投影還是重心,C.,垂心的平行投影還是垂心,D.,外心的平行投影還是外心,在平行投影時,垂直關(guān)系與線段長度不一定都能保持不變,但線段的中點(diǎn)投影后仍是線段的中點(diǎn),所以重心的平行投影還是重心,.,3.,在空間中,取直線,l,為軸,直線,l,與,l,相交于點(diǎn),O,,夾角為,60,,,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn),,l,為母線的圓錐面,.,若平面,與,l,的夾角為,45,,則平面,截圓錐面所得的截

5、線為,.,雙曲線,因為,4560,,所以截線為雙曲線,.,4.,設(shè)圓柱的底面直徑為,2,,圓柱的截面與圓柱的軸所成的角為,60,,則截得的橢圓的焦距為,.,截得的橢圓的離心率為,cos60=,而橢圓的短半軸長,b,=1,而,=,所以,a,=2,c,所以,a,2,=,b,2,+,c,2,即,(2,c,),2,=1+,c,2,,解得,c,=,,故,2,c,=.,1.,平行投影基本定理,:,不平行于投影線的線段,在平面上的投影仍為,線段上的點(diǎn)分線段的比保持,,端點(diǎn)仍為端點(diǎn),.,2.,平面與圓柱面的截線:若一平面,與圓柱面的軸線所成的角為銳角,,則平面,與圓柱面所截得的曲線是,此橢圓的離心率,e,=,

6、.,線段,不變,橢圓,cos,3.,平面與圓錐面的截線:在空間中,取直線,l,為軸,直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn),其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn),,l,為母線的圓錐面,.,任取平面,,若它與軸,l,的交角為,(,當(dāng),與,l,平行時,記,=0),,則平面,與圓錐的交線為,,其離心率,e,=cos,cos,.,平面,與圓錐的交線為,;,=,平面,與圓錐的交線為,;,平面,與圓錐的交線為,.,圓錐曲線,橢圓,拋物線,雙曲線,4.,圓錐曲線的統(tǒng)一定義:平面內(nèi),動點(diǎn),M,到定點(diǎn),F,的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù),e,.,當(dāng),0,e,1,時,點(diǎn),M,的軌跡是,;當(dāng),e,1,時

7、,點(diǎn),M,的軌跡是,;,當(dāng),e,=1,時,點(diǎn),M,的軌跡是,其中定點(diǎn),F,為焦點(diǎn),定直線是相應(yīng)的,.,橢圓,雙曲線,11,拋物線,12,準(zhǔn)線,題型一 投影的概念及應(yīng)用,例,1,一個圓在一個平面上的平行投影可能是,(),A.,圓,B.,橢圓,C.,線段,D.,圓或橢圓或線段,D,若圓所在平面與已知平面垂直時,則其平行投影是線段;若圓所在平面與已知平面平行時,則其正投影是圓;若圓所在平面與已知面相交時,則其平行投影是橢圓,故選,D.,一個平面圖形在一個平面上的投影既與投影的方式有關(guān),又與平面圖形所在平面與已知平面的位置關(guān)系有關(guān),.,已知,a,、,b,、,c,、,d,是四條互不重合的直線,且,c,、

8、,d,分別為,a,、,b,在平面,上的射影,給出下面兩組判斷:,第一組:,a,b,,,a,b,;,第二組:,c,d,,,c,d,.,分別從兩組中各選出一個判斷,使一個作條件,另一個作結(jié)論,那么寫出的一個正確命題是,.,兩平行線在一個平面上的射影可能仍平行,.,填,.,題型二,圓柱截面的性質(zhì)及應(yīng)用,例,2,證明:長半軸長為,a,,短半軸長為,b,的橢圓的面積為,ab,.,如圖,橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面,可知圓面的半徑為,b,,橢圓面與底圓面所成角為,,,則,cos,=,故,=cos,=,,,所以,S,橢圓,=,S,圓,=,b,2,=,ab,.,S,橢圓,S,圓,本例是利用圓柱形物體的斜截口

