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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 柱、錐、臺(tái)體的體積教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)完多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)、畫法、側(cè)面積、表面積以后，在體積概念與體積公理的基礎(chǔ)上，研究柱、錐、臺(tái)體的體積．其中柱體體積是基礎(chǔ)，并且由柱體體積可推導(dǎo)出錐體體積，而根據(jù)錐體體積又可得出臺(tái)體體積．柱、錐、臺(tái)體的體積是立體幾何的重要內(nèi)容，是歷年高考的重點(diǎn)．通過這節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，既要使學(xué)生知道三種幾何體體積的公式，又要讓學(xué)生知道這些公式是怎么得出的．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)是教學(xué)的重中之重． 教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生掌握柱、錐、臺(tái)體的體積公式及其初步應(yīng)用． 2. 通過對(duì)三種幾何體體積公式的探索，使學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、類比、歸納、猜想等方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括及邏輯推理能力． 3. 通過三種幾何體體積公式的探索，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、刻苦鉆研、孜孜以求的毅力及勇于探索、創(chuàng)新的精神． 任務(wù)分析 對(duì)于體積這一內(nèi)容，學(xué)生早在小學(xué)就有了初步認(rèn)識(shí)，如長(zhǎng)方體的體積公式．但如何推導(dǎo)錐、臺(tái)體體積是目前的重要任務(wù)．三種幾何體的體積公式的推導(dǎo)有著密切的聯(lián)系，教學(xué)時(shí)要不斷強(qiáng)化三者之間的關(guān)系，強(qiáng)化借助用已知來研究未知這種探索問題的一般性的研究方法．柱、錐體體積公式推導(dǎo)的理論基礎(chǔ)是祖 原理．為此，必須將祖 原理要求的三個(gè)條件務(wù)必要落實(shí)到位，只有這樣，棱柱、圓柱與長(zhǎng)方體之間的體積轉(zhuǎn)化以及一般棱錐與三棱錐之間的體積轉(zhuǎn)化才能水到渠成．三棱錐體積公式的推導(dǎo)是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．要充分利用多媒體，通過課件演示，生動(dòng)形象地表現(xiàn)三棱錐與三棱柱體積之間的關(guān)系，讓學(xué)生充分體會(huì)割補(bǔ)變換這一數(shù)學(xué)思想．最后，利用臺(tái)體的定義，并緊扣臺(tái)體與錐體的關(guān)系，求出臺(tái)體體積． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 在多媒體屏幕上播出阿基米德利用水來辨別金王冠純度高低的故事．通過這個(gè)故事教師指出，在古代，人們就對(duì)體積的求法進(jìn)行了探索．接著指出我國(guó)古代在公元5世紀(jì)對(duì)體積曾進(jìn)行過比較深入的研究，引出祖 原理． 二、建立模型 （一）祖 原理 在屏幕上顯示祖 原理． 教師強(qiáng)調(diào)這個(gè)原理在歐洲直到17世紀(jì)才被意大利的卡瓦列里提出，比祖 之晚1100年以上，目的在于激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)熱情． 1. 學(xué)生討論 教師啟發(fā)能否根據(jù)原理的思想，利用手中的課本等道具把這個(gè)原理解釋一下． 2. 練　習(xí) 設(shè)有底面積與高都相等的長(zhǎng)方體和六棱柱，思考這兩個(gè)幾何體的體積有何關(guān)系． 說明：由于祖 原理?xiàng)l件比較復(fù)雜，學(xué)生不易弄清，教師要把已知條件分析清：（1）這兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間．（2）用平行于兩個(gè)平行平面的任一平面去截兩幾何體可得兩個(gè)截面．（3）兩個(gè)截面的面積相等．只有這三個(gè)條件都具備，才能得出兩個(gè)幾何體的體積相等． （二）柱體體積公式的推導(dǎo) ［問　題］ 設(shè)有底面積都等于S，高都等于h的任意一個(gè)棱柱，一個(gè)圓柱，如何求這兩個(gè)幾何體的體積？ 為了把這個(gè)問題讓學(xué)生水到渠成地想出來，可以提出以下幾個(gè)階梯性的問題． （1）柱體體積公式目前不知道，那么同學(xué)們會(huì)求什么特殊幾何體的體積呢？ （2）根據(jù)剛才對(duì)祖 原理的研究發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)幾何體滿足祖 原理中的三個(gè)條件，那么這兩個(gè)幾何體的體積就可以相互轉(zhuǎn)化．