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2019-2020年高三數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)培優(yōu)輔導(dǎo)材料一人教版 一、教學(xué)內(nèi)容 統(tǒng) 計(jì) 二、學(xué)習(xí)指導(dǎo) 統(tǒng)計(jì)就是通過對(duì)樣本的研究來估計(jì)總體的相關(guān)情況。這種估計(jì)的可靠性，取決于兩個(gè)方面：一是對(duì)樣本恰當(dāng)?shù)牟杉?，二是?duì)樣本進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治? 1.在可能的情況下，樣本容量越大越好．在確定樣本容量后，對(duì)樣本的采集的原則只有一條：公平性．即使每個(gè)個(gè)體被采入的概率相等（即若總體容量為N，樣本容量為n，應(yīng)使每個(gè)個(gè)體被采入的概率均為）． 為此，我們常用以下二種樣本采集方法： （1）簡單隨機(jī)抽樣法．――傳統(tǒng)常用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法，一般適用于樣本容量較小者. 其中隨機(jī)數(shù)表法初學(xué)者易產(chǎn)生一些誤解，故應(yīng)指出： ①第二步中“任選一數(shù)”才能保證公平性，不必也不能每次都仿課本中例題那樣選“5”, ②課本例題中“向右”他是照顧閱讀習(xí)慣而已，從理論上說，也可向左、向上、向下、 向左下、向右上等方向，甚至可以有規(guī)律地“跳讀”．但這不意味著“隨意讀”讀法，就人為地破壞了“公平性”．（前一句話中“有規(guī)律”的說法也是為了避免無意間破壞了這種“公平性”） ③不要認(rèn)為隨機(jī)數(shù)表中兩數(shù)一節(jié)，只適用于二位數(shù)，這只是便于你閱讀的一種印刷方式而已，一位數(shù)，三位數(shù)等也適用； （2）分層抽樣． ――當(dāng)總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，為了充分利用已有信息，同時(shí)也是為了更好地用樣本估計(jì)總體，應(yīng)采用分層抽樣。但要注意：①每層中抽取的樣本數(shù)應(yīng)為n1（n1為該層總個(gè)數(shù)，n為樣本容量，N為總體個(gè)數(shù)）； ②在每層中應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣。 2．用樣本估計(jì)總體，一般應(yīng)做如下幾件事： （1）頻率分布．先求樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，（稱為極差），再確定合適的組數(shù)和組距，決定分點(diǎn)（每個(gè)分點(diǎn)只能屬于一組，故一般采用半開半閉區(qū)間），然后列出頻率分布表（準(zhǔn)確，查數(shù)據(jù)容易），畫頻率分布直方圖（直觀）． （2）總體期望值的估計(jì)，計(jì)算樣本平均值=. （3）總體方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的估計(jì)： 方差= 標(biāo)準(zhǔn)差S= 方差（標(biāo)準(zhǔn)差）較小者較穩(wěn)定。 三、典型例題 例1．某學(xué)院有四個(gè)飼養(yǎng)房、分別養(yǎng)有18、54、24、48只白鼠供實(shí)驗(yàn)用．某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)需抽取24只，你認(rèn)為最合適的抽樣方法為（ ） （A）在每個(gè)飼養(yǎng)房各抽取6只； （B）把所有白鼠都加上編有不同號(hào)碼的頸圈，用隨機(jī)取樣法確定24只； （C）在四個(gè)飼養(yǎng)房分別隨手提出3、9、4、8只； （D）先確定這四個(gè)飼養(yǎng)房應(yīng)分別抽取3、9、4、8只樣品，再由各飼養(yǎng)房自己加號(hào)碼頸圈，用簡單隨機(jī)取樣法確定各自己捕出的對(duì)象. (依據(jù)公平性原則，根據(jù)實(shí)際情況確定適當(dāng)?shù)娜臃椒?，是本題的靈魂.) 例2．對(duì)某種新品電子元件進(jìn)行壽命終極度實(shí)驗(yàn). 情況如下： 壽命（h） 100—200 200—300 300—400 400—500 500—600 個(gè)數(shù) 20 30 80 40 30 （1）列出頻率分布表，畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖. （2）估計(jì)合格品（壽命100—400h者）的概率和優(yōu)質(zhì)品（壽命40h以上者）的概率. （3）估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望值. (通過此題初步體會(huì)統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)，生活中的作用，并了解相關(guān)步驟.) 例3．某市農(nóng)科所為尋找適合本市的優(yōu)良油菜品種，在本市5個(gè)鄉(xiāng)各選了條件相近的3塊地，試種A、B、C三種油菜.每塊試驗(yàn)田面積均為0.7公頃，試根據(jù)下表所列產(chǎn)量情況作一評(píng)選：（表中產(chǎn)量單位為kg） 1 2 3 4 5 A 21.5 20.4 22.0 21.2 19.9 B 21.3 23.69 18.9 21.4 19.8 C 17.8 23.3 21.4 19.7 20.8 例4．