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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 直線、平面、簡單幾何體（二）教案同步教案 新人教A版 本講重點 9.4直線與平面垂直的判定和性質(zhì) 9.5兩個平面平行的判定和性質(zhì) 9.6兩個平面垂直的判定和性質(zhì) 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1．直線和平面垂直的判定 （1）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。 （2）兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。 （3）一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另外一個平面。 （4）若兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于這兩個平面交線的直線垂直于另外一個平面。 2．直線與平面垂直的性質(zhì) （1）如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 （2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線。 3．兩個平面平行的判定 （1）如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。 （2）同垂直于一條直線的兩個平面平行。 （3）同平行于一個平面的兩個平面平行。 4．兩個平面平行的性質(zhì) （1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面 （2）如果兩個平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 5．面面垂直的判定 （1）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。 （2）利用二面角的大小為90℃加以判定。 6．三垂直定理及其逆定理 （1）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這個斜線垂直。 （2）三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線的射影垂直。 7．射影定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中： （1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長； （2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長； （3）垂線段比任何一條斜線段都短。 8．最小角定理： 斜線和平面所成的角，是這條斜線段和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角。 9．掌握直線與平面所成角的定義及其范圍，如圖所示：平面，有，在解選擇、填空題時可以加快解題速度。 10．掌握二面角、二面角的平面角的定義及其范圍，掌握求解二面角的一般方法：①利用三垂線定理及其逆定理作出二面角的平面角；②證明所作的角為二面角的平面角；③解，求出平面角的大??；④下出結(jié)論。另外，利用面積射影定理：來求解，也能提高解題速度，其中為二面角的平面角，分母是平面圖形的面積，分子是比平面圖形在二面角的另一個面內(nèi)的射影的面積。 11．常見的幾何結(jié)論： （1）如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。 另外，此結(jié)論的條件改為平面外一點與角的頂點的連線與角的兩邊所成的角相等，結(jié)論依然成立。 （2）兩個平面同時垂直于第三個平面，那么這兩個平面有交線的話，這條交線與第三個平面垂直。 （3）設(shè)是任一平面，點P是空間任一點，則過點P有且只有一條直線是的垂線；設(shè)是任一直線，點P是空間任一點，則過點P有且只有一個平面是的垂面。 （4）若兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于另外一個平面的直線必在這個平面內(nèi)。 12．本講主要要求學(xué)生靈活掌握線面垂直、線線垂直、面面垂直、面面平行的判定及性質(zhì)定理，并加以靈活運用，要牢記定理及常見的幾何結(jié)論，拓寬知識面，培養(yǎng)思維的敏捷性和發(fā)散性。 例題選講 例1．如圖，PO是平面的斜線，O是斜足，于A，BC是內(nèi)過點O的直線，若是銳角，則有 A． B． C． D． 解：過A作于D，連結(jié)PD ， 平面PAD， 設(shè)，， ， 是平面的斜線，是銳角 又、都是銳角 ， 故應(yīng)選（C）。 注：結(jié)論“”應(yīng)熟練掌握，在解題時有著廣泛的應(yīng)用，從上述結(jié)論容易證得：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小角。 例2．在正方體中，求BD與平面所成的角。 解：連結(jié)，（法一）設(shè)，連結(jié)PO，過B作于。平面 平面 平面 斜線BD在平面上的射影為DE，斜線BD與平面所成的角為。 