柱體的體積公式目前不會(huì)求，能否利用祖 原理把目標(biāo)幾何體的體積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的體積呢？教師進(jìn)一步引導(dǎo)：構(gòu)造一長(zhǎng)方體，使已知的棱柱、圓柱與構(gòu)造的長(zhǎng)方體滿足祖 原理的條件． （3）長(zhǎng)方體如何出現(xiàn)呢？ 讓學(xué)生討論得出：已知棱柱、圓柱目前已經(jīng)夾在兩平行平面之間，并且底面積相等，所以只要在兩平行平面之間放一個(gè)與前面兩幾何體底面積相等、高相等的長(zhǎng)方體即可．根據(jù)祖 原理這三個(gè)幾何體的體積相等，而長(zhǎng)方體體積可以利用底面積乘高求得，故兩目標(biāo)幾何體的體積也就得出了． 教師在大屏幕上顯示推導(dǎo)過程：先把棱柱放在兩平行平面之間，然后再讓長(zhǎng)方體出現(xiàn)，最后動(dòng)態(tài)地顯示三個(gè)幾何體被平行于兩個(gè)平行平面的任一平面去截兩幾何體可得三個(gè)截面；三個(gè)截面的面積相等． 教師明晰：柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積，即V柱體＝Sh． ［練　習(xí)］ 已知一圓柱的底面半徑r，高是h，求圓柱的體積． 教師明晰：底面半徑為r，高為h的圓柱的體積V圓柱＝Sh＝πr2h． （三）錐體體積公式的推導(dǎo) 1. 等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積的關(guān)系 ［問　題］ （1）剛才我們利用祖 原理獲得了等底面積等高的柱體與長(zhǎng)方體（兩個(gè)柱體）等體積，那么等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積之間有什么關(guān)系呢？ （2）你們?cè)趺粗浪鼈兊捏w積是相等的？ （有的學(xué)生會(huì)說是估計(jì)的） （3）能證實(shí)你們估計(jì)的結(jié)論（猜想）嗎？ （有了前面連續(xù)兩次用祖 原理證明等底等高的兩個(gè)柱體體積相等，學(xué)生的這個(gè)猜想就比較容易再次利用祖 原理來證明） 師生共同分析：用祖 原理． 設(shè)有任意兩個(gè)錐體，不妨選取一個(gè)三棱錐，一個(gè)圓錐，并設(shè)它們的底面積都是S，高都是h（如圖20-1）． （1）把這兩個(gè)錐體的底面放在同一個(gè)平面α上．由于它們的高相等，故它們的頂點(diǎn)必在與α平行的同一個(gè)平面β上，即這兩個(gè)錐體可夾在兩個(gè)平行平面α，β之間． （2）用平行于平面α的任意平面去截這兩個(gè)錐體，設(shè)截面面積分別為S1，S2，截面和頂點(diǎn)的距離是h1，體積分別為V1，V2，則由錐體平行于底面的截面性質(zhì)，知．所以，故S1＝S2．由祖 原理，知V1＝V2． （學(xué)生敘述，教師板書） 結(jié)論：如果兩個(gè)錐體的底面積相等，高也相等，那么它們的體積相等． 教師明晰：等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積相等． （由學(xué)生提出問題、分析問題并解決問題，這是對(duì)學(xué)生高層次的要求．當(dāng)學(xué)生達(dá)不到這個(gè)層次時(shí)，可由教師提出問題，學(xué)生分析問題和解決問題．教師提出問題后要給學(xué)生觀察、比較、分析、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的時(shí)間．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾提出：只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)發(fā)明的過程，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜想、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢茫孪牒筮€要嚴(yán)格地證明，合情推理與邏輯推理并重，既教證明又教猜想，這才是解決問題的完整過程） 2. 錐體體積公式的推導(dǎo) 教師啟發(fā)：上述定理只是回答了具有等底面積、等高的兩個(gè)錐體的體積之間的相等關(guān)系，但這個(gè)體積如何求出，能否像柱體那樣有一個(gè)體積公式仍然是一個(gè)謎．然而它給了我們一個(gè)求錐體體積的有益啟示：只須找到一個(gè)“簡(jiǎn)單”的錐體作為代表，如果這個(gè)代表的體積求出來了，那么，根據(jù)等底面積等高的兩個(gè)錐體的體積即可獲得其他錐體的體積． ［問　題］ （1）用怎樣的“簡(jiǎn)單”錐體作代表來研究呢？ （2）如何求這類錐體的體積呢？ （此時(shí)學(xué)生思考受阻，可由教師啟發(fā)） （3）任何新知識(shí)都是在已知舊知識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，現(xiàn)在我們已經(jīng)能求出柱體的體積．那么三棱錐的體積能否借助柱體的體積公式來求呢？ 教師啟發(fā)：可以嘗試補(bǔ)成三棱柱，然后考慮三棱錐與三棱柱之間體積的關(guān)系． 此時(shí)應(yīng)該給學(xué)生留出充分的時(shí)間，讓他們?cè)诰毩?xí)本上把如圖20-2三棱錐A′—ABC以底面△ABC為底面，AA′為側(cè)棱補(bǔ)成一個(gè)三棱柱ABC—A′B′C′． 