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2019-2020年高三數(shù)學總復習 冪函數(shù)教案 理 教材分析 冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是在學生系統(tǒng)學習了函數(shù)概念與函數(shù)性質之后，全面掌握有理指數(shù)冪和根式的基礎上來研究的一種特殊函數(shù)，是對函數(shù)概念及性質的應用．從教材的整體安排看，學習了解冪函數(shù)是為了讓學生進一步獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，為今后學習三角函數(shù)等其他函數(shù)打下良好的基礎．在初中曾經研究過y＝x，y＝x2，y＝x－1三種冪函數(shù)，這節(jié)內容，是對初中有關內容的進一步的概括、歸納與發(fā)展，是與冪有關知識的高度升華．知識的安排環(huán)環(huán)緊扣，非常緊湊，充分體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程．對冪函數(shù)進行系統(tǒng)的理論研究，在研究過程中得出相應的結論固然重要，但更為重要的是，要讓學生了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法．這節(jié)課要特別讓學生去體會研究的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數(shù)的研究． 教學目標 1. 通過對冪函數(shù)概念的學習以及對冪函數(shù)圖像和性質的歸納與概括，讓學生體驗數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)學生的抽象概括能力． 2. 使學生理解并掌握冪函數(shù)的圖像與性質，并能初步運用所學知識解決有關問題，培養(yǎng)學生的靈活思維能力． 任務分析 學生對抽象的冪函數(shù)及其圖像缺乏感性認識，不能夠在理解的基礎上來運用冪函數(shù)的性質．為此，在教學過程中讓學生自己去感受冪函數(shù)的圖像和性質是這一堂課的突破口．因此，這節(jié)課的難點是冪函數(shù)圖像和性質的發(fā)現(xiàn)過程，教學重點是冪函數(shù)的性質及運用．首先，從學生已經掌握的最簡單的冪函數(shù)y＝x，y＝x2和y＝x-1的知識出發(fā)，利用實例，由師生共同歸納、總結出冪函數(shù)的定義，認清冪函數(shù)的特點，深刻理解其定義域．其次，舉出幾個簡單的冪函數(shù)引導學生從定義出發(fā)研究其定義域、值域、奇偶性、單調性、是否過公共定點這幾個性質，讓學生自己去探究，把主動權交給學生．然后，再由學生自己結合性質去畫冪函數(shù)的圖像，讓學生在獲得一定的感性認識的基礎上，通過歸納、比較上升為理性認識，從而形成對概念與性質的完整認識．最后通過例題3與練習，讓學生利用圖像與性質，比較兩個數(shù)的大小，從而提高學生獲取知識的能力． 教學設計 一、問題情景 下列問題中的函數(shù)各有什么共同特征？ （1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她應支付p＝w元．這里p是w的函數(shù)． （2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積為S＝a2．這里S是a的函數(shù)． （3）如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積為V＝a3．這里V是a的函數(shù)． （4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長為a＝．這里a是S的函數(shù)． （5）如果某人t（s）內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度為v＝t-1（km／s）．這里v是t的函數(shù)． 由學生討論，總結，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自變量的若干次冪的形式． 教師指出：我們把這樣的都是自變量的若干次冪的形式的函數(shù)稱為冪函數(shù)． 二、建立模型 定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫作冪函數(shù)，其中x是自變量，a是實常數(shù)． 教師指出：由于無理指數(shù)冪的意義我們還沒學到，因此目前只討論a是有理數(shù)的情況． 