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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第21講 幾何概型及隨機(jī)模擬教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： 1．了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義； 2．通過閱讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過程。 二．命題走向 本講內(nèi)容在高考中所占比較輕，縱貫近幾年的高考對(duì)概率要求降低，但本講內(nèi)容使新加內(nèi)容，考試涉及的可能性較大。 預(yù)測07年高考： （1）題目類型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，； （2）本建考試的重點(diǎn)內(nèi)容幾何概型的求值問題，我們要善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為概率模型處理。 三．要點(diǎn)精講 1．隨機(jī)數(shù)的概念 隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)任何一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的。 2．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法 （1）利用函數(shù)計(jì)算器可以得到0~1之間的隨機(jī)數(shù)； （2）在Scilab語言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a~b之間的隨機(jī)數(shù)。 3．幾何概型的概念 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； 4．幾何概型的概率公式： P（A）=。 5．幾種常見的幾何概型 （1）設(shè)線段l是線段L的一部分,向線段L上任投一點(diǎn).若落在線段l上的點(diǎn)數(shù)與線段L的長度成正比,而與線段l在線段l上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在線段l上的概率為： P=l的長度/L的長度 （2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點(diǎn),若落在區(qū)域g上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域g上概率為： P=g的面積/G的面積 （3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分,向區(qū)域V上任投一點(diǎn).若落在區(qū)域v上的點(diǎn)數(shù)與區(qū)域v的體積成正比,而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對(duì)位置無關(guān),則點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為： P=v的體積/V的體積 四．典例解析 題型1：線長問題 例1．一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的，將一條5米長的繩子隨機(jī)地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。 分析：類似于古典概型，我們希望先找到基本事件組，既找到其中每一個(gè)基本事件。注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，若把離繩AB首尾兩端1的點(diǎn)記作M、N，則顯然事件T所對(duì)應(yīng)的基本事件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)字（T包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù)）在引例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率似乎也是合理的。 解：P（T）=3/5。 例2．（磁帶問題）喬和摩進(jìn)行了一次關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了下來，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯(cuò)了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？ 解析：將3O分鐘的磁帶表示為長度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動(dòng)有關(guān)的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時(shí)間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點(diǎn)。 因此事件r是始于R線段的左端點(diǎn)且長度為的事件。因此,。 0← S →10 例3．假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率 ？ 解：以兩班車出發(fā)間隔 ( 0，10 ) 區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機(jī)地到達(dá)，即在這個(gè)長度是 10 的區(qū)間里任何一個(gè)點(diǎn)都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題。 要使得等車的時(shí)間不超過 3 分鐘，即到達(dá)的時(shí)刻應(yīng)該是圖中 A 包含的樣本點(diǎn)， p=== 0.3 。 題型2：面積問題 例4．投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方板構(gòu)成，并將此板分成四個(gè)邊長為1/2米的小方塊。實(shí)驗(yàn)是向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功，考慮事件A發(fā)生的概率。 分析與解答：類似于引例1的解釋，完全可以把此引例中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起，既事件組中的每一個(gè)基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個(gè)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的。這一點(diǎn)我們完全可以用引例1的方法驗(yàn)證其正確性。 解析：P（A）=（1/2）2/12=1/4。 例5．（CB對(duì)講機(jī)問題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時(shí)他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？ 解：設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離， 于是 則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生（如右圖）因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式 的數(shù)對(duì)組成，此不等式等價(jià)于 右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為 ， 于是有。 例6．(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板．邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心，當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)．可得到一個(gè)大餡餅；當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶，并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上，試求一顧客將嬴得： （a）一張大餡餅， （b）一張中餡餅， （c）一張小餡餅， （d）沒得到餡餅的概率 解析：我們實(shí)驗(yàn)的樣本空間可由一個(gè)邊長為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r1、r2、r3和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件。 ； ； ； 。 題型3：體積問題 例7．（1）在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。 解析：由于取水樣的隨機(jī)性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比，即2/400=0.005。 （2）如果在一個(gè)5萬平方公里的海域里有表面積達(dá)40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領(lǐng)域里隨意選定一點(diǎn)鉆探,問鉆到石油的概率是多少? 解析：由于選點(diǎn)的隨機(jī)性,可以認(rèn)為該海域中各點(diǎn)被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認(rèn)為等于貯油海域的面積與整個(gè)海域面積之比,即等于40/50000=0.0008。 例8．在線段[0，1]上任意投三個(gè)點(diǎn)，問由0至三點(diǎn)的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大。 解析：設(shè)0到三點(diǎn)的三線段長分別為x,y,z，即相應(yīng)的 z 右端點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z，顯然這三條線 1 C 段構(gòu)成三角形的充要條件是： A D 。 在線段[0，1]上任意投三點(diǎn)x,y,z。與立方體 0 1 y ，，中的點(diǎn) 1 一一對(duì)應(yīng)，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價(jià)于x B 邊長為1的立方體T中均勻地?cái)S點(diǎn)，而點(diǎn)落在 區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 ， 由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大。 題型4：隨機(jī)模擬 例9．隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率. 解析：半圓域如圖 0yx yx a x 設(shè)‘原點(diǎn)與該點(diǎn)連線與軸夾角小于’ 由幾何概率的定義 。 例10．隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)和，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率. 解析：，不等式確定平面域。 ‘’則發(fā)生的充要條件為不 1y y 1y 0.9 0.1 0y A S y 等式確定了的子域， 故： 例11. 曲線y=-x2+1與x軸、y軸圍成一個(gè)區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個(gè)正方形，向正方形中隨機(jī)地撒一把芝麻，利用計(jì)算機(jī)來模擬這個(gè)試驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。 答案：如下表，由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機(jī)數(shù)，它們分別表示隨機(jī)點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)。如果一個(gè)點(diǎn)（x,y）滿足y≤-x2+1，就表示這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應(yīng)地就填上1，否則填0。 x y 計(jì)數(shù) 0.598895 0.940794 0 0.512284 0.118961 1 0.496841 0.784417 0 0.112796 0.690634 1 0.359600 0.371441 1 0.101260 0.650512 1 … … … 0.947386 0.902127 0 0.117618 0.305673 1 0.516465 0.222907 1 0.596393 0.969695 0 五．思維總結(jié) 1．幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一； 2．有關(guān)幾何概率的題目難度不大，但需要準(zhǔn)確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問題； 3．學(xué)好幾何概率對(duì)于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。 4．關(guān)于幾何概型： （1）我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應(yīng)地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”； （2）幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域Ω，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決。