在直角梯形中，容易求得 與平面所成的角為。 注：求斜線與平面所成的角一般有三個步驟： （1）求出斜線在給定平面內(nèi)的射影； （2）指出并論證斜線與平面所成的角是哪一個角； （3）在含有斜線與平面所成的角的三角形中，利用平面幾何或三角函數(shù)知識求出這個角。 以上三個步驟中，第一步是關(guān)鍵。 解法二、在正方體中，由對稱性可知： 斜線BD在平面內(nèi)的射影是的角平分線DO，即為斜線與平面所成的角。同法一，解得。 例3．已知 ABCD中，，，將它沒對角線AC折成的二面角。 求（1）B、D兩點間的距離； （2）線段BD與平面ABC所成的角； （3）二面角D—AB—C的大小。 解：（1）在平面ABC內(nèi)過點C作CE//AB 又，則是二面角D—AC—B的平面角 ，異面直線AB和CD所成的角為，且AC是異面直線AB和CD的公垂線 即B、D點的距離為。 （2），，，平面CDE 平面ABC 平面平面CDE 作于F，連BF 則平面ABC 為線段BD與平面ABC所成的角 在直角中，，在直角中， 線段BD與平面ABC所成的角為 （3）在平面ABC內(nèi)過點F作于G，連DG 平面ABC （三垂線定理） 在直角中，，， 二面角D—AB—C的大小為 例4．在正方體中，E、F分別是、的中點。 （1）證明 （2）求AE與D1F所成的角； （3）證明面AED⊥面A1FD1 （1）證明：是正方體 面DC1，又面 （2）解：取AB的中點G，連A1G、FG F上CD的中點 ∴GF∥＝AD； 又A1D1∥＝AD，∴GF∥＝A1D1 ∴GFD1A1是平行四邊形 A1G//D1F 設(shè)A1G與AE相交于點H，則∠AHA1即為AE與D1FFG所成的角。 ∵E是BB1的中點 即直線AE與DF所成的角為直角 （3）證明：由（1）可知AD⊥D1F 由（2）知AE⊥D1F 又ADAE=A ∴D1F⊥面AED 而D1F面A1FD 面AED⊥面A1FD 例5．已知二面角為，點A和點B分別在平面和平面內(nèi)，點C在棱PQ上， （1）求證：AB⊥PQ； （2）求點B到平面的距離； （3）設(shè)R是線段CA上的一點，直線BR與平面所成角的大小為，求線段CR的長度。 （1）證：在平面內(nèi)作BD⊥PQ于D，連AD。 ∵∠BCD＝∠ACD，且CA＝CB＝a，CD＝CD ∴△BCD≌△ACD ∴AD⊥PQ 于是PQ⊥平面ABD ∴AB⊥PQ （2）解：∵BD⊥PQ，AD⊥PQ ∴∠ADB為二面角的平面角， 在中， ∵BC＝a 過B作BH⊥AD于H ∵PQ⊥平面ABD ∴平面ABD⊥平面 ，于是點B到平面的距離 （3）解：連HR 是BR與平面所成的角， 在中，AD＝AB， 為正三角形， 在中，AC＝BC＝a，由余弦定理得 在△BCR中，設(shè)CR＝x，由余弦定理得 即 即 解之得（不合）或 的長為 鞏固與練習(xí) 一、 選擇題： 1．設(shè)a、b、c是空間的三條直線，下面給出四個命題： ①若a⊥b，b⊥c，則a//c； ②若a、b是異面直線，b、c是異面直線，a、c也是異面直線； ③若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面； 其中真命題的個數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．二面角的平面角是銳角，C是面內(nèi)的一點（不在棱AB上），點D是點C在面內(nèi)的射影，點E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任意一點，則（ ） A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB＝∠DEB C．∠CEB＜∠DEB D．∠CEB與∠DEB的大小關(guān)系不確定 3．E、F分別是正三角形ABC邊AB、AC的中點，以EF為棱折成角二面角A—EF—BC，這時設(shè)，下面結(jié)論成立的是（ ） A． B． C． D． 二、填空題 4．A是直二面角的棱上的一點，兩條長均為a的線段AB、AC分別在面、內(nèi)，且與均成角，則BC的長為 。 5．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，CD是∠ACB的平分線，沿CD把△ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，這時AB與平面BCD所成角的正切值為 。 6．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝AA1＝b，P是棱AB上的一點，則A1P＋PC的最小值為 。 三、解答題 7．設(shè)△ABC和△DBC所在的兩平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，，求： （1）AD與平面BCD所成的角； （2）AD與BC所成的角； （3）二面角A—BD—C的大小。 8．設(shè)S是△所在平面外的一點，SA＝SB＝SC，，，，當(dāng)平面SAB⊥平面ABC時，求證：。 9．直角三角形ACB中，AB＝BC，E在AC上，過E作EF//BC交AB于F，以EF為軸將△折成平面角為的二面角，此時斜邊AC被折成折線AEC，設(shè)，求證： 10．自平面外一點P至平面引斜線PA、PB和垂線PC（A、B為斜足，C為垂足），PB、PA分別與平面所成的兩角差為，，，D為AB的中點，，求 （1）AC、BC的長； （2）點P到平面的距離； 參考答案 一、1．D 2．A 3．C 二、4．或 5． 6． 三、7．； ； 10．（1）12、2 （2）6或4