思考討論：在冪函數(shù)y＝xn中，當n＝0時，其表達式怎樣？定義域、值域、圖像如何？ 教師指出：此時y＝x0＝1；定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），特別強調，當x為任何非零實數(shù)時，函數(shù)的值均為1，圖像是從點（0，1）出發(fā)，平行于x軸的兩條射線，但點（0，1）要除外． 三、解釋應用 ［例題一］ 1. 求下列函數(shù)的定義域． 解：（1）R．?。?）R．?。?）｛x｜x≥0｝．?。?）｛x｜x∈R且x≠0）．（5）｛x｜x＞0｝． 2. 求下列函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性． 解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函數(shù)．（2）R，非奇非偶函數(shù)．（3）R，奇函數(shù)．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函數(shù)． ［問題探究］ 1. 對于冪函數(shù)y＝xa，討論當a＝1，2，3，，－1時的函數(shù)性質． 表13-1 以上問題給學生留出充分時間去探究，教師引導學生從函數(shù)解析式出發(fā)來研究函數(shù)性質． 2. 在同一坐標系中，畫出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的圖像，并歸納出它們具有的共同性質． 教師講評：冪函數(shù)的性質． （1）所有的冪函數(shù)在（0，＋∞）上都有定義，并且圖像都過點（1，1）． （2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖像通過原點，并在區(qū)間［0，＋∞）上是增函數(shù)． （3）如果a＜0，則冪函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖像在y軸右方無限地趨近y軸；當ｘ趨向于＋∞時，圖像在x軸上方無限地趨近ｘ軸． 思考討論：（1）在冪函數(shù)y＝xa中，當a是正偶數(shù)時，這一類函數(shù)有哪種重要性質？ （2）在冪函數(shù)y＝xa中，當a是正奇數(shù)時，這一類函數(shù)有哪種重要性質？ 教師講評：（1）在冪函數(shù)y＝xa中，當a是正偶數(shù)時，函數(shù)都是偶函數(shù)，在第一象限內是增函數(shù)． （2）在冪函數(shù)y＝xa中，當a是正奇數(shù)時，函數(shù)是奇函數(shù)，在第一象限內是增函數(shù)． ［例題二］ 比較下列各題中兩個值的大?。? 解：（1）∵冪函數(shù)y＝x1.5是增函數(shù)，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5． （2）∵冪函數(shù)y＝是減函數(shù)，又2.2＞1.8，∴ 注意：由于學生對冪函數(shù)還不是很熟悉，所以在講評中要刻意體現(xiàn)出冪函數(shù)y＝x1.5與y＝的圖像的畫法，即再一次讓學生體會根據(jù)解析式來畫圖像解題這一基本思路． ［練　習］ 比較下列各題中兩個值的大小． 四、拓展延伸 1. 如果把函數(shù)圖像向上凸的函數(shù)稱為凸函數(shù)，把函數(shù)圖像向下凸的函數(shù)稱為凹函數(shù)，對于冪函數(shù)y＝xa，x∈［0，＋∞），當a＞0且a≠1時，研究其凸凹性． 2. 研究冪指數(shù)與冪函數(shù)奇偶性的關系． 3. 研究冪指數(shù)與冪函數(shù)單調性的關系． （以上問題的探究可以借助計算機來完成） 點　評 這篇案例的突出特點是，緊緊圍繞教學目標，遵循直觀式、啟發(fā)式原則而展開．在這節(jié)課中，教師放手讓學生去探索與研究，并在一旁適時地引導學生根據(jù)幾個實例函數(shù)的公共特點歸納、總結冪函數(shù)的定義，對幾個特殊冪函數(shù)的性質先進行初步探索，再根據(jù)研究的結果結合描點作圖畫出冪函數(shù)的圖像，讓學生觀察和分析所作的圖像，歸納得出圖像特征，并由圖像特征得到相應的函數(shù)性質，讓學生充分體會系統(tǒng)研究函數(shù)的方法．整個教學過程的絕大部分時間都給了學生，讓學生動腦動手．通過對同類舊知識的回憶，充分引導學生利用數(shù)形結合，找出與新知識的連接點，并在對照、類比分析中找出規(guī)律．這些均提高了學生學習的積極性和自學能力，培養(yǎng)了他們的科學精神和創(chuàng)新思維習慣．最后“拓展延伸”的設計又把學生的思維推向了更廣闊的空間．