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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第34講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教案 新人教版 一．課標要求： 1．通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想； 2．掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。 二．命題走向 近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。 預測07年高考： 1．會出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題； 2．與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。 三．要點精講 1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關(guān)系 2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的。 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．這三種位置關(guān)系的判定條件可引導學生歸納為： 注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 3．直線與圓錐曲線相交的弦長公式 設(shè)直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 則弦長公式為： d====。 焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應于焦點的準線的距離，是離心率）。 四．典例解析 題型1：直線與橢圓的位置關(guān)系 例1．已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長。 解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。 由題意知：與聯(lián)立消去y得：。 設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理，，，又因為A、B、F都是直線上的點， 所以|AB|= 點評：也可讓學生利用“焦半徑”公式計算。 例2．中心在原點，一個焦點為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程。 解析：設(shè)橢圓的標準方程為，由F1（0，）得 把直線方程代入橢圓方程整理得：。 設(shè)弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得： ，又AB的中點橫坐標為， ，與方程聯(lián)立可解出 故所求橢圓的方程為：。 點評：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標準方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F1（0，）知，c=，，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。 例3．（06遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數(shù)為（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：將代入得：。 ，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。 點評：本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。 例4．（xx上海，17）已知橢圓C的焦點分別為F1（，0）和F2（2，0），長軸長為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。 解析：設(shè)橢圓C的方程為， 由題意a=3，c=2，于是b=1. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1． 由得10x2＋36x＋27＝0， 因為該二次方程的判別式Δ＞0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點， 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則x1＋x2＝， 故線段AB的中點坐標為（）． 點評：本題主要考查橢圓的定義標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點坐標公式。 題型2：直線與雙曲線的位置關(guān)系 例5．（1）過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。 （2）直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？ 解析：（1）解：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件； 若直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為則， ， ∴， ， 當時，方程無解，不滿足條件； 當時，方程有一解，滿足條件； 當時，令， 化簡得：無解，所以不滿足條件； 所以滿足條件的直線有兩條和。 （2）把代入整理得：……（1） 當時，。 由>0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。 若A、B在雙曲線的同一支，須>0 ，所以或。 故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。 點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。 例5．（1）求直線被雙曲線截得的弦長； （2）求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。 解析：由得得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則有 得， （2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應的中點為， 由得（*） 設(shè)方程（*）的解為，則， ∴， 且， ∴， 得或。 方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標為，弦中點為，則 得：， ∴， 即， 即（圖象的一部分） 點評：（1）弦長公式；（2）有關(guān)中點弦問題的兩種處理方法。 例7．過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。 解析：設(shè)雙曲線的方程為，，漸近線，則過的直線方程為，則， 代入得， ∴即得， ∴，即得到。 點評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。 題型3：直線與拋物線的位置關(guān)系 例8．已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。 解析：設(shè)與拋物線交于 由距離公式|AB|== 由 從而由于p>0，解得 點評：方程組有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交；有兩組相同實數(shù)解則相切；無實數(shù)解則相離。 例9．xx上海春，4）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是_____. 答案：（3，2） 解法一：設(shè)直線y=x－1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點為P（x0，y0）。 由題意得，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0。 ∴x0==3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）。 解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1， =4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。 故中點為P（3，2）。 點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關(guān)系.同時應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法。 例10．（1997上海）拋物線方程為y2=p（x+1）（p＞0），直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準線的右邊. （1）求證：直線與拋物線總有兩個交點； （2）設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R，OQ⊥OR，求p關(guān)于m的函數(shù)f（m）的表達式； （3）（文）在（2）的條件下，若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為，求此直線的方程； （理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點O到直線QR的距離不大于，求p的值的范圍. 解：（1）拋物線y2=p（x+1）的準線方程是x=－1－，直線x+y=m與x軸的交點為（m，0），由題設(shè)交點在準線右邊，得m＞－1－，即4m+p+4＞0. 由 得x2－（2m+p）x+（m2－p）=0. 而判別式Δ=（2m+p）2－4（m2－p）=p（4m+p+4）. 又p＞0及4m+p+4＞0，可知Δ＞0. 因此，直線與拋物線總有兩個交點； （2）設(shè)Q、R兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2－（2m+p）x+m2－p=0的兩根， ∴x1+x2=2m+p，x1x2=m2－p. 由OQ⊥OR，得kOQkOR=－1， 即有x1x2+y1y2=0. 又Q、R為直線x+y=m上的點， 因而y1=－x1+m，y2=－x2+m. 于是x1x2+y1y2=2x1x2－m（x1+x2）+m2=2（m2－p）－m（2m+p）+m2=0， ∴p=f（m）=， 由得m＞－2，m≠0； （3）（文）由于拋物線y2=p（x+1）的焦點F坐標為（－1+，0），于是有 ，即|p－4m－4|=4. 又p= ∴||=4. 解得m1=0，m2=－，m3=－4，m4=－. 但m≠0且m＞－2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線方程為3x+3y+4=0. （理）解法一：由于原點O到直線x+y=m的距離不大于，于是 ，∴|m|≤1. 由（2），知m＞－2且m≠0， 故m∈［－1，0）∪（0，1］. 由（2），知f（m）==（m+2）+－4， 當m∈［－1，0）時，任取m1、m2，0＞m1＞m2≥－1，則 f（m1）－f（m2）=（m1－m2）+（） =（m1－m2）［1－］. 由0＞m1＞m2≥－1，知0＜（m1+2）（m2+2）＜4，1－＜0. 又由m1－m2＞0知f（m1）＜f（m2）因而f（m）為減函數(shù). 可見，當m∈［－1，0）時，p∈（0，1］. 同樣可證，當m∈（0，1］時，f（m）為增函數(shù)，從而p∈（0，］. 解法二：由解法一知，m∈［－1，0）∪（0，1］.由（2）知 p=f（m）=. 設(shè)t=，g（t）=t+2t2，則t∈（－∞，－1］∪［1，+∞），又 g（t）=2t2+t=2（t+）2－. ∴當t∈（－∞，－1］時，g（t）為減函數(shù)，g（t）∈［1，+∞）. 當t∈［1，+∞）時，g（t）為增函數(shù)，g（t）∈［3，+∞）. 因此，當m∈［－1，0］時，t∈（－∞，－1］，p=∈（0，1］； 當m∈（0，1］時，t∈［1，+∞），p∈（0，］. 點評：本題考查拋物線的性質(zhì)與方程，拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線的距離，函數(shù)與不等式的知識，以及解決綜合問題的能力。 例11．（06山東卷）已知拋物線y2=4x，過點P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是 。 解析：顯然0，又＝4（）8，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。 點評：該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。 五．思維總結(jié) 1．加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復習 由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查； 2．關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果； 3．直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法； 4．當直線與圓錐曲線相交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設(shè)而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化。同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；