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2019-2020年高考數(shù)學滾動檢測05向量數(shù)列不等式和立體幾何的綜合同步單元雙基雙測B卷文 一、選擇題（共12小題，每題5分，共60分） 1. 【xx河南名校聯(lián)考】已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列， 則 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 《莊子天下篇》中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”反映這個命題本質(zhì)的式子是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：由題得:是求首項為,公比為等比數(shù)列的前項和.所以:故選D. 考點：等比數(shù)列求和. 3. 設(shè)是兩個非零的平面向量，下列說法正確的是（ ） ①若，則有； ②； ③若存在實數(shù)λ，使得＝λ，則； ④若，則存在實數(shù)λ，使得＝λ. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 【解析】 考點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用. 4. 【xx遼寧凌源兩校聯(lián)考】若實數(shù)， 滿足不等式組 ， ，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】畫出可行域如圖所示,令=,化簡得,即過定點(-1,2)的直線系的斜率的取值范圍,由圖知當直線過定點(-1,2)與交點(-3,1)連線時斜率為,此時斜率最小,則的取值范圍為,故選A. 5. 已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，且，則球的表面積為 （ ） A． B． C. D． 【答案】A 【解析】 考點：三棱柱外接球 【思想點睛】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 6. 【xx黑龍江齊齊哈爾八中三?！咳鐖D，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】該幾何體是由兩個小三棱錐和一個圓錐組成， 所以體積為，故選A。 7. 【xx江西宜春調(diào)研】如圖（1），五邊形是由一個正方形與一個等腰三角形拼接而成，其中， ，現(xiàn)將進行翻折，使得平面平面，連接，所得四棱錐如圖（2）所示，則四棱錐的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 故選C. 點睛：本題考查了多面體的外接球，把不易求其外接球半徑的幾何體轉(zhuǎn)化為易求半徑的幾何體是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了補體的方法. 8. 設(shè)為兩個非零向量、的夾角，已知對任意實數(shù)，的最小值為1,（ ） A．若確定，則 唯一確定 B．若確定，則 唯一確定 C．若確定，則 唯一確定 D．若確定，則 唯一確定 【答案】B 【解析】 考點：1、平面向量的模；2、平面向量的夾角． 9. 【xx湖南瀏陽五校聯(lián)考】已知直線，平面且給出下列命題： ①若∥，則； ②若，則∥； ③若，則； ④若∥，則. 其中正確的命題是 A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ①③ 【答案】A 【解析】若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正確。 若α⊥β,且m⊥α?m∥β，又l?β，則m與l可能平行，可能異面，所以②不正確。 若m⊥l，且m⊥α，l?β?α與β可能平行，可能相交。所以③不正確。 若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正確。 故選：B. 10. 已知數(shù)列中，，，，則的前100項和為（ ） A．1250 B．1276 C．1289 D．1300 【答案】C 【解析】 試題分析：由條件得，則＝．因為，所以，故選C． 考點：1、數(shù)列的性質(zhì)；2、等差數(shù)列的前項和． 11. 已知實數(shù)、滿足條件,若目標函數(shù)的最小值為,則的值為（ ） A. B. C. D. 【來源】【百強?！縳x屆廣東汕頭市普通高考高三第二次模擬數(shù)學（文）試卷（帶解析） 【答案】B 【解析】 考點：簡單的線性規(guī)劃. 【方法點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值. 12.如圖，在棱長為1的正方體的對角線上取一點，以為球心，為半徑作一個球，設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖像最有可能的是（ ） 【答案】B 【解析】 考點：函數(shù)圖象. 【思路點晴】球面與正方體的表面都相交，我們考慮三個特殊情形：（1）當；（2）當；（3）當.其中（1）（3）兩種情形所得弧長相等且為函數(shù)的最大值，根據(jù)圖形的相似，（2）中的弧長為（1）中弧長的一半，對照選項，即可得出答案.本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，考查特殊值、小題小作的小題技巧. 二．填空題（共4小題，每小題5分，共20分） 13. 若非零向量滿足,則夾角的余弦值為_______． 【答案】 【解析】 試題分析：由，得，即，所以＝． 考點：1、平面向量的數(shù)量積運算；2、平面向量的夾角． 14. 如圖是棱長為1的正方體，是高為1的正四棱錐，若點在同一個球面上，則該球的表面積為____________． 【答案】 【解析】 試題分析：按如圖所示作輔助線，為球心，設(shè)，則，同時由正方體的性質(zhì)知，則在中，，即，解得，所以球的半徑，所以球的表面積為． 考點：1、多面體的外接球；2、球的表面積． 