9、是橢圓這一定理,通過恰當(dāng)構(gòu)造而實現(xiàn)問題的論證,.,題型三 平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應(yīng)用,例,3,一圓錐側(cè)面展開圖為半圓,平面,與圓錐的軸成,45,角,則平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為,(),A.,圓,B.,拋物線,C.,雙曲線,D.,橢圓,D,因為圓錐側(cè)面展開圖為半圓,所以圓錐的母線與軸成,30,角,而平面,與圓錐的軸成,45,角,故平面,與該圓錐側(cè)面相交的交線為橢圓,.,正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶和運(yùn)用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關(guān)系與圓錐跟截面交線的類型的對應(yīng)關(guān)系定理,.,一個軸截面頂角為,120,的圓錐被一個與其一條母線垂直的平面,(,不過圓錐面的頂點(diǎn),)

10、,所截,則截面與圓錐側(cè)面的交線的形狀是,(),A.,橢圓的一部分,B.,拋物線的一部分,C.,雙曲線的一部分,D.,圓的一部分,因為交線的離心率,e,=,所以交線的形狀是雙曲線的一部分,.,選,C.,C,圓柱、圓錐截線問題應(yīng)注意,:(1),選擇恰當(dāng)?shù)妮S截面討論,;(2),截面的傾角對截線性質(zhì)的影響,.,題型四 幾何證明簡單應(yīng)用,例,4,在一個底面半徑為,3,,高為,4,的圓錐內(nèi)有一半徑為,1,的球,求球上的點(diǎn)與底面的距離的最大值,.,由于圓錐與球都是旋轉(zhuǎn)體,所以它們的關(guān)系可以用它們的軸截面來分析,.,要使球上的點(diǎn)到底面的距離最大,則應(yīng)使球與圓錐面相切,.,如圖是軸截面,則,EF,的長即為所求的

11、最長距離,.,設(shè)球心為,O,,則設(shè)圓與母線的切點(diǎn)為,C,OC,SB,.,所以,SOC,SBF,則,=,SB,=5,所以,SO,=,所以,EF,=,SF,-,SO,+,OE,=4-+1=,即該球上的點(diǎn)與底面的距離的最大值為,.,與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的接、切問題,通常可以考慮它們的軸截面來解決,這是圓錐面的截線問題的常用處理方法,.,一個頂角為,60,的圓錐面被一平面,所截,,Dandelin,雙球均在頂點(diǎn),S,的下方,且一個半徑為,1,另一個半徑為,5,,則截線的形狀是,,其離心率是,.,由,Dandelin,雙球均在,S,的同側(cè),可知截線是橢圓,可計算出橢圓中的參數(shù),a,c,,從而求出離心率,.,(,

12、方法一,),如圖所示的軸截面,,F,1,、,F,2,是截線橢圓的兩個焦點(diǎn),,所以,2,c,=,F,1,F,2,=,EF,1,+,EF,2,.,因為,O,1,O,2,=2,O,2,D,-2,O,1,C,=8,易證,Rt,O,1,EF,1,Rt,O,2,EF,2,所以,=,即,=,所以,O,1,E,=.,所以,EF,1,=,EF,2,=,故,2,c,=+=2 ,所以,c,=.,又因為,BF,1,+,BF,2,=,BC,+,BD,=,CD,所以橢圓的長軸長,2,a,=,CD,=,=4 ,所以,a,=2 ,故橢圓的離心率,e,=.,(,方法二,),因為,O,1,EF,1,為截面與軸的夾角,.,所以,c

