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1、Click to edit Master title style,,Click to edit Master text styles,,Second level,,Third level,,Fourth level,,Fifth level,,*,,*,,,,第一級標題 黑體,,深藍,28,號,,第二級標題 黑體,,黑色,24,號,,第三級標題 黑體,,黑色,20,號,,*,,大標題 黑體 白色,36,號,,,第二章 曲 線 論,§2.1,正則參數(shù)曲線,(,一）、參數(shù)曲線,1.,參數(shù)曲線：,2.,曲線的參數(shù)方程：,,一、曲線的參數(shù)表示,取定正交標架,,,中的一條曲線,,是一個連續(xù)映,,

2、稱 為,參數(shù)曲線,.,幾何上，參數(shù)曲線,,是映射,,的像,.,引例：從圓的方程到動點軌跡,.,則曲線上的點,其中,,為曲線的,參數(shù),，,(1.1),稱為曲線 的,參數(shù)方程,.,(,二）、（向量）參數(shù)表示實例,例,1.,開橢圓弧的參數(shù)表示：,一、曲線的參數(shù)表示,例,2.,圓柱螺線,的參數(shù)表示：,其中,,是常數(shù)，,例,3.,曲線,與曲線,同像不同長,.,(,一）、切線方程,由定義可知,二、正則曲線,導數(shù),的,幾何意義,：,割線的極限位置就是曲線的,切線,.,,稱為該曲線的,切向量,.,切線方程為：,如果,則,,是該曲線在,,處切線的方向向量，,其中,,是固定的，,,是切線上點的參數(shù)，,,是切

3、線上點的位置向量,.,(,二）、正則曲線,二、正則曲線,,定義,2.1,.,如果曲線 的參數(shù)表示,,是 階連續(xù)可微的，,則稱 是,類曲線,.,的點稱為 的,正則點,，否則成為奇點,.,無奇點的 類曲線稱為,正則,(,參數(shù),),曲線,.,將,參數(shù)增大的方向稱為曲線的,正向,.,1.,相關(guān)概念：,上述定義與,,中直角坐標系的選取無關(guān),.,注： 正則,2.,實例,二、正則曲線,例,3.,開橢圓弧,是正則曲線，因,例,4.,圓柱螺線,是正則曲線，因,例,5.,半三次曲線,不是正則曲線,,,,,,,,,圖,2-3,參數(shù)方程的連續(xù)可微性和曲線的正則性（光滑性）是不同的概念,.,3.,注記

4、,二、正則曲線,,注,1.,在一段曲線上 則 為常向量,.,反之，若在 處,則由 的連續(xù)性，在 附近， 故,奇點總是孤立的,.,注,2.,考察 中,,軸的,兩種,參數(shù)表示：,顯然,(1),是正則表示，,(2),不是,.,只要有一,種參數(shù)表示是正則的曲線必為正則曲線,.,三、容許的參數(shù)變換,曲線的參數(shù),表示不是唯一的,（如上例或,圓周,）,.,2.,保定向的參數(shù)變換：,可允許的參數(shù)變換在所有正則參數(shù)曲線之間建立了一種等價關(guān)系,.,等價的正則參數(shù)曲線看作是同一條曲線，稱為一條正則曲線,.,約定,.,只允許做保持定向參數(shù)變換的正則參數(shù)曲線的等價類被稱為

5、是一,,條,有向正則曲線,.,1.,可容許的參數(shù)變換：,四、曲線的其他表示,1.,平面曲線的一般方程 和隱式方程,2.,空間曲線的一般方程,（必正則）,和隱式方程,這些方程可以化為參數(shù)方程,.,(,習題,4,：正則曲線總可以用一般方程表示,),梯度矩陣秩為,2,習題,2,，,4,.,課外作業(yè)：,,微分幾何 慕課邀請碼,內(nèi)容總結(jié),第二章 曲 線 論。§2.1 正則參數(shù)曲線。中的一條曲線 是一個連續(xù)映。稱 為參數(shù)曲線.。幾何上，參數(shù)曲線 是映射 的像.。(二）、（向量）參數(shù)表示實例。其中 是常數(shù)，。割線的極限位置就是曲線的切線.。的點稱為 的正則點，否則成為奇點.。無奇點的 類曲線稱為正則(參數(shù))曲線.。將參數(shù)增大的方向稱為曲線的正向.。上述定義與 中直角坐標系的選取無關(guān).。注： 正則。參數(shù)方程的連續(xù)可微性和曲線的正則性（光滑性）是不同的概念.。注2.考察 中 軸的兩種參數(shù)表示：。顯然(1)是正則表示，(2)不是.。只要有一種參數(shù)表示是正則的曲線必為正則曲線.。曲線的參數(shù)表示不是唯一的（如上例或圓周）.?？稍试S的參數(shù)變換在所有正則參數(shù)曲線之間建立了一種等價關(guān)系.。等價的正則參數(shù)曲線看作是同一條曲線，稱為一條正則曲線. 約定.。只允許做保持定向參數(shù)變換的正則參數(shù)曲線的等價類被稱為是一。這些方程可以化為參數(shù)方程.,