為考察某地區(qū)12個(gè)行政村3000名適齡青年的踽齒發(fā)病情況，欲從中抽取300人為樣本進(jìn)行分析，應(yīng)采用哪種抽樣較為合理？并簡述抽樣過程. 例5．在例5中，如果我們決定先從12個(gè)村中選抽3個(gè)村再從這三個(gè)村中抽取300個(gè)樣本，為使12個(gè)村的每個(gè)適齡青年被抽取的概率相同，又應(yīng)怎樣取樣？ (關(guān)鍵在于三個(gè)村怎樣確定.,做12個(gè)簽，隨意抽取3個(gè)顯然是不公平的.) 例6．某次考試，某班的成績的累積頻率分布圖如下，據(jù)此圖，你能得到哪些結(jié)論？ 鞏固練習(xí) 1. 已知一個(gè)樣本：25、21、23、25、27、29、25、28、30、29、26、24、25、27、26、22、24、25、26、28、試以2為組距，列出頻率分布表，畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖，并由此估計(jì)總體在22～28間的概率. 2. 設(shè)、分別表示樣本（x1，x2，…，xn）的平均值和方差，、分別表示樣本（x1，x2，…，xn+1）的平均值和方差，求證：（n－1）=n+ (本題是探求樣本容量由n增大到n+1時(shí)，平均值及方差的變化情況．) 尋求與關(guān)系中遇到的第一個(gè)問題是，如何把－轉(zhuǎn)換為－？所以我們應(yīng)選探求與間的關(guān)系。 由==+ 知－=－+=－+. 或(－)+． 用哪一個(gè)形式好？要看要證的結(jié)論的形式. 3. 實(shí)習(xí)作業(yè)，題目：我校畢業(yè)班的周作業(yè)量調(diào)查. 要求：寫出樣本采集過程及全部樣本數(shù)據(jù)，寫出頻率分布表，畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖，算出數(shù)學(xué)期望. 培優(yōu)輔導(dǎo)材料一解答 例1．（A）中對(duì)四個(gè)飼養(yǎng)房平均攤派，但由于各飼養(yǎng)房所養(yǎng)數(shù)量不一，反而造成了各個(gè)體入選概率的不均衡，是錯(cuò)誤的方法； （B）中保證了各個(gè)體入選概率的相等，但由于沒有注意到處在四個(gè)不同環(huán)境會(huì)產(chǎn)生不同差異，不如采有分層抽養(yǎng)可靠性高，且統(tǒng)一偏號(hào)統(tǒng)一選擇加大了工作量； （C）中總體用采了分層抽樣，但在每個(gè)層次中沒有考慮到個(gè)體的差異（如健壯程度，靈活程度）貌似隨機(jī)，實(shí)則各個(gè)體概率不等。 各飼養(yǎng)房必然會(huì)造成不同的差異，及同一飼養(yǎng)房中各個(gè)體的差異是容易忽視的. 總體個(gè)數(shù)為18+54+24+48=144 = 18=3 54= 4 48=8 故各飼養(yǎng)房各采集容量為3、9、4、8的樣本，由于各個(gè)體易捕捉程度不一，故不能隨手抓捕.選（D） 例2． 頻率分布表 壽命（h） 頻數(shù) 頻率 累積頻率 100—200 20 0.10 0.10 200—300 30 0.15 0.25 300—400 80 0.40 0.65 400—500 40 0.20 0.85 500—600 30 0.15 1 合計(jì) 200 1 壽命100～400h的頻率為0.65， 400～600h的頻率為0.35 估計(jì)總體均值 0.01+0.15+0.40 +0.20+0.15=365（h） 例3．=21 =20.8 =20.6 =2.86 =13.63 =16.62 A品種平均產(chǎn)量期期望最值高，且穩(wěn)定，應(yīng)入選． 例4．各行政村人數(shù)差異是不能忽略的，為保證每個(gè)適齡青年等可能入選，應(yīng)采用分層抽樣法，對(duì)每個(gè)村抽取其適齡人數(shù)的．具體地可用簡單隨機(jī)抽樣法產(chǎn)生. 例5．i村適齡人數(shù)為mi，該村每個(gè)適齡青年入選概率為 ()=(mj、mk 為另兩個(gè)中簽的村的適齡個(gè)數(shù))而不再 是（mi ）=. 所以，為了保證每個(gè)適齡青年入選概率相等，選行政村時(shí)就不能等概率，而應(yīng)讓其中簽的概率為=，這樣每個(gè)適齡青年入圍的概率仍是300=. 當(dāng)然，具體操作時(shí)，不可能那樣精細(xì)，比方說，如果這12個(gè)村的適齡人數(shù)大約是1 ：1 ：1 ：1 ：2 ：2 ：2 ：2 ：2 ：3 ：3 ：3，則可制14+25+33=23個(gè)簽，其中有3個(gè)是“中”，其余20個(gè)是“不中”，讓村長抽簽，比例是1的抽1個(gè).比例是2的抽2個(gè)，比例是3的抽3個(gè). 例6．沒有50分以下，沒有90分以上。50～60占，60～70占， 70～80占， 80～90占． 練習(xí)參考答案： 1．極差=30－21=9。組矩2，故分為5組。 頻率分布表 頻數(shù) 頻率 累積頻率 20.5～22.5 2 0.1 0.1 22.5～24.5 3 0.15 0.25 24.5～26.5 8 0.4 0.65 26.5～28.5 4 0.2 0.85 28.5～30.5 3 0.15 1 頻率分布直與圖 累積頻率分布圖 22～28間的概率約為0.85－0.1=0.75 2． ===+ ∴－=－－ ∴（－）2=（－）2－+ ∴（n+1）=（－）2+…+（－）2+（－）2 0 －（（－）+…+（－）+（+））+ =+（－）2－（－） =+（－）2 前n項(xiàng)和與平均值，前n+1項(xiàng)和與平均值的關(guān)系雖然不復(fù)雜，但對(duì)初學(xué)者是生疏的，嘗試著推出結(jié)論，對(duì)思維的發(fā)展不無益處．