13、os,=cos,O,1,EF,1,=.,又因為頂角為,60,所以,cos,=cos30=,所以截線的離心率,e,=cos,cos,=.,在復(fù)習(xí)中,對于,Dandelin,雙球與圓錐面的幾何關(guān)系,及它們的運(yùn)算關(guān)系要有所了解,此類問題可鍛煉空間想象能力與運(yùn)算能力,.,注意選擇一定方向的軸截面,使空間關(guān)系平面化,是解決這類問題的關(guān)鍵,.,在空間中,取直線,l,為軸,直線,l,與,l,相交于,O,點(diǎn),其夾角為,l,圍繞,l,旋轉(zhuǎn)得到以,O,為頂點(diǎn),,l,為母線的圓錐面,任取平面,,若它與軸,l,交角為,(,與,l,平行,記,=0),,證明:當(dāng),=,時,平面,與圓錐的交線為拋物線,.,如圖,設(shè)平面,與圓

14、錐內(nèi)切球相切于點(diǎn),F,1,,球與圓錐的交線為,S,,過該交線的平面為,,,與,相交于直線,m,在平面,與圓錐的截線上任取一點(diǎn),P,,連接,PF,1,過點(diǎn),P,作,PA,m,交,m,于點(diǎn),A,過點(diǎn),P,作,的垂線,垂足為,B,,,接結(jié),AB,則,AB,m,,,所以,PAB,是,與,所成二面角的平面角,.,連接點(diǎn),P,與圓錐的頂點(diǎn),與,S,相交于點(diǎn),Q,1,連接,BQ,1,,,則,BPQ,1,=,,,APB,=,.,在,Rt,APB,中,,PB,=,PA,cos,.,在,Rt,PBQ,1,中,PB,=,PQ,1,cos,所以,=.,又因為,PQ,1,=,PF,1,=,=1,即,PF,1,=,PA,

15、動點(diǎn),P,到定點(diǎn),F,1,的距離等于它到直線,m,的距離,,故當(dāng),=,時,平面與圓錐的交線為拋物線,.,定理中的三個結(jié)論的證明思路如出一轍,證明時應(yīng)考慮到他們各自的特征,比如此例中只能作出一個,Dandelin,球,而證明結(jié)論,3,(截線為雙曲線)的雙球一個在圓錐面頂點(diǎn)的上面,另一個在頂點(diǎn)的下面,.,1.,要善于把圓的有關(guān)性質(zhì)類比推廣到球的一些性質(zhì),.,2.,定理中的兩個角,、,的確切含義要弄清楚,.,3.,當(dāng),從,0,到,90,變化時,平面,與圓錐面,S,交出的曲線形狀分析:,當(dāng),=0,時,截面過軸線,此時的截線為兩條母線(可視為退化的雙曲線),;,當(dāng),從,0,到,變化時,截面與圓錐面的兩部

16、分均有截線,截線為雙曲線,其離心率,e,=,越來越小,并趨近于;,當(dāng),=,時,截面此時與一條母線平行,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率,e,=1;,當(dāng),從,到,90,變化時,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率,e,=,越來越小,得到的橢圓越來越圓;,當(dāng),=90,時,截面與軸線垂直,得到的截線為圓(可視為退化的橢圓),.,從以上過程可知,圓錐曲線中,拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置,也是分界線,.,它既是離心率無限趨于,1,的雙曲線的極限情況,也是離心率無限趨于,1,的橢圓的極限情況,.,學(xué)例,1,(2008,浙江卷,),如圖,,AB,是平面,的斜線段,,A,為斜足,若點(diǎn),P,在平面,內(nèi)運(yùn)動,使得,ABP,的面積為定值,則動點(diǎn),P,的軌跡是(),B,A.,圓,B.,橢圓,C.,一條直線,D.,兩條平行直線,因為,ABP,的面積為定值,且,AB,為定長,所以點(diǎn),P,到,AB,的距離,d,為定值,則點(diǎn),P,的軌跡是以,AB,為軸線,以,d,為半徑的圓柱面被平面,所截得的橢圓,故選,B.,本節(jié)完,謝謝聆聽,立足教育,開創(chuàng)未來,

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