【思路點晴】解答本題的關(guān)鍵是求出外接球的半徑，如何利用題設(shè)條件建構(gòu)含球的半徑的方程是解答好本題的關(guān)鍵之所在．求解時充分借助正方體和正四棱錐都是對稱圖形，將球心設(shè)在四棱錐與正方體底面的中心的連線上，借助截面圓的圓心與球心連線垂直于截面圓，運用勾股定理求出了半徑． 15. 若直線過點，則的最小值為 ． 【來源】【百強?！縳x學年遼寧莊河高中高二10月考文數(shù)試卷（帶解析） 【答案】 【解析】 考點：基本不等式的應(yīng)用. 【方法點睛】本題主要考查的是基本不等式求最值，整體代入并變形為可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，對于此類題目而言，首先利用已知條件求出之間的關(guān)系，即，然后利用乘法對進行處理，發(fā)現(xiàn)，可利用基本不等式進行計算，即可求解，因此此類題目靈活運用基本不等式是解題的關(guān)鍵. 16. 【xx湖南五市十校聯(lián)考】某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球的表面積為__________． 【答案】 【解析】由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2， 三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑， ，球的表面積. 點睛：本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球. 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17. 已知等差數(shù)列的公差為，是它的前項和，，，成等比數(shù)列， （1）求和； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求。 【答案】（1）； （2） 【解析】試題分析： (1)結(jié)合題意求得數(shù)列的首項為，則其通項公式為，利用等比數(shù)列前n項和公式可得：； (2)結(jié)合(1)中求得的數(shù)列的前n項和可得,裂項求和可得：. 試題解析： （1）因為，， 而，，成等比數(shù)列，所以， 即，解得 所以， （2）由（1）知 所以 點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負相消是此法的根源與目的． 18. 在△中，角的對邊分別是，已知向量，，且． （1）求的值； （2）若，△的面積，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)向量平行關(guān)系得，再由正弦定理，化角得，最后根據(jù)兩角和正弦公式及誘導公式得（2）由三角形面積公式得，即，再根據(jù)余弦定理得，解方程組得 試題解析：解：（1）∵，∴， 由正弦定理，得， 化簡，得﹒ ∵，∴﹒ 又∵，∵，∴． 考點：正余弦定理，兩角和正弦公式及誘導公式 19. 已知數(shù)列的首項，且. （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列. （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證明數(shù)列為等比數(shù)列，一般方法為定義法，即確定相鄰兩項的比值為非零常數(shù)：利用代入化簡，再說明不為零即可（Ⅱ）由（Ⅰ）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求，即得，代入，可得，因此其前項和應(yīng)用錯位相減法求 試題解析： 解（Ⅰ）證明： ∴ 又，∴， 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， 即. ∴. 于是，① ，② 由①-②得，， 即， ∴數(shù)列的前項和. 考點：等比數(shù)列定義及通項，錯位相減法求和。 20. 【xx四川成都七中一模】如圖，四棱錐中， 平面， 為線段上一點， ， 為的中點. （1）證明： （2）求四面體的體積. 【答案】（1）見解析（2） 解析：（1） 由已知得，取的中點，連接，由為中點知，即又，即故四邊形為平行四邊形，于是因為所以 （2）因為平面， 為的中點，所以到平面的距離為取得中點，連接，由得由得到的距離為，故，所以四面體的體積為 21. 如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形，△為等腰三角形，，平面平面，且，,,分別為，的中點． （1）證明：平面； （2）證明：平面平面； （3）求四棱錐的體積． 【答案】（1）（2）見解析（3）四棱錐的體積 【解析】 試題分析：（1）要證平面，由線面平行的判定定理，既要證平行于平面內(nèi)的一條直線，通過分析，證明即可；（2）要證平面平面，由面面垂直的判定定理，只要證明平面即可；（3）證明四棱錐的的高為，則體積可求 試題解析：（1）如圖，連接， ∵四邊形為矩形且是的中點， ∴也是的中點． 又是的中點，， ∵平面，平面，∴平面． （2）證明：∵面平面，，平面平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面． （3）取的中點為，連接， ∵平面平面，△為等腰直角三角形， ∴平面，即為四棱錐的高． ∵，∴，又， ∴四棱錐的體積． 考點：線面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，椎體的體積公式 22. 如右圖，已知是邊長為2的正方形，平面，，設(shè)，． （1）證明：； （2）求四面體的體積； （3）求點到平面的距離． 【答案】（1）見解析；（2）2；（3）2． 【解析】 試題解析：（1）由已知，是正方形，所以對角線， 因為平面，所以， 因為，相交，所以平面，從而． （2）四面體的體積 ， 所以四面體的體積為2． （3）先求△的三條邊長，，， 在直角梯形中易求出， 由余弦定理知，所以， ； 點到平面的距離為，由體積法知： ，解得，所以點到平面的距離為2． 考點：1、線面垂直的性質(zhì)；2、線線垂直的判定；3、余弦定理；三角形面積公式；4、多面體的體積；5、空間距離．