教師利用多媒體把這個(gè)三棱柱補(bǔ)出來（在屏幕上動(dòng)態(tài)地補(bǔ)出）． （4）在三棱柱中，除三棱錐A′—ABC外的幾何體是不規(guī)則的，如能轉(zhuǎn)化成規(guī)則的就好了，如何轉(zhuǎn)化呢？ 教師啟發(fā)：連接點(diǎn)B′，C，就可把這個(gè)不規(guī)則的幾何體分割成兩個(gè)三棱錐． 教師利用屏幕動(dòng)態(tài)顯示分割過程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱錐（1），（2），（3）．如圖20-3． （5）思考一下分割而得的三個(gè)三棱錐之間有何關(guān)系？ 學(xué)生討論得出：體積相等． （6）為什么相等？試簡(jiǎn)要證明． （引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)錐體等體積的依據(jù)———前面定理的條件： （1）等底面積．（2）等高） 師生共同分析，同時(shí)教師板書：在三棱錐（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它們有相同頂點(diǎn)C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱錐（3），（4）中，SBCB′＝S△B′C′C，它們有相同頂點(diǎn)A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）＝V（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh． （7）一般錐體的體積又如何呢？ 設(shè)一般錐體的底面積為S，高為h．師生共同得出V錐體＝Sh（師板書）． （8）如何對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行證明？ 教師引導(dǎo)：構(gòu)造一個(gè)三棱錐，使其底面積為S，高為h，由于等底面積等高的錐體的體積相等，故V錐體＝V三棱錐＝Sh． 三、應(yīng)用與拓展 臺(tái)體體積公式的推導(dǎo)．已知棱臺(tái)ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面積為S上，S下，高為h，求證V棱臺(tái)＝（S上＋＋S下）． 為了解決臺(tái)體體積的求法可問學(xué)生下列階梯性問題： （1）臺(tái)體是如何定義的？ （2）臺(tái)體與被截的棱錐的體積有何關(guān)系？ （3）要求的臺(tái)體體積，只要求出棱錐與截后所得小棱錐的體積即可，要求棱錐的體積，有那些條件，還缺什么條件，如何求呢？ 隨著問題的一個(gè)個(gè)解決，思路也就水到渠成了． （分析完思路后，解題過程在大屏幕上打出） 教師明晰：臺(tái)體體積公式：一般地，棱臺(tái)的體積公式是V棱臺(tái)＝h（S上＋＋S下），其中S上，S下和ｈ分別為棱臺(tái)上底面積、下底面積和高． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例重在教師啟發(fā)下，讓學(xué)生進(jìn)行一定量的思維活動(dòng)．在公式的推導(dǎo)過程中，由于教師的階梯式提問，不斷創(chuàng)設(shè)思維情景，使學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生的思維品質(zhì)得到了鍛煉和提高． 在錐體體積公式推導(dǎo)的過程中，教師不斷滲透聯(lián)系和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．在這篇案例中，體現(xiàn)了兩次重要的轉(zhuǎn)化，一次是利用祖 原理將錐體體積公式的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為三棱錐體積公式的推導(dǎo)，簡(jiǎn)化了研究系統(tǒng)；一次是利用割補(bǔ)變換建立了三棱錐與三棱柱之間的體積關(guān)系．其中，第一次轉(zhuǎn)化是通過邏輯推理實(shí)現(xiàn)的，第二次轉(zhuǎn)化是通過圖形變換實(shí)現(xiàn)的． 這篇案例之所以突出公式形成的過程，是為了使學(xué)生在參與公式的推導(dǎo)過程中能在數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法和思維教育等方面吸收更多的營(yíng)養(yǎng)． 這篇案例使用了計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，特別是在體現(xiàn)三棱錐與三棱柱兩種之間幾何體之間的體積關(guān)系時(shí)使用，使三棱錐與三棱柱之間割補(bǔ)變換顯得直觀，生動(dòng)，形象，彌補(bǔ)了在黑板上畫圖動(dòng)感差且又浪費(fèi)時(shí)間的不足，也有利于學(xué)生對(duì)兩種幾何體之間關(guān)系的深刻認(rèn)識(shí)，發(fā)揮了計(jì)算機(jī)的良好輔助作用． 美中不足的是，作為反映新理念的教學(xué)案例，如果能從學(xué)生可以直接操作的有關(guān)模型入手，通過多媒體的三維動(dòng)態(tài)演示，使學(xué)生從直觀思維上升到空間的想象和邏輯推導(dǎo)，教學(xué)效果會(huì)更好．