《高中數(shù)學(xué)《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》文字素材1新人教A版選修1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》文字素材1新人教A版選修1-2（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 復(fù)數(shù)中的幾個結(jié)論及共應(yīng)用 數(shù)系由實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系之后， 實數(shù)系中哪些公式和法則仍然成立， 哪些不成立， 又 有哪些新的公式和法則， 是同學(xué)們不易弄清的問題， 以下給出幾則在復(fù)數(shù)系中仍然成立的公 式和法則及幾個新的公式和法則，并簡單舉例說明其應(yīng)用 . 一 、 中 點 公 式 ： A 點 對 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) 為 a1 b1 i (a1 R， b1 R ) ， B 點 對 應(yīng) 的 復(fù) 數(shù) 為 a2 b2i (a2 R ，b2 R ) ， C 點為 A， B 兩點的中點，則 C 點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 a1 b1i

2、 a2 b2i ， 2 即 a1 a2 b1 b2 i ． 2 2 例 1 四邊形 ABCD 是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形， A，B，C 三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1 3i， i，2 i ，求 D 點對應(yīng)的復(fù)數(shù)． 解：由已知應(yīng)用中點公式可得 A，C 的中點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 3 ，所以 D 點對應(yīng)的復(fù)數(shù) 2i 2 3 ． 為 2[2 2 ( 1)]i 3 5i 2 二、根

3、與系數(shù)的關(guān)系： 若實系數(shù)方程 ax2 bx c 0(a 0) 的兩復(fù)根為 a1 b1 i ， a2 b2 i ， 則有 a1 bi1 a2 b2i b ， (a1 b1i )(a2 b2i ) c ． a a 推論：若實系數(shù)方程 ax2 bx c 0(a 0) 有兩虛數(shù)根，則這兩個虛數(shù)根共軛． 例 2 方程 x2 ax b 0

4、 的一個根為 1 i ，求實數(shù) a ， b 的值． 解：已知實系數(shù)方程的一個根為 1 i ，由推論知方程的另一根為 1 i ，由根與系數(shù)的關(guān) 系可知 a (1 i 1 i ) 2 ， b (1 i )(1 i ) 2 ． 三 、 相 關(guān) 運 算 性 質(zhì) ： ① z 為 實 數(shù) z z z2 0 z2 2 z ， z 為 純 虛 數(shù) z

5、2 0 z z 0( z 0) ；②對任意復(fù)數(shù)有 z z；③ z1 z2 z1 z2 ；④ zz zz ，特 1 2 1 2 別地有 z2 ( z)2 z1 z1 2 zz ． ；⑤ ；⑥ z z2 z2

6、 例 3 設(shè) z 1 ，且 z i ，求證 z 為實數(shù)． 2 1 z 證明：由條件可知 z 0 ，則 zz 2 1 ， z

7、 所以 z 1 z 1 ， z z z z z 1 z ， 2 1 z2 1 z2 1 (z)2 1 ( z 1 ) 2 z 2 z 1 z 1 所以 z 為實數(shù)． 1 z2

8、 用心 愛心 專心 1 四、兩則幾何意義：① z z0 的幾何意義為點 z 到點 z0 的距離；② z z0 r (r 0) 中 z 所對應(yīng)的點為以復(fù)數(shù) z0 所對應(yīng)的點為圓心，半徑為 r 的圓上的點． 例 4 若 z C ，且 z 2 2i 1 ，則 z 2 2i 的最小值為 ． 解： z 2 2i 1 即 z ( 2 2i ) 1， z 對應(yīng)的點為到點 ( 2，2) 的距離為定值 1 的所有 的點，即以 ( 2，2) 為圓心， 1 為半徑的圓 O 上的點． z 2 2i 即 z

9、(2 2i ) ，為圓 O 上的 點與點 (2，2) 之間的距離減去圓 O 的半徑，可得結(jié)果為 3． 復(fù)數(shù)與平行四邊形家族 菱形、矩形、正方形等特殊的平面幾何圖形與某些復(fù)數(shù)式之間存在某種聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的途徑． 在求解復(fù)數(shù)問題時， 要善于考察條件中給定的或者是通過推理所得的復(fù)數(shù)形式的結(jié)構(gòu)特征，往往能獲得簡捷明快、生動活潑的解決方法．下面略舉幾例，以供參考． 一、復(fù)數(shù)式與長方形的轉(zhuǎn)化 2 例 1 復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿足 z1z2 0

10、， z1 z2 z1 z2 ，證明： z1 0 ． z 2 2 解析：設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 Z1 ， Z 2 ，由 z1 z2 z1 z2 知，以 OZ1 ， OZ 2 為鄰 邊的平行 四邊形為矩形 ， ∴ OZ1 OZ2 z1 ki (k R， k 0) ，所 以 ，故可 設(shè) z2

11、 z 2 2 2 2 1 2 k 1 k 0 ． z2 例 2 已知復(fù)數(shù) z1 ， z2 滿足 z1 7 1 ， z2 7 1 ，且 z1 z2 4 ，求 z1 與 z1 z2 的 z2 值．

12、 解析：設(shè)復(fù)數(shù) z1 ， z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 Z1 ， Z 2 ，由于 ( 7 1)2 ( 7 1)2 42 ，故 z1 2 z2 2 z1 z2 2 ， 故 以 OZ1 ， OZ2 為 鄰 邊 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 ， 從 而 OZ1 OZ 2 ， 則 z1 7 1 4 i 7 z1 z2 4 ．

13、 z2 7 i 3 ； z1 z2 1 二、復(fù)數(shù)式與正方形的轉(zhuǎn)化 用心 愛心 專心 2 例 3 已知復(fù)數(shù) z1， z2 滿足 z1 z2 1，且 z1 z2 2 ，求證： z1 z2 2 ． 證明：設(shè)復(fù)數(shù) z1， z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 Z1 ， Z2 ，由條件知 z1 z2 2 z1 2 z2 ， 以 OZ1 ，OZ2 為鄰邊的平行四邊形為正

14、方形， 而 z1 z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的向量為正方形的一 條對角線，所以 z1 z22 ． 點評：復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系賦予了復(fù)數(shù)的幾何意義， 復(fù)數(shù)加法幾何意義的運用是本題考查的重點． 三、復(fù)數(shù)式與菱形的轉(zhuǎn)化 例 4 已知 z1，z2 C ， z1 z2 1， z1 z2 3 ，求 z1 z2 ． 解析：設(shè)復(fù)數(shù) z1， z2 ， z1 z2 在復(fù)平面上對應(yīng)的點為 Z1， Z2， Z3 ，由 z1 z2 1 知，以

15、 2 2 2 2 z a ； OZ1 OZ 2 ∴ z a ∴ z a ，考慮到 z a 時，z2 a2 0 ， 為鄰邊的平行四邊形是菱形， ， 2 2 z 2 a 2 z z a 2 無意義，故使 2 (a 0) 為純虛數(shù)的充要條件是 z a ，且 z a ， ai 時，

16、 2 a z 2 a z z ai ． 復(fù)數(shù)的加減法符合平行四邊形法則， 是復(fù)數(shù)與平行四邊形家族聯(lián)姻的前提． 通過本文我 們發(fā)現(xiàn)深入抓住復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的本質(zhì)， 可使我們求解復(fù)數(shù)問題的思路更加廣闊， 方 法也更加靈活． 用心 